1、0sin1lim1.lim(1)xxxxexx 1-1 1-1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義lim( )xaf xA或( )f xA()xa22lim4xx224lim42xxx0sinlimxxx但是？( ),( )( )f xxaf xAAf x設(shè)有函數(shù)若當(dāng) 無限接近固定點 時，無限接近唯一確定常數(shù) ，則稱 為函數(shù)在點a的極限.記作一一. . 函數(shù)在某點的極限函數(shù)在某點的極限1.描述性定義aAAAaa0lim( )0,0,( , )( ,( ).xaf xAxUayAyAa f a 在幾何上表示：當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)圖象夾在直線和之間，但點可能例外2.函數(shù)極限的幾何意義lim( )xaf xA01

2、limsinxx例不存在.xy1sin 極限不存在的例子0limsgnxx極限精確化定義(P261)：定義：0,00( )lim( ).xaxafxAfxA若對當(dāng)時，恒有，則定理：定理： lim( )xaf xAlim( )xaf x lim( )xaf xA 2,1( )1, 10,0 xf xxxx x 單側(cè)極限(0)( (0).f aA f aA或()( )( )()xaxaf xAf xxaxaA 若時，則稱函數(shù)在時以 為左(右)極限，記為lim( )(lim( )xaxaf xAf xA 例例 證明極限：證明極限： P M P0limsinsinxaxa注注: : 用定義證明函數(shù)極限

3、存在時用定義證明函數(shù)極限存在時, ,0,0,找使不找使不等式成立的等式成立的與與有關(guān)）有關(guān)）. .“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽1.幾何意義： 以直代曲 0limxBBBB1sinlim0 xxxxBB重要極限重要極限1sinlim0 xxx函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理.,),(0時當(dāng)xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0且AC例證明重要極限例證明重要極限(46)1sinlim0 xx

4、x0 x xoBDsintan,222xxx, 1sincos xxx即即0lim cos1,xx0lim11,x又0sinlim1.xxx00sinsin()limlim1xxxxxx 0sinlim1xxxxxcos1cos102sin22x222x22x0lim( 1 cos)0 xx二、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限( ).( )()lim( )xxf xAf xA xf xA 描述性定義：當(dāng) 的絕對值無限增大時，無限接近記為：lim( ),lim( ),lim( )xxxf xAf xAf xAlim( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA定理：幾何解釋幾何解釋:AAX X.2

5、,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA0,0,.XxXXyAA 當(dāng)時，函數(shù)圖象夾在直線和y之間直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線lim( )xf xA精確化定義：精確化定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時有定義,假設(shè),0X,)(,AxfXx有時當(dāng)則稱常數(shù)時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或AxfA)(XxXx或記作,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情

6、況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21例例. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時當(dāng)Xx 01x因而01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1.10的水平漸近線為xyyarctan11xxyxeye考慮：討論下列函數(shù)當(dāng)考慮：討論下列函數(shù)當(dāng)x 時的極限。時的極限。三三. .函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在一點的連續(xù)性00( )(),( ).yf xf xf xxx 稱為

7、函數(shù)在點 處相應(yīng)于的增量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 例例sin,0,( )01,0,.xxf xxxx試證函數(shù)在處連續(xù)證證0sinlim1,xxx(0)1,f又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 例例. 設(shè)設(shè) f (x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 假設(shè) f (x) 在連續(xù),0 x證明證明:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且對任意實數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,(

8、)(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定定理理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x=0處右連續(xù)但不左連續(xù)處右連

9、續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf0(1)( );f xx在U( , )有定義;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 1)可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xx

10、xxxxxfoxy112xy 1xy2 解解:f(1)=1, f(1-0)=2, f(1+0)=22)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy1120000( ),(0)(0),( ).f xxf xf xxf x如果在點 處左 右極限都存在 但則稱點 為函數(shù)的跳躍間斷點例例.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷

11、點點 xoxy2)第一類間斷點跳躍間斷點）第一類間斷點跳躍間斷點）3)第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x這種間斷點稱為無窮間斷點.例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在

12、且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點 x這種間斷點稱為振蕩間斷點.注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. .o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxf它在定義域它在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值但其絕對值處處連續(xù)處處連續(xù).考慮：判斷下列間斷點的類型考慮：判斷下列間斷點的類型:可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點跳躍型跳躍型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x例例.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a因而因而,x=k+/2(k=0,1,2,) 是可去間斷點是可去間斷點.例討論函數(shù)例討論函數(shù)y=x/tanx的間斷點的間斷點解解:(1)函數(shù)在函數(shù)在x=0沒有定義沒有定義因而，因而，x=0是可去間斷點是可去間斷點(2) limtanxkxx (k=1,2,)因而，因而，x=k(k=1,2,