1、第三節 區間估計一、區間估計的基本概念一、區間估計的基本概念二、典型例題二、典型例題三、小結三、小結一、區間估計的基本概念1. 置信區間的定義置信區間的定義1121221212( ; ), (01), ,(,)(,) (,)(,)1, nnnnnXF xXXXXPXXXXXXXXXXX設總體的分布函數含有一個未知參數對于給定值若由樣本確定的兩個統計量和滿足, ,( , )1 1.1 則稱是 的為和 分別稱為的置信隨機區間置信度的置信區間置信度為的雙側置信區間下和置信為上限置信度限關于定義的說明關于定義的說明.) ,( , , , 是隨機的是隨機的而區間而區間沒有隨機性沒有隨機性但它是一個常數但

2、它是一個常數雖然未知雖然未知被估計的參數被估計的參數 : 1),(),(2121的本質是的本質是因此定義中下表達式因此定義中下表達式 nnXXXXXXP( , ) 1, 1( , ). 隨機區間以的概率參數 的真值而說參數 以的概率隨機區間不能落入包含著 : 1),(),(2121還可以描述為還可以描述為另外定義中的表達式另外定義中的表達式 nnXXXXXXP若反復抽樣多次若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) ), ,( 間間每個樣本值確定一個區每個樣本值確定一個區按按伯努利大數定理伯努利大數定理, 在這樣多的區間中在這樣多的區間中, .%100 ,)%1

3、(100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 ,每個這樣的區間或包含的真值或不包含的真值例如例如 , 1000 0.01, 次次反復抽樣反復抽樣若若 .10 1000 個個真值的約為真值的約為個區間中不包含個區間中不包含則得到的則得到的 2. 求置信區間的一般步驟求置信區間的一般步驟( (共共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括數數且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數其中僅包含待估參數的函數的函數尋求一個樣本尋求一個樣本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出兩

4、個常數出兩個常數定定對于給定的置信度對于給定的置信度, a b： 可以任意找，只要滿足區間概率要求即可，注一般找對稱的。. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為是是就就那么那么都是統計量都是統計量其中其中不等式不等式得到等價的得到等價的若能從若能從 nnnXXXXXXbXXXZa212121(,(,3 ,)(,; ),)1nnnaZ XXXXXXXXPbX 步驟（ ）實質是：由滿足 的不等式，來解出關于未知參數 的不等式從而得到其上下限。.,1,區間估計精度降低區間估計精度降低可信程度增大可信程度增大間長度增大間長度增

5、大置信區置信區增大增大置信水平置信水平固定固定樣本容量樣本容量 n.,1區間估計精度提高區間估計精度提高可信程度不變可信程度不變間長度減小間長度減小置信區置信區增大增大樣本容量樣本容量固定固定置信水平置信水平n 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出二、典型例題.1,),( ,)0(, 021的置信區間的置信區間的置信水平為的置信水平為求求給定給定的樣本的樣本是來自總體是來自總體未知未知其中其中上服從均勻分布上服從均勻分布在在設總體設總體 XXXXXn解解, ,max 21nhXXXX 令令由上節例由上節例4

6、可知可知, ,1的無偏估計的無偏估計是是 hXnn 的概率密度為的概率密度為因為因為hX ., 0,0,)(1其他其他 xnxxfnn例例1, hXZ ., 0, 10,)(1其他其他znzzgn其概率密度為其概率密度為 , )10(, baba可定出兩個常數可定出兩個常數對于給定的對于給定的 ,1 bXaPh滿足條件滿足條件,d1 1nnbanabznz 即即,1 aXbXPhh.,為置信區間為置信區間 aXbXhh 的隨機變量的隨機變量考察包括待估參數考察包括待估參數 解解.1 , , , ),(,2221的置信區間的置信區間為為的置信水平的置信水平求求為未知為未知為已知為已知其中其中的樣

7、本的樣本是來自正態總體是來自正態總體設設 NXXXn , 的無偏估計的無偏估計是是因為因為 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/數的數的是不依賴于任何未知參是不依賴于任何未知參NnX 例例2 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分位點的定義知分位點的定義知由標準正態分布的上由標準正態分布的上 ., 1 2/2/ znXznX的置信區間的置信區間的一個置信水平為的一個置信水平為于是得于是得這樣的置信區間常寫成這樣的置信區間常寫成.2/ znX其置信區間的長度為其置信區間的長度為. 22/ zn ,05. 0 , 1 ,16 2 n中取中取如果在例如果在例,

8、96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信區間的置信區間得一個置信水平為得一個置信水平為由一個樣本值算得樣本均值的觀察值由一個樣本值算得樣本均值的觀察值,20. 5 x則置信區間為則置信區間為),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的置信區間是不唯一的的置信區間是不唯一的置信水平為置信水平為注意注意 ,05. 0 2 中如果給定中如果給定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 則又有則又有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信區間的置信區間為

9、為的置信水平的置信水平也是也是故故 znXznX其置信區間的長度為其置信區間的長度為. )(01. 004. 0zzn 比較兩個置信區間的長度比較兩個置信區間的長度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 顯然顯然置信區間短表示估計的精度高置信區間短表示估計的精度高.說明說明: 對于概率密度的圖形是單峰且關于縱坐標對于概率密度的圖形是單峰且關于縱坐標軸對稱的情況軸對稱的情況, 易證取易證取a和和b關于原點對稱時關于原點對稱時,能使能使置信區間長度最小置信區間長度最小.今抽今抽9件測量其長度件測量其長度, 得數據如下得數據如下(單位單位:

10、mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/2/ znXznX的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為得得根據例根據例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的置信區間為的置信區間為的置信度為的置信度為 ),16,( NX 服從正態分布服從正態分布設某工件的長度設某工件的長度. 95 的置信區間的置信區間的置信水平為的置信水平為試求參數試求參數 例例3二、 2未知時 的置信區間 這時可用t 統計量，因為 ，因此 t 可以用來作為樞軸

11、量。可得到 的1-置信區間為： 此處 是 2的無偏估計。 () (1)n xtt ns22(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxxn例4 設x1, x2 , , x10是來自N(, 2)的樣本，則 的置信水平為1- 的置信區間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標準差。 若取 =0.10，則t0.05(9)=1.8331，上式化為：22(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx例5n課本p.196 例1三、小結 點估計不能反映估計的精度點估計不能反映估計的精度, 故而本節引入故而本節引入了區間估計了區間估計.求置信區間的一般步驟求置信區間的一

12、般步驟(分三步分三步).1 , )( ),( P有有意的意的即對于任即對于任置信水平置信水平數具有預先給定的概率數具有預先給定的概率它覆蓋未知參它覆蓋未知參間間置信區間是一個隨機區置信區間是一個隨機區例 設x1, x2 , , x10是來自N(, 2)的樣本，則 的置信水平為1- 的置信區間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標準差。這里用它來說明置信區間的含義。 若取 =0.10，則t0.95(9)=1.8331，上式化為1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx 現假定 =15, 2 =4，則我們可以用隨機模擬方法由N(15,4)產生一個容量為10的樣本，如下即是這樣一個樣本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由該樣本可以算得 從而得到 的一個區間估計為 該區間包含 的真值-15。現重復這樣的方法100次，可以得到100個樣本，也就得到100個區 間，我們將這100個區間畫在圖6.4.1上。 14.7053,1.8438xs14.7053 0.5797 1.8438, 14