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文檔簡介
1、1.5函數的連續性函數的連續性1.5.1函數的連續性概念函數的連續性概念 1.5.2間斷點及其分類間斷點及其分類 1.5.3連續函數的運算及其初等函連續函數的運算及其初等函函數的連續性函數的連續性1.5.4閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質基本內容基本內容基本要求基本要求1 1、理解函數連續性的概念、理解函數連續性的概念 (含左連續與右連續)(含左連續與右連續)2、會判別函數間斷點的類型、會判別函數間斷點的類型3、了解連續函數的性質和初等函數的連續性、了解連續函數的性質和初等函數的連續性4、理解閉區間上連續函數的性質、理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)
2、(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 并會應用并會應用1.5.1函數的連續性概念函數的連續性概念一、函數在一點連續的概念一、函數在一點連續的概念1.增量的概念增量的概念 .12uuu注意增量注意增量u 設變量u 從它的一個初值1u2u變到終值變到終值,u12uu 叫做變量叫做變量u 的增量,的增量,記作記作,即即可以是正的,也可以是負的。可以是正的,也可以是負的。).()(lim00 xfxfxx(3)(xf的連續點的連續點.2.2.函數函數)(xf0 x處連續的定義處連續的定義在點在點定義定義1 設函數設函數)(xfy 滿足條件:滿足條件:(1)(xf0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定
3、義;在點在點(2)(xf0 x)(lim0 xfxx在點在點處極限處極限存在存在;則稱函數則稱函數0 xx0 x)(xf稱為函數稱為函數在點在點處連續處連續,定義定義2 2 )()(xf0 x的某鄰域內有定義,的某鄰域內有定義,在點在點設設.)()(, 0, 000 xfxfxx時使當若對若對則稱函數則稱函數0 xx0 x)(xf稱為函數稱為函數在點在點處連續處連續,)(xf的連續點的連續點.若當自變量的增量若當自變量的增量 0 xxx趨于零時趨于零時, ,對對應的函數的增量應的函數的增量 )()(0 xfxfy也趨于零也趨于零, ,即即 0lim0yx則稱函數則稱函數0 xx)(xf在點在點
4、處連續。處連續。定義定義3 3)(xf0 x的某鄰域內有定義,的某鄰域內有定義,在點在點設設xy0 xy00 xx)(xfy 0 xx)(xfy圖圖xxyy0,0,2sin)(xkxxxxf)(lim0 xfx21222sin2lim2sinlim00 xxxxxx解解)0()(lim0fxfx又又 kf)0(. 2k,得,得例例1 1 確定常數確定常數k,使使在在0 x處連續處連續. .由題設由題設)(xf0 x處連續處連續, ,即即在在二、函數在一點左連續及右連續的概念二、函數在一點左連續及右連續的概念假假設設 ),()(lim00 xfxfxx)(xf0 xx 則稱函數則稱函數在點在點處
5、右連續;處右連續; ),()(lim00 xfxfxx假假設設則稱函數則稱函數)(xf)()(lim00 xfxfxx).0()()0(000 xfxfxf在點在點0 xx 處左連續。處左連續。函數函數)(xf0 x0 x處既左連續又右連續處既左連續又右連續.即即處連續的充要條件是它在點處連續的充要條件是它在點在點在點0,)1 (0,0),3 ()(22xxxaxexxfx220)3(lim)00(eexfx220)1 (lim)00(exfxx解解).0()00()00(fff例例2 2選擇選擇a的值的值, ,使使在在0 x處連續處連續. .從而當從而當2ea 時時, ,有有2ea )(xf
6、0 x處連續處連續.即當即當時時,在在三、函數在區間上連續的概念三、函數在區間上連續的概念注意函數的連續性是一點一點地定義的注意函數的連續性是一點一點地定義的, ,即函數即函數的連續性是一個局部的概念的連續性是一個局部的概念. . 若函數若函數)(xfb ,a在開區間在開區間內每一點都連續,內每一點都連續,則稱則稱)(xf在開區間在開區間b ,a內連續內連續; ;假如假如)(xf在開區間在開區間b ,a內連續,在左端點內連續,在左端點處右連續,處右連續, ax 在右端點在右端點bx 處左連續,則稱處左連續,則稱 上連續上連續. . )(xfba,在閉區間在閉區間2sin)2cos(2sin)s
7、in(000 xxxxxxy1)2cos(0 xx,22sinxx又又,2sin)2cos(20 xxxxy從而得從而得 . 0lim0yx內連續。內連續。),(例例3 3證明函數證明函數xysin),(內連續。內連續。在開區間在開區間),(0 x證證 給給0 xx函數的增量為函數的增量為,相應地,相應地一個增量一個增量由定義由定義3 3知函數知函數xsin0 x處連續。處連續。在點在點由于點由于點0 xxysin函數函數的任意性,故的任意性,故在開區間在開區間1.5.2 間斷點及其分類間斷點及其分類的間斷點的間斷點. . )(xf;)() 1 (0處無定義在點xxf;)(lim)2(0不存在
8、xfxx1.間斷點概念間斷點概念處出現下述三種情形之一:處出現下述三種情形之一:0 x)(xf即即在在).()(lim)3(00 xfxfxx的間斷點的間斷點. .0 x)(xf稱稱為為如果函數如果函數)(xf0 x的某去心鄰域內有定的某去心鄰域內有定在點在點為為義義,但點但點0 x0 x)(xf的連續點的連續點, ,那么我那么我 們稱們稱不是不是通常把間斷點分為以下兩種類型:通常把間斷點分為以下兩種類型: 2.間斷點分類間斷點分類的第二類間斷點。的第二類間斷點。為函數為函數則稱點則稱點至少有一個不存在,至少有一個不存在,(2假假設設)0(0 xf與與)0(0 xf0 x)(xf注意注意 可去
9、間斷點只要改變或者補充間斷處函數可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義的定義, 則可使其變為連續點則可使其變為連續點.(1 1假假設設)0(0 xf)0(0 xf0 x與與稱為稱為都存在,則點都存在,則點進一步:進一步:)(xf第一類間斷點。第一類間斷點。點點)0(0 xf假假設設),0(0 xf0 x稱為稱為“可去間斷點;可去間斷點;假假設設),0(0 xf)0(0 xf點點0 x稱為稱為“跳躍間斷點;跳躍間斷點;,tanlim02xx又又的第二類間斷點。的第二類間斷點。例例4 4 討論函數討論函數xxftan)(2x在在處的連續性處的連續性, ,若為間斷點若為間斷點, ,指出其類型指出
10、其類型. . 所以點所以點處無定義處無定義, ,解解xtan)x(f2x在在是函數是函數2xxtan的間斷點。的間斷點。2xxtan故點故點為函數為函數例例5 5 討論函數討論函數 1, 21, 1)(xxxxxf, 1)2(lim)(lim0101xxfxx解解 因為因為 , 0) 1(lim)(lim0101xxfxx但但) 01 (),01 (ff存在,存在,),01 () 01 (ff若為間斷點若為間斷點, ,指出其類型指出其類型. . 在在1x處的連續性處的連續性, ,不存在,所以不存在,所以)(lim1xfx點點1x)(xf為函數為函數的間斷點。又的間斷點。又故故1x為第一類跳躍間
11、斷點。為第一類跳躍間斷點。0, 20,2sin)(xxxxxf例例6 6 討論討論0, 10,2sin)(xxxxxf, 1)0(22sinlim)(lim00fxxxfxx解解且為可去間斷點且為可去間斷點. . 那那么么在在0 x處的連續性處的連續性. . )(lim0 xfx又又0 x為函數為函數)(xf存在存在的第一類間斷點的第一類間斷點. .現改變函數在現改變函數在0 x),(lim2) 0 (0 xffx處的定義處的定義, ,令令在在0 x處連續處連續. .例例7 討論下列函數在指定間斷點處的類型討論下列函數在指定間斷點處的類型: ,11lim) 1)(2(2lim22lim1121
12、xxxxxxxxxx解解1)1x 為第二類間斷點為第二類間斷點,稱為無窮間斷點稱為無窮間斷點.的無窮間斷點的無窮間斷點.22)(2xxxxf1x(1)在在處;處;,1sin)(xxg0 x(2)在在處。處。)(xf)(lim0 xfxx0 x一般地一般地,假設假設,則稱則稱為函數為函數11)22(,)22(nxnxnn, 1)22sin(lim)(limnxgnnn, 1)22sin(lim)(limnxgnnn0lim, 0limnnnnxx有有,且,且的第二類間斷點的第二類間斷點.現分別取現分別取,1sin)(xxg0 x(2)在在處。處。)(lim0 xgx由由1.3定理定理6知知0 x
13、)(xg故故為為不存在不存在,01-1xy1sinxyn知,隨著知,隨著,函數值在,函數值在11與與1 1之間作無休止之間作無休止的的振蕩而無確定的極限,這種間斷點稱為振蕩間斷點振蕩而無確定的極限,這種間斷點稱為振蕩間斷點. . )x(gn,)nsin(122由由)(nxg1)22sin(nxy1sin 三、小結1.函數在一點連續必須滿足的三個條件函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數區間上的連續函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)
14、可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x1.5.3 連續函數的運算及其初等函數連續函數的運算及其初等函數的連續性的連續性一、連續函數的四則運算一、連續函數的四則運算 由函數在某點連續的定義和極限的四則運算由函數在某點連續的定義和極限的四則運算法則法則, ,可得下列定可得下列定理理 : :),()(xgxf),()(xgxf)()(xgxf)0)(0 xg那么那么定理定理1 設函數設函數)(xf)(xg0 xx 處連續,處連續,與與在點在點0 x在在處連續。處連續。).()(lim0afxfxx二、
15、復合函數的連續性二、復合函數的連續性),(xfy且且,)(limlim00axuxxxx),(ufy 又又定理定理2 2 設設),(ufy )(xu,構成復合函數構成復合函數au 在在處連續處連續, ,則有則有)(ufau 證證, 0, 0處連續處連續, ,在在)()(afuf成立成立. .au當當時時,有有從而當從而當 00 xx時,有時,有)()()()(afufafxf).()(lim0afxfxx成立,即成立,即,必必, 0于是對于這一于是對于這一 使當使當00 xx時,有時,有.)(axau,)(lim0axxx又又即連續函數的復合函數仍是連續函數即連續函數的復合函數仍是連續函數.
16、. axxx)(lim0)()(lim00 xxxx改為只需將定理只需將定理2中的條件中的條件)(0 x即即a,便得到定理,便得到定理 3。換為換為定理定理3 3 設函數設函數)(xu0 x,)(00ux處連續處連續, , 且且在點在點又函數又函數)(ufy0u則復合函數則復合函數在點在點處連續,處連續,)(xfy0 x在點在點處也連續。處也連續。例例8 求求).33cos(lim21xx. 1) 313cos() 33cos(lim221xx解解 由由 復合函數復合函數) 33cos(2x的連續性得的連續性得 則其反函數則其反函數三、反函數的連續性三、反函數的連續性 定理定理4 4 單調連續
17、函數的反函數在相應區間內單調連續函數的反函數在相應區間內仍是單調連續函數仍是單調連續函數. . 連續函數。連續函數。單調遞減函數有類似結果。單調遞減函數有類似結果。即若即若)(xfy ba,是是上的單調遞增的連續函數上的單調遞增的連續函數,)(1xfy)(),(bfaf上的單調遞增的上的單調遞增的是是上是連續的上是連續的, ,且為且為 由函數連續性的定義可以證明由函數連續性的定義可以證明, ,指數函數指數函數) 1, 0(aaayx),(單調的單調的, ,值域為值域為 由定理由定理4 4得得, ,對數函數對數函數 ), 0( 上單調遞增的連續函數上單調遞增的連續函數. .同樣,由定理同樣,由定
18、理2 2得反三角函數得反三角函數 ,arccos,arcsinxxxarcxcot,arctan在它們的定義域內是連續的。在它們的定義域內是連續的。例如例如, ,因為因為xysin2,2上單調遞增的連續上單調遞增的連續是是函數,由定理函數,由定理4 4得反正弦函數得反正弦函數xyarcsin1 , 1是是在在) 1, 0(logaaxya), 0( 內單調且連續內單調且連續. . 在在 由此我們已經得到基本初等函數在其定義區間由此我們已經得到基本初等函數在其定義區間內都是連續的。內都是連續的。四、初等函數的連續性四、初等函數的連續性), 0(在Rxy下面證明冪函數下面證明冪函數 內連續。內連續
19、。 可以證明冪函數在其定義域內是連續的。可以證明冪函數在其定義域內是連續的。 , 0 x設設x于是冪函數于是冪函數,log xaaxy那么那么 ), 0( 因此由定理因此由定理3 3知它在知它在內連續。內連續。,對不同的對不同的可看作是由可看作是由xuayaulog,復合而成的。復合而成的。 再由初等函數的定義及定理再由初等函數的定義及定理1、定理、定理3可得可得 :一切初等函數在其定義區間內都是連續的一切初等函數在其定義區間內都是連續的.).()(lim00 xfxfxx即若即若0 x)(xf的定義區間內的點,那么的定義區間內的點,那么是初等函數是初等函數五、利用連續性求函數的極限五、利用連
20、續性求函數的極限例例 9 求求.)1ln(lim0 xxx解解 由對數函數的連續性及定理由對數函數的連續性及定理2 2得得: : . 1ln)1 (limln)1ln(lim)1ln(lim10100exxxxxxxxx例例10 選擇選擇 a 的值的值,使下面函數處處連續使下面函數處處連續:1,cos1,2)(xxaxxxf,coslim)(lim0101axaxfxx, 22lim)(lim0101xxfxx, 2) 1 (f又又所以,要使所以,要使xxf2)(1x解解 當當1x連續;當連續;當時時, ,時時, ,xaxfcos)(在在1x處處, ,連續連續; ;)(xf1x.a2在在處連續
21、處連續, ,綜上所得綜上所得, ,當當2a)(xf處處連續處處連續. .時時, ,例例11 計算計算. )ln(sinlim2xx解解 由對數函數和三角函數的連續性知由對數函數和三角函數的連續性知 )ln(sin x)ln(sinlim2xx. 0)2ln(sin2x在點在點所以有所以有處連續處連續, ,1.5.4 閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質一、最大值和最小值定理與有界性定理一、最大值和最小值定理與有界性定理)()(0 xfxf)()(0 xfxf定義定義 設函設函數數)(xfI如果存在如果存在,0Ix 定義在區間定義在區間 上上, , , Ix使得對于使得對于都有都有則稱則
22、稱)(0 xf)(xf為函數為函數在區間在區間I I上的最小值上的最小值( (最大值最大值) )。 定理定理5 5 若函若函數數,ba)(xf上連續,那么上連續,那么在閉區間在閉區間)(xf,ba上一定有最大值和最小值。上一定有最大值和最小值。在在,)(max)(1baxxfxf.,)(min)(2baxxfxf使得使得0ACDB)(xfy )(1xf)(2xfxy1x2xab即對于即對于,ba)(xf,21baxx,必必上的連續函數上的連續函數21,xx)(xf的最大值點和最小值點。的最大值點和最小值點。分別稱為函數分別稱為函數定理定理6 6 閉區間上的連續函閉區間上的連續函數數在該區間上一
23、定有有界在該區間上一定有有界. .由定理由定理5 5 可得:可得:考察下列考察下列3個函數:個函數:) 1 , 0(,1)() 1 (xxxf沒有最大值與最小值沒有最大值與最小值. . 在開區間上連續在開區間上連續, , )(xf011xy1xy(a)注意注意 1.1.如果定理如果定理5 5中的條件不滿足中的條件不滿足, ,結論就不一結論就不一定成立定成立. .2. 定理中定理中5的條件是充分的。的條件是充分的。, 10, 1)()2(xxxfy10001xxx沒有最大值和最小值沒有最大值和最小值. . )(xf在閉區間在閉區間 1 , 1, 0 x上有間斷點上有間斷點xy01-1(b). 1
24、0 , 1, 01,)()3(xxxxxg)(xf有最大值和最小值有最大值和最小值. . xy01-1-11(c)在閉區間在閉區間 1 , 1, 0 x上有間斷點上有間斷點二、零點存在定理與介值定理二、零點存在定理與介值定理, 0)()(bfaf則至少存在一點則至少存在一點),(ba. 0)(f 幾何上表示:幾何上表示:x與與軸至少有一個交點軸至少有一個交點.)(xfy 如果連續曲線弧如果連續曲線弧不同側,不同側,那么這段曲線弧那么這段曲線弧定理定理7 (7 (零點定理零點定理) )若函數若函數)(xf,ba在在上連續,且上連續,且,使得,使得x位于位于的兩個端點的兩個端點 軸的軸的x0ab1
25、)(xfy 12y3 幾何上表示:幾何上表示: 連續變連續變化的變量從一個值變到化的變量從一個值變到另一個值的過程中,一另一個值的過程中,一定要經過一切中間值而決定要經過一切中間值而決不會漏掉任何一個。不會漏掉任何一個。)(xfy )(af)(bfabCxy0定理定理8 8介值定理設函數介值定理設函數)(xf,ba在在上連續,上連續,為為Cbfaf),()()(af)(bf且且之間的任意一個數,之間的任意一個數,與與少存在一點少存在一點 ),(ba.)(Cf,使得使得則至則至Cafa)()(Cbfb)()(與與異號異號. . )(xfy )(af)(bfabCxy0證令證令 ,)()(Cxfx
26、那那么么)(x,ba上連續上連續, ,且且 在在由零點定理由零點定理( (定理定理7),7),),(ba使得使得 ),( , 0)(ba又又,)()(Cf從而得從而得,Cf)().(ba推論推論 閉區間上的連續函數一定可以取得其閉區間上的連續函數一定可以取得其最最大值大值M M與最小值與最小值m m之間的一切值。之間的一切值。),(),(21xfmxfM,Mm 證證 設設21,xx在在或或12,xx即得推論。即得推論。 上應用介值定理,上應用介值定理,AAAxfAAxfxf1)()()(令令) 3 ,3(,)(1xMxf11 AM,則有,則有 ,又,又,3 , 1,)(2xMxf例例12 12
27、 設函數設函數)(xf3 , 1.)(lim3Axfx上連續上連續, ,且且在在)(xf3 , 1證明證明上有界上有界. .在在證證 由由Axfx)(lim31, 0,當當可知可知, ,對對33x時時, ,恒有恒有1)( Axf,于是于是函數函數)(xf3 , 1, 02M使使上連續上連續,由定理由定理6知知,在在21,maxMMM 綜上所述綜上所述, ,取取 得得13,)(xMxf)(xf3 , 1即即上有界上有界.在在, 02)0(, 020)2(ff. 020)3(, 02) 1 (ff例例13 13 證明三次方程證明三次方程 0233223xxx證證 令令 , 2332)(23xxxx
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