1、4.4 數字特征與極限定理 在前面的課程中，我們討論了隨機變量在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，假設知道了隨機變量及其分布，假設知道了隨機變量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. f (x)xoxP(x)o 然而，在實踐問題中，概率分布普通然而，在實踐問題中，概率分布普通是較難確定的是較難確定的. 而在一些實踐運用中，人而在一些實踐運用中，人們并不需求知道隨機變量的一切概率性質，們并不需求知道隨機變量的一切概率性質，只需知道它的某些數字特征就夠了只需知道它的某些數字特征就夠了.某型號電視機的平均壽命某型號電視機的平均壽命18000小時

2、小時200小時小時 因此，在對隨機變量的研討中，確定因此，在對隨機變量的研討中，確定某些數字特征是重要的某些數字特征是重要的 .我們先引見隨機變量的數學期望我們先引見隨機變量的數學期望.在這些數字特征中，最常用的是在這些數字特征中，最常用的是期望和方差期望和方差 隨機變量的數學期望是概率論中最隨機變量的數學期望是概率論中最重要的概念之一重要的概念之一. 它的定義來自習慣上的它的定義來自習慣上的平均概念平均概念.我們從離散型隨機變量的數學期望開場我們從離散型隨機變量的數學期望開場.一、離散型隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望 1、概念的引入：、概念的引入： 某車間對工人的消費情況某車

3、間對工人的消費情況進展調查進展調查. 車工小張每天消費車工小張每天消費的廢品數的廢品數X是一個隨機變量是一個隨機變量. 如何定義如何定義X的平均值呢？的平均值呢？ 某交換臺每天某交換臺每天8:00-9:00收到的呼叫數收到的呼叫數X是是一個隨機變量一個隨機變量. 如何定義如何定義X的平均值即該交換的平均值即該交換臺每天臺每天8:00-9:00收到的平均呼叫數呢？收到的平均呼叫數呢？我們來看第一個問題我們來看第一個問題.假設統計假設統計100天天, 例例1 某車間對工人的消費情況進展調查某車間對工人的消費情況進展調查. 車工車工小張每天消費的廢品數小張每天消費的廢品數X是一個隨機變量是一個隨機變

4、量. 如如何定義何定義X的平均值呢？的平均值呢？32天沒有出廢品天沒有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;27. 1100213100172100301100320可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數為每天的平均廢品數為這個數能否作為這個數能否作為X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，假設另外統計可以想象，假設另外統計100天，車工小張天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數與前面的與前面的100天普通不會完全一樣，這另外天普通不會完全一樣，這另外

5、100天每天的平均廢品數也不一定是天每天的平均廢品數也不一定是1.27.n0天沒有出廢品天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均廢品數為天中每天的平均廢品數為(假定小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品) 普通來說普通來說,假設統計假設統計n天天,這是這是以頻率為權的加權平均以頻率為權的加權平均nnnnnnnn32103210由頻率和概率的關系由頻率和概率的關系 不難想到，在求廢品數不難想到，在求廢品數X的平均值時，用概率替代的平均值

6、時，用概率替代頻率，得平均值為頻率，得平均值為32103210pppp這是這是以概率為權的加權平均以概率為權的加權平均這樣得到一個確定的數這樣得到一個確定的數. 我們就用這個數作為我們就用這個數作為隨機變量隨機變量X的平均值的平均值 .這樣做能否合理呢？這樣做能否合理呢？ 無妨把小張消費中出廢品的情形無妨把小張消費中出廢品的情形用一個球箱模型來描畫用一個球箱模型來描畫:2230003111220 0 033111 有一個箱子，里面裝有有一個箱子，里面裝有10個大小，外形完全一樣的球，個大小，外形完全一樣的球，號碼如圖號碼如圖. 規定從箱中恣意取出一個球，規定從箱中恣意取出一個球，記下球上的號碼

7、，然后把球放記下球上的號碼，然后把球放回箱中為一次實驗回箱中為一次實驗. 記記X為所取出的球的號碼為所取出的球的號碼(對應廢品數對應廢品數) . X為隨機變量，為隨機變量，X的概率函數為的概率函數為2 . 02 . 03 . 03 . 03210X2230003111nnnnnnnnnM32103210)(對實驗次數對實驗次數(即天數即天數)n,及小張的消費情況進展及小張的消費情況進展統計，統計他不出廢品，出一件、二件、三統計，統計他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數件廢品的天數n0,n1,n2,n3 , 并計算并計算與與32103210pppp進展比較進展比較.2230003111那么對

8、那么對X作一系列察看作一系列察看(實驗實驗)，所得，所得X的實驗的實驗值的平均值也是隨機的值的平均值也是隨機的.由此引入離散型由此引入離散型r.vX的數學期望的定義如下的數學期望的定義如下: 1kkkpx 對于一個隨機變量，假設它能夠取的值對于一個隨機變量，假設它能夠取的值是是X1, X2, , 相應的概率為相應的概率為 p1, p2, , 但是，假設實驗次數很大，出現但是，假設實驗次數很大，出現Xk的頻率會的頻率會接近于接近于pk，于是可期望實驗值的平均值接近，于是可期望實驗值的平均值接近定義定義1 設設X是離散型隨機變量，它的概率函數是離散型隨機變量，它的概率函數是是: P(X=Xk)=p

9、k , k=1,2,也就是說也就是說,離散型隨機變量的數學期望是一離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數的和個絕對收斂的級數的和.1)(kkkpxXE1|kkkpx假設假設有限有限,定義定義X的數學期望的數學期望例例1 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只需把鑰匙，其中只需一把能翻開本人的家門，他隨意地試用這串鑰一把能翻開本人的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門匙中的某一把去開門. 假設每把鑰匙試開一次假設每把鑰匙試開一次后除去，求翻開門時試開次數的數學期望后除去，求翻開門時試開次數的數學期望.解解: 設試開次數為設試開次數為X,P(X=k)= 1/n , k=1

10、,2,nE(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是二、延續型隨機變量的數學期望二、延續型隨機變量的數學期望 設設X是延續型隨機變量，其密度函數為是延續型隨機變量，其密度函數為f (x),在數軸上取很密的分點在數軸上取很密的分點x0 x1x2q,p+q=1.為了補為了補償乙的不利位置，另行規定兩人下的賭注不償乙的不利位置，另行規定兩人下的賭注不相等，甲為相等，甲為 a, 乙為乙為b, ab. 如今的問題是：如今的問題是：a終究應比終究應比b大多少，才干做到公正？大多少，才干做到公正？解：設甲贏的錢數為解：設甲贏的錢數為X，乙贏的錢數為，乙贏的錢數為Y，依題意依題意,qpabX,pqb

11、aY解：設甲贏的錢數為解：設甲贏的錢數為X，乙贏的錢數為，乙贏的錢數為Y，為對雙方公正為對雙方公正,應有應有依題意依題意,qpabX,pqbaYE(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0, qbpa 故故 期望與風險并存數學家從期望值期望與風險并存數學家從期望值來察看風險，分析風險，以便作出正確來察看風險，分析風險，以便作出正確的決策的決策 例如，有一家個體戶，有資金一筆，如例如，有一家個體戶，有資金一筆，如運營西瓜，風險大但利潤高運營西瓜，風險大但利潤高(勝利的概率為勝利的概率為0.7，獲利，獲利2000元元)； 如運營工藝品，風險如運營工藝品，風險小

12、但獲利少小但獲利少(95會賺，但利潤為會賺，但利潤為1000元元)終究該如何決策？終究該如何決策？所以權衡下來，情愿所以權衡下來，情愿“搏一記，去運營西搏一記，去運營西瓜，因它的期望值高瓜，因它的期望值高于是計算期望值：于是計算期望值：假設運營西瓜，期望值假設運營西瓜，期望值E1=0.72000=1400元元而運營工藝品期望值而運營工藝品期望值E20.951000950元元 我們引見了隨機變量的數學期望，它我們引見了隨機變量的數學期望，它反映了隨機變量取值的平均程度，是隨機反映了隨機變量取值的平均程度，是隨機變量的一個重要的數字特征變量的一個重要的數字特征. 接下來我們將向大家引見隨機變量另接

13、下來我們將向大家引見隨機變量另一個重要的數字特征：一個重要的數字特征：方差方差 我們曾經引見了隨機變量的數學期望，我們曾經引見了隨機變量的數學期望，它表達了隨機變量取值的平均程度，是隨它表達了隨機變量取值的平均程度，是隨機變量的一個重要的數字特征機變量的一個重要的數字特征. 但是在一些場所，僅僅知道平均值是但是在一些場所，僅僅知道平均值是不夠的不夠的. 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現用甲、，現用甲、乙兩臺儀器各丈量乙兩臺儀器各丈量10次，將丈量結果次，將丈量結果X用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖： 假設讓他就上述結果評價一下兩臺儀器的假設讓他就上述結果評價一下

14、兩臺儀器的優劣，他以為哪臺儀器好一些呢？優劣，他以為哪臺儀器好一些呢？ a甲儀器丈量結果甲儀器丈量結果a 乙儀器丈量結果乙儀器丈量結果較好較好丈量結果的丈量結果的均值都是均值都是 a由于乙儀器的丈量結果集中在均值附近由于乙儀器的丈量結果集中在均值附近又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目的射擊甲、乙兩門炮同時向一目的射擊10發炮發炮彈，其落點距目的的位置如圖：彈，其落點距目的的位置如圖：他以為哪門炮射擊效果好一些呢他以為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮乙炮由于乙炮的彈著點較集中在中心附近由于乙炮的彈著點較集中在中心附近 . 中心中心中心中心 為此需求引進另

15、一個數字特征為此需求引進另一個數字特征,用它用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個數字特征就是我們要引見的這個數字特征就是我們要引見的方差方差一、方差的定義一、方差的定義 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它與由于它與X具有一樣的度量單位，在實具有一樣的度量單位，在實踐問題中經常運用踐問題中經常運用. 方差的算術平方根方差的算術平方根 稱為規范差稱為規范差)(XD設設X是一個隨機變量，假設是一個隨機變量，假設E(X-E(X)2，那么稱，那么稱D(X)=EX-E(X)2 (1)為為

16、X的方差的方差.假設假設X的取值比較分散，的取值比較分散，那么方差較大那么方差較大 .假設方差假設方差D(X)=0,那么那么r.v X 以概率以概率1取常數取常數值值 . 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度期望的離散程度 .假設假設X的取值比較集的取值比較集中，那么方差較小；中，那么方差較小；D(X)=EX-E(X)2X為離散型，為離散型，P(X=xk)=pk 由定義知，方差是隨機變量由定義知，方差是隨機變量X的函數的函數g(X)=X-E(X)2的數學期望的數學期望 .,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkkkX為延續型，為延續

17、型，Xf(x)二、計算方差的一個簡化公式二、計算方差的一個簡化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質性質請本人用此公式計算常見分布的方差請本人用此公式計算常見分布的方差.例例1 設設r.v X服從幾何分布，概率函數為服從幾何分布，概率函數為P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n其中其中0p0,2 或或 由切比雪夫不等式可以看出，假設由切比雪夫不等式可以看出，假設 越小，那么事件越小，那么事件|X-E(X)| 的概率越大的概

18、率越大，即隨機變量，即隨機變量X集中在期望附近的能夠性集中在期望附近的能夠性越大越大.2 221| )(| XEXP22| )(| XEXP由此可領會方差的概率意義：由此可領會方差的概率意義：它刻劃了隨機變量取值的離散程度它刻劃了隨機變量取值的離散程度.如下圖如下圖當方差知時，切比雪夫不等式給出了當方差知時，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏向不小于與它的期望的偏向不小于 的概率的估計的概率的估計式式 . 如取如取 322| )(| XEXP111. 093| )(|22XEXP 可見，對任給的分布，只需期望和方差可見，對任給的分布，只需期望和方差 存在，那么存在，那么 r.v X取

19、值偏離取值偏離E(X)超越超越 3 的概率小于的概率小于0.111 .2 例例3 知正常男性成人血液中，每一毫升白知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是細胞數平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在52009400之間的概率之間的概率 .解：設每毫升白細胞數為解：設每毫升白細胞數為X依題意，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為所求為 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 21

20、00)2)2100()(1XD = P |X-E(X)| 2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 21002)2100700(198911即估計每毫升白細胞數在即估計每毫升白細胞數在52009400之間的之間的概率不小于概率不小于8/9 . 例例4 在每次實驗中，事件在每次實驗中，事件A發生的概率為發生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需求多大時，需求多大時，才干使得在才干使得在n次獨立反復實驗中次獨立反復實驗中, 事件事件A出現的出現的頻率在頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90?解：設解：設X為為n 次實驗中

21、，事件次實驗中，事件A出現的次數，出現的次數，E(X)=0.75n, 的最小的的最小的n .900760740.).(nXP那么那么 XB(n, 0.75)所求為滿足所求為滿足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nXD = P |X-E(X)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751 P(0.74n X0.76n )76.074.0(nXP)76. 074. 0(nXP可改寫為可改寫為在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，那么，那么0.01 = P |X-E(X)| 0.01n187509 . 011875n解得解