1、拋物線的定義及其標準方程教案  教學目標1使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關問題2通過教學，培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明3培養學生運用數形結合的數學思想理解有關問題教學重點與難點拋物線標準方程的推導及有關應用既是教學重點，又是難點教學過程師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌道，當e1時，是橢圓，當e1時，是雙曲線(計算機演示動畫圖2-45)(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p(2)通過提問，讓學生思考隨著e

2、的變化曲線的形狀的變化規律同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕(圖2-46)我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節課主要的研究對象(師板書課題拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫

3、做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線(投影)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：在方程中都僅有x、y的二次項當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發生怎樣的變化？生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線)所以方程應為Ay2+Bx+C

4、=0的形式師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？生：建立直角坐標系師：如何建立？學生甲：取經過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)師：點M滿足什么條件？生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1師：這些條件能否轉化成點M的坐標所滿足的條件？請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px(1)師：顯然符合預想的形式這個方程就叫作拋物線的標準方程在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？生：二次函數的表達式師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數項的二次函數，而曲線的形狀也與拋

5、物線完全一致師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況(計算機演示圖2-48)師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點生：共同點有：原點在拋物線上對稱軸為坐標軸準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的四分之一不同點：拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取

6、負號師：作為應用，請同學們看下面的例題(展示投影)例1  (1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程(2)分析  要求拋物線的標準方程，需確定焦點在y軸的負半軸上，求出p值例2  經過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2求y1·y2的值(計算機演示圖形圖2-49)師：首先弄清題意條件有哪些？求什么？如何求？(師板書)故y1·y2=-p2師：還有其他辦法嗎？可否根據拋物線的定義？生：如圖2-50，根據拋物線的定義，|AF|

7、=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結果怎樣？(計算機演示動畫圖2-51)師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了怎樣求交點坐標？生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解師：如何建立直線方程？生：利用點斜式(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程)與拋物線方程聯立，消去x可得：引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關系？(計算機演示動畫圖2-52)學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成師：請同學小結這節課的內容(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式)作業：課本

8、第98頁習題八：1，2設計說明1關于教學過程(1)由于拋物線的定義是本章的主要內容之一，因而將它作為教學目標之一(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養這對于提高學生的一般科學素養，形成和發展他們的數學品質，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2(3)按照大綱的要求，在教學中培養學生運用數學思想方法解決有關問題，據此制定了目標32關于教學重點為實現教學目標，把充分展現拋物線的定義及標準方程的探索、發現、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節課的重點3關于教學方法按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協調原則”和“二主方針

9、”，運用問題性，給學生創造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發式4關于教學手段利用計算機輔助教學，演示圖形的動態變化過程，彌補傳統教學手段(如投影片、模型等)的不足之處(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統一定義，以及曲線形狀變化與常數e的大小之間的關系(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統教學中此處的生硬與牽強(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現的動態效果5關于教學過程(1)復習內容的確定，旨在通過聯想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規律，類比、聯想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現科學發現的本質，培養學生合理