1、會計學1隨機變量的函數的數學期望隨機變量的函數的數學期望解解的分布律的分布律先求先求2XY 2XY p4102p31pp 4p則有則有( )E Y42124)(10pppp 422212221)1(0pppp 421iiix p 第1頁/共13頁(1)(1)若若X是離散型隨機變量，且是離散型隨機變量，且 X 的的概率分布為概率分布為 ，iipxXP , 2 , 1 i.)()()( iiipxgXgEYE(2)(2)若若X是連續型隨機變量，且其概率密度是連續型隨機變量，且其概率密度為為 f( (x) )， 則則.d)()()()( xxfxgXgEYE則則第2頁/共13頁解解X- -2- -1

2、00.1P 10.20.30.4例例4.3 4.3 設隨機變量設隨機變量 X 的概率分布如下的概率分布如下： 求求)13( XE, ,2EX. . 41) 13() 13(iiipxXE 4122iiipxEX.14 . 043 . 012 . 021 . 05 .14 . 013 . 002 . 011 . 04 第3頁/共13頁解解例例4.4 4.4 設隨機變量設隨機變量 X 的概率密度為的概率密度為拉普拉斯分布拉普拉斯分布 ，|e21)(xxf x xxxfXEd)()( xxxde21|.0 xxfxXEd)()(22 xxxde21|2 02dexxx.2 第4頁/共13頁解解例例4

3、.5 4.5 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個整點的第每個整點的第5分鐘、分鐘、25分鐘和分鐘和 55分鐘從底層起行假分鐘從底層起行假設有一游客在早上設有一游客在早上8 8點的第點的第X分鐘到達底層等候電梯，且分鐘到達底層等候電梯，且X在在0,600,60上均勻分布，求該游客等候時間的數學期望上均勻分布，求該游客等候時間的數學期望 6055,655525,55255,2550,5XXXXXXXXY以以Y 表示游客的等候時間，則表示游客的等候時間，則故故 25550d601)25(d601)5()(xxxxYE 55256055(min)335

4、d601)65(d601)55(xxxx第5頁/共13頁(1) (1) 若若( (X, ,Y) )是離散型隨機變量，且其聯合分布律為是離散型隨機變量，且其聯合分布律為 ，ijjipyYxXP , 2 , 1, ji則則.),(),()( jiijjipyxgYXgEZE(2) (2) 若若(X, ,Y)是是連續連續型隨機變量型隨機變量，聯合概率密度為聯合概率密度為f(x, ,y)，則則 yxyxfyxgYXgEZEdd),(),(),()(第6頁/共13頁0XY1 013130011013解解 23 ii jijEXx p 1110 0 00 0 11 0 1333 0EY 類類似似計計算算得

5、得， 0.E XY 第7頁/共13頁1 1xy 1312d123ln23xxxx.43 解解例例4.7 4.7 設隨機變量設隨機變量( (X, ,Y) )的聯合概率密度為的聯合概率密度為 其其他他 , 0 1,1 , 23),(23xxyxyxyxf. )1(),(XYEYE求求 xxyyxx131d23d yxyxfyYEdd),()( 13dln2123xxx第8頁/共13頁1 1xy xxyyxx1341d23d yxyxfxyXYEdd),(1)1( 1224d)1(12123xxxx 162d)11(43xxx.53)511(43 解解例例4.7 4.7 設隨機變量設隨機變量( (X

6、, ,Y) )的聯合概率密度為的聯合概率密度為 其其他他 , 0 1,1 , 23),(23xxyxyxyxf. )1(),(XYEYE求求第9頁/共13頁性質性質 E( (C)=)=C，其中，其中C是常數。是常數。 性質性質 設設X、Y獨立，則獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);性質性質 若若k是常數，則是常數，則 E(kX)=kE(X);性質性質 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); niiniiXX11)(EE:推廣推廣(諸諸Xi 獨立時獨立時)注意注意:E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨立獨立推廣：推廣：)(EE11 niiiniiiXkXk第

7、10頁/共13頁 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機場開出位旅客自機場開出,旅旅客有客有10個車站可以下車個車站可以下車.如到達一個車站沒有旅客如到達一個車站沒有旅客下車就不停車下車就不停車. 以以X表示停車的次數表示停車的次數, 求求E(X) (設每設每位旅客在各個車站下車是等可能的位旅客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是并設各旅客是否下車相互獨立否下車相互獨立).引入隨機變量引入隨機變量 站站無無人人下下車車第第站站有有人人下下車車第第iiXi, 0, 110, 2 , 1 , i則有則有1021XXXX 例例4.84.8解解由題意由題意, 有有第11頁/共13頁則有則有1021XXXX 由題意，由題意，有有,1090P20