1、第第5章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 http:/ 、 質 心 運 動、 質 心 運 動（杠桿杠桿）4、不同質量分、不同質量分布的等質量柱體布的等質量柱體滾動滾動5、車輪進動、車輪進動一、剛體的定軸轉動定律一、剛體的定軸轉動定律二、轉動剛體的角動量守恒二、轉動剛體的角動量守恒三、剛體轉動的功和能三、剛體轉動的功和能四、無滑動滾動四、無滑動滾動 瞬時轉軸瞬時轉軸（補充）（補充）五、進動五、進動目目 錄錄一、剛體的定軸轉動定律一、剛體的定軸轉動定律 zO miri zzzzJtJtLM dddd,2iiizrmJ zzJL mrJzd2 :zM外力矩沿外力矩沿z軸分量的代數和軸分量的代數和剛體

2、沿剛體沿z軸的角動量軸的角動量:zL剛體對剛體對z軸的轉動慣量軸的轉動慣量:zJ2、適用于轉軸固定于、適用于轉軸固定于慣性系慣性系中的情況。中的情況。3、對于轉軸通過質心的情況，如果質心有加速對于轉軸通過質心的情況，如果質心有加速度，上式也成立。度，上式也成立。（慣性力對質心的力矩和慣性力對質心的力矩和為零為零）1、由關于定點的質點系角動量定理，向過該點、由關于定點的質點系角動量定理，向過該點的固定轉軸投影得到。的固定轉軸投影得到。 zzzzJtJtLM ddddzfrM)( 轉動轉動平面平面of f/fz rr外力外力對固定轉軸力矩的計算：對固定轉軸力矩的計算： fr0 M：沿轉軸方向：沿轉

3、軸方向0 M：沿轉軸反方向：沿轉軸反方向轉動平面內的分轉動平面內的分力對轉軸的力矩力對轉軸的力矩計算轉動慣量的幾條規律：計算轉動慣量的幾條規律：1、對同一軸可疊加：、對同一軸可疊加： iiJJ2、平行軸定理：、平行軸定理：2mdJJc 3、對薄平板剛體，有、對薄平板剛體，有垂直垂直軸定理：軸定理：yxzJJJ JcJdmC質心質心 rix z yi xi mi yR221mR241mR常用的轉動慣量常用的轉動慣量232mRJ 直徑直徑薄球殼：薄球殼：252mRJ 直徑直徑球體：球體：2121mLJ 過中點垂直于桿過中點垂直于桿細桿：細桿：231mLJ 過一端垂直于桿過一端垂直于桿圓柱體：圓柱體

4、：221mRJ 對稱軸對稱軸【例例】轉軸光滑，初態靜止，求下擺到轉軸光滑，初態靜止，求下擺到 角時的角加速度，角速度，轉軸受力。角時的角加速度，角速度，轉軸受力。解：解：剛體定軸轉動剛體定軸轉動1、受力分析受力分析2、關于關于O軸列軸列轉動定理轉動定理231mlJO mgloM cos2 OOJM lg2cos3 【思考思考】為什么不關于過為什么不關于過質心質心軸列轉動定理？軸列轉動定理？,ddt 由由 求求 ：tdd ddd t,2cos3lg lg sin3 00dd sin23212lg 2212llan nnmamgN sin（1） 平動：平動：質心運動定理質心運動定理nN sinmg

5、Nn25 3、求轉軸受力求轉軸受力 OCCC,JM（2） 轉動：轉動：關于質心軸列轉動定理關于質心軸列轉動定理tN cosmgNt41 21212mlJ,lNMCtC 為什么？為什么？【例例】一長為一長為L，質量為，質量為m的均勻細棒，水平放的均勻細棒，水平放置靜止不動，受垂直向上的沖力置靜止不動，受垂直向上的沖力F作用，沖量作用，沖量為為F t（ t很短），很短），沖力的作用點距棒的質心沖力的作用點距棒的質心l遠，求沖力作用后棒的運動狀態。遠，求沖力作用后棒的運動狀態。解解 （1）質心的運動質心的運動0)(CmvtmgF tmmgFvC 0質心以質心以vC0的初速做上拋運動。的初速做上拋運動

6、。lFC（2）在上拋過程中棒的轉動在上拋過程中棒的轉動tJJFlCCdd 繞過質心轉軸，列轉動定理：繞過質心轉軸，列轉動定理：lFCtJC tJC 212mLtFlJtFlC 在上拋過程中，棒以恒定角在上拋過程中，棒以恒定角速度速度 繞過質心軸繞過質心軸轉動。轉動。【演示【演示實驗】實驗】 質心運動質心運動（杠桿杠桿） 二、轉動剛體的角動量守恒二、轉動剛體的角動量守恒1、繞定軸轉動、繞定軸轉動2、幾個剛體、幾個剛體繞同一定軸繞同一定軸轉動轉動【演示【演示實驗】實驗】茹科夫斯基轉椅茹科夫斯基轉椅( (和車輪和車輪) )、陀螺儀、陀螺儀3、關于過質心軸、關于過質心軸若合外力矩為零，則剛體總角動量守

7、恒，角若合外力矩為零，則剛體總角動量守恒，角動量可在這幾部分間傳遞。動量可在這幾部分間傳遞。若合外力矩為零，則剛體角動量守恒。若合外力矩為零，則剛體角動量守恒。若對過質心軸合外力矩為零，則對該軸剛體若對過質心軸合外力矩為零，則對該軸剛體角動量守恒。角動量守恒。無論質心軸是否是慣性系。無論質心軸是否是慣性系。三、剛體轉動的功和能三、剛體轉動的功和能力矩的功力矩的功： 21 d dMW不太大剛體的重力勢能不太大剛體的重力勢能：CpmghE 機械能守恒定律機械能守恒定律：只有保守力做功時只有保守力做功時常數常數 pkEE2122122121 JJEEWkk 合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的合外

8、力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功，等于它的轉動動能的增加功，等于它的轉動動能的增加用機械能守恒重解：用機械能守恒重解： 轉軸光滑，初態靜止，求下擺到轉軸光滑，初態靜止，求下擺到角角時的角加速度，角速度。時的角加速度，角速度。lgdtdlg2cos3sin3 解解：桿機械能守恒桿機械能守恒比用轉動定律簡單！比用轉動定律簡單！勢能零點勢能零點繞固定軸繞固定軸轉動動能轉動動能 223121sin20mlJJlmg 桿動能的另一種表達：桿動能的另一種表達：科尼西定理科尼西定理勢能零點勢能零點質心動能質心動能繞過質心軸繞過質心軸轉動動能轉動動能 22212121221sin20mlJJlmlmgcc

9、 四、剛體的無滑動滾動四、剛體的無滑動滾動 瞬時轉軸瞬時轉軸（補充）（補充）1、平面平行運動平面平行運動只考慮圓柱，球等只考慮圓柱，球等軸對稱剛體軸對稱剛體的滾動。的滾動。質心做平面運動繞過質心垂直軸做轉動質心做平面運動繞過質心垂直軸做轉動2、無滑動滾動：、無滑動滾動：RCpcvca 任意時刻接觸點任意時刻接觸點P 瞬時靜止瞬時靜止 RaRvCC 無滑動滾動條件：無滑動滾動條件：【思考思考】下一時刻下一時刻P點位置？點位置？Cmafmg sin轉動慣量小的滾得快！轉動慣量小的滾得快！【演示實驗】【演示實驗】不同質量分布的等質量柱體滾動不同質量分布的等質量柱體滾動質心運動定理質心運動定理過質心軸

10、轉動定理過質心軸轉動定理純滾動條件純滾動條件（運動學條件運動學條件）2sinmRJmgRC 【例例】兩個質量和半徑兩個質量和半徑都相同，但轉動慣量不都相同，但轉動慣量不同的柱體，在斜面上作同的柱體，在斜面上作無滑動滾動，哪個滾得無滑動滾動，哪個滾得快？快？ mgfRC CJRf RaC xy3、軸對稱、軸對稱剛體無滑動滾動剛體無滑動滾動中的瞬時轉軸中的瞬時轉軸CpABDEFv 時刻時刻t 接觸點接觸點P 瞬瞬時靜止；時靜止； 在時間在時間( (tt+ t) )內內，以以P點為原點點為原點建立平動坐標系；建立平動坐標系； 時間時間( (t t+ t) )內，內，剛體的運動（質心平動、剛體的運動（

11、質心平動、繞質心軸轉動）可以看成：繞質心軸轉動）可以看成：繞過繞過 P 點且垂直于點且垂直于固定平面的轉軸的無滑動滾動。固定平面的轉軸的無滑動滾動。接觸點接觸點P ：瞬時轉軸瞬時轉軸瞬時轉動中心瞬時轉動中心繞繞瞬時轉軸的轉動定理的形式？瞬時轉軸的轉動定理的形式？ 雖然雖然p點瞬時靜止，但有加速度，所以除了點瞬時靜止，但有加速度，所以除了力矩力矩Mp外，還外，還應考慮慣性力矩。應考慮慣性力矩。 下面證明：下面證明：對于無滑動滾動的對于無滑動滾動的軸對稱剛體，軸對稱剛體，接觸點接觸點p的加速度沿過的加速度沿過p點的半徑方向，因此，點的半徑方向，因此，關于過關于過p點的轉軸，慣性力矩等于零。點的轉軸

12、，慣性力矩等于零。 慣性力作用在質心上，方向與慣性力作用在質心上，方向與p點的加速度點的加速度方向相反。方向相反。 ppJM :pJ關于過關于過p點轉軸的轉動慣量點轉軸的轉動慣量軸對稱剛體，繞軸對稱剛體，繞瞬時轉軸的轉動定理：瞬時轉軸的轉動定理：24證明：證明：pCpaaa :pap點相對慣性系的加速度點相對慣性系的加速度:pa p點相對質心的加速度點相對質心的加速度RCpcvca pnptpaaa 按切、法向分解按切、法向分解：無滑動滾動：無滑動滾動：,Cptvv Cptaa pnptCpaaaa p點加速度沿半徑方向點加速度沿半徑方向appna pnCCaaa 過過p點轉軸慣性力矩等于零點轉軸慣性力矩等于零25【例例】兩個質量和半徑兩個質量和半徑都相同，但轉動慣量不都相同，但轉動慣量不同的柱體，在斜面上作同的柱體，在斜面上作無滑動滾動，哪個滾得無滑動滾動，哪個滾得快？快？關于瞬轉軸列轉動定理重解：關于瞬轉軸列轉動定理重解： mgfRCp pJmgR sin2mRJJCp