1、學習好資料歡迎下載勾股定理的16種基本證明法【證法11畢達哥拉斯證明做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2),整理得到：a2+b2=c2。【證法2(鄒元治證明)以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.RtAHAE二R

2、tAEBF,/AHE=/BEF.:/AEH+/AHE=90o/AEH+/BEF=90o./HEF=180o90o=90o四邊形EFGH是一個邊長為c學習好資料歡迎下載的正方形.它的面積等于cA2.RtAGDH二RtAHAE,ZHGD=/EHA.ZHGD+ZGHD=90Q/EHA+/GHD=90Q ./DHA=90(+900=1800 ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于(a+b)A2. .(a+b2=c，+4*(ab，aA2+bA2=cA2o又/GHE=90Q【證法3（趙爽證明）方形，它的面積等于cA2.;EF=FG=GH=HE=ba/HEF=90qEFGH是一個邊長為b-a的正方

3、形，它的面積等于(b-a)A2.(b-a)A2+4*(ab/2)=cA2,aA2+bA2=cA2。以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.RtADAH二RtAABE,/HDA=/EAB.:/HAD+/HAD=900,/EAB+/HAD=900, .ABCD是一個邊長為c的正學習好資料歡迎下載【證法4（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.Rt

4、AEAD里RtACBE,/ADE=/BEC:/AED+/ADE=90o, /AED+/BEC=90o. .DEO一個等腰直角三角形，它的面積等于cA2/2.又/DAE=90o,/EBC=90o, .AD/BCABCD是一個直角梯形，它的面積等于(a+b)A2/2(a+b)A2/2=2*ab/2+cA2/2, .aA2+bA2=cA2。/DEC=180o-90o=90o.學習好資料歡迎下載【證法5（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.D、E、F在一條直線上，且R

5、tGEHRtEBD,/EGF=/BED,:/EGF+/GEF=90,/BED+/GEF=90, ./BEG=180x90o=90q又AB=BE=EG=GA=c, .ABEG是一個邊長為c的正方形.RtAABC二RtAEBD,/ABC=/EBD. /EBD+/CBE=90o即/CBD=900又/BDE=900,/BCP=90o,BC=BD=a. .BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S,則aA2+bA2=S+2*ab/2cA2=S+2*ab/2 .aA2+bA2=cA2。/ABC+/CBE=90q學習好資料歡迎下載【證法6（項明達證明）

6、做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a）,斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.BCPM是一個矩形，即/MBC=90QZQBM+/MBA=/QBA=900,/ABC+/MBA=/MBC=900,.ZQBM=/ABC,過點Q作QP/IBC,交AC于點又:/BMP=90q/BCA=P.過點B作BM，PQ,垂足為M;再過點F作FNXPQ,垂足為N.:/BCA=900,QP/BC,./MPC=900,;BM±PQ,900,BQ=BA=c,RtABMQ二RtABCA.同理可證RtAQNF二RtAAEF從而

7、將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）./BMP=900,學習好資料歡迎下載【證法7（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CLXDE,交AB于點M,交DE于點L.;AF=AC,AB=AD,/FAB=/GAD,AFAB二AGAD,FAB的面積等于aA2/2,GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，.矩形ADLM的面積=aA2.同理可證，矩形MLEB的面積52.正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積.aA2+bA2=cA2。【證法8（利用相似三角形性質證明）如圖，在RtAABC中，設直角

8、邊AC、BC的長度分別為a、b,斜學習好資料歡迎下載邊AB的長為c,過點C作CD，AB,垂足是D.在AADC和AACB中,ZADC=ZACB=90o,ZCAD=/BAC,AADCsAACBiACA2+BCA2=(AD+BD)*AB=ABA2,即2八2+13八2M八2。AD：AC=AC:AB,即ACA2=AD*AB.同理可證，ACDBsAACB,從而有BCA2=BD*AB.【證法9(楊作玫證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如C,AF交GT于F,AF交DT于R.過B作BPXAF,垂足為P.過D作DE與CB

9、的延長線垂直，垂足為E,DE交AF于H.:/BAD=90o,/PAC=90o,./DAH=/BAC.又/DHA=90o,/BCA=90o,AD=AB=c,RtADHA二RtABCADH=BC=a,AH=AC=圖所示的多邊形.過A作AFLA學習好資料歡迎下載b.由作法可知，PBCA是一個矩形，所以RtAAPB二RtABCA.即PB=.GF=FH=a.TFXAF,TF=GT-GF=ba.TFPB是一個直角梯形，上底TF=ba,下底BP=b,高FP=a+(ba).CA=b,AP=a,從而PH=ba.RtADGT二RtABCA,RtDHA里RtABCARtADGT二RtADHA.DH=DG=a,/GD

10、T=/HDA.又/DGT=900,/DHF=900,/GDH=/GDT+/TDH=用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為1=Sj+S十%+見+&,應+凡“二/_國_既把代人，得=*+廝+品=8，+/,二/十W/HDA+/TDH=900,.DGFH是一個邊長為a的正方形.【證法10（李銳證明）學習好資料歡迎下載設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數字表示面積的編號(如圖)./TBE=/ABH=90o,二ZTBH=/ABE.又:/BTH=/BEA=

11、900,BT=BE=b,RtAHBT二RtAABE.HT=AE=a.GH=GT-HT=ba.又/GHF+/BHT=900,/DBC+/BHT=ZTBH+/BHT=900,;DB=EB-ED=ba,/HGF=/BDC=900,RtAHGF二RtABDG即S7=S2.過Q作QM±AG,垂足是M.由/BAQ=/BEA=900,可知/ABE=/QAM，而AB=AQ=c,所以RtAABE二RtAQAM.又RtHBT里RtAABE所以RtAHBT里RtAQAM.即S8=S5由RtAABE二RtAQAM,又得QM=AE=a,/AQM=/BAE.:/AQM+/FQM=90q/BAE+/CAR=900

12、,/AQM=/BAE,/FQM=/CAR.又/QMF=/ARC=900,QM=AR=a,/GHF=/DBC.學習好資料歡迎下載.RtQMF二RtARC即S4=S6【證法11（利用切割線定理證明）在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E,則BD=BE=BC=a.因為/BCA=90o,點C在。B上，所【證法12（利用多列米定理證明）以AC是。B的切線.由切割線定理，得在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c（如圖）.過點A作AD/CB,過點B作BD/CA,則ACBD為矩形，矩形ACBD內接于一個圓.

13、根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有學習好資料歡迎下載DC=BC+AC”口,;AB=DC=c,AD=BC=a,AC=BD=b,AB2=EC24-0即/二一十從【證法13（作直角三角形的內切圓證明）在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.作RtAABC的內切圓。O,切點分別為D、E、F（如圖），設。O的半徑為r.;AE=AF,BF=BD,CD=CE,AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF)=CE+CD=r+r=2r,學習好資料歡迎下載A即口+3-白=2產，-a-b=2r+c-i£i+小ia=»2rH-cj2

14、,即/+/-2ab-4ir2+比，+”,63c=-,2j又；Eaabc-cr+ar+br+i+cr222二2-'2r4-c4-（；（ro=2二儲+rc，4卜1+rt仁4Swc，,4r2+rc1=2ab,，a1+i2+2ab2ab+c2*:a2=c3-【證法14（利用反證法證明）b,斜邊A如圖，在RtAABC中，設直角邊AGBC的長度分別為a、B的長為c,過點C作CDLAR垂足是D.學習好資料歡迎下載假設蘇即假設AC2則由AB2ABABAB'AD+BDABAD+ABBD可知AC11ABAD或者BC2tABBD-即AlhAC盧AC：AB,或者BDiBC盧BC：AB.在AADC和AA

15、CB中，1 .'ZA=ZA,.',若AI）：ACAC：AB,則ZADCZACB.在ACDB和AACB申，'/ZB=ZBf.1.若BD：BCBC：AB,則Zcdb#Zacb.又ZACB=90°,.1.NADC,90。,ZCDB900.這與作法CDAB矛盾.所以，幺爐的假設不能成立.【證法15（辛卜松證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD把正的幾個部分，則正方形ABCM面積為（a+b）A2=aA2+2ab+bA2;把正方形ABCfJ分成上方右圖方形ABC或IJ分成上方左圖所示學習好資料歡迎下載所示的幾個部分，則正方

16、形ABCD的面【證法16(陳杰證明)設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形(b>a),把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上.用數字表示面積的編號(如圖).在EH=b上截取ED=a,連結DA、DC,則AD=c.EM=EH+HM=b+a,21o積為2:2油+一.*,/+2b=2ab+1#二二小.DM=EMHED=(b+a)a=b.又/CMD=90o,CM=a,/AED=900,AE=b,RtAAED二RtADMC/EAD=/MDC,DC=AD=c.:/ADE+ZADC+/MDC=1800,/ADE+/MDC=/ADE+/E