1、建立幾何直觀的教學視角建立幾何直觀的教學視角黃玉香黃玉香 2014.112014.11 “小學數學新課標理念與實踐研究小學數學新課標理念與實踐研究”系列活動系列活動 專題一：數據分析觀念培養（龜湖）專題一：數據分析觀念培養（龜湖） 專題二：數學文化滲透（實小）專題二：數學文化滲透（實?。?專題三：基本活動經驗解讀與實踐研究（三?。ｎ}三：基本活動經驗解讀與實踐研究（三?。?專題四：幾何直觀能力培養（二小）專題四：幾何直觀能力培養（二?。?專題五：推理能力培養專題五：推理能力培養 專題六：數學基本思想滲透專題六：數學基本思想滲透 專題七：良好學習習慣培養專題七：良好學習習慣培養 專題八：專題八：

2、“綜合與實踐綜合與實踐”難點透視難點透視 專題九：課程資源有效利用專題九：課程資源有效利用 專題十：學習評價研究專題十：學習評價研究活動背景活動背景幾何直觀在教學上更為深遠的意義何在？幾何直觀在教學上更為深遠的意義何在？應該建立怎樣的幾何直觀教學視角？應該建立怎樣的幾何直觀教學視角？ 一、幾何直觀的含義一、幾何直觀的含義 二、幾何直觀的作用二、幾何直觀的作用 三、幾何直觀的表現形式三、幾何直觀的表現形式 四、幾何直觀的兩種層次四、幾何直觀的兩種層次 五、相關術語的辨析五、相關術語的辨析 六、深度解讀幾何直觀六、深度解讀幾何直觀 七、幾何直觀在教學中的運用七、幾何直觀在教學中的運用建立幾何直觀的

3、教學視角建立幾何直觀的教學視角一、幾何直觀的含義一、幾何直觀的含義 幾何直觀主要指幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學直觀地理解數學，在整個，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。數學學習過程中都發揮著重要作用。（20112011版課標）版課標）一、幾何直觀的含義一、幾何直觀的含義直觀：直觀：直接的觀察，通過對事物的直接接觸而獲直接的觀察，通過對事物的

4、直接接觸而獲得的感性認識；得的感性認識；幾何：幾何：在幾何直觀的語境下指圖形；在幾何直觀的語境下指圖形；幾何直觀：幾何直觀：就是就是而獲得的對數學研究對而獲得的對數學研究對象的感性認識。象的感性認識。 二、幾何直觀的作用二、幾何直觀的作用 認知心理學認為，學習是人腦內部復雜的信認知心理學認為，學習是人腦內部復雜的信息加工與組織過程。在這個信息加工與組織過程息加工與組織過程。在這個信息加工與組織過程中，中，而不是依據文字或符號敘述的定義定理。而不是依據文字或符號敘述的定義定理。視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角。物體越小或距離越遠，視角越小

5、。叉而成的角。物體越小或距離越遠，視角越小。思維的展開更傾向于思維的展開更傾向于依據直觀形象的成分依據直觀形象的成分思維的展開更傾向于思維的展開更傾向于依據直觀形象的成分依據直觀形象的成分“約分約分”高高三角形的高三角形的高看小說看小說1.451.541.4951.504三、幾何直觀的表現形式三、幾何直觀的表現形式 1. 實物直觀（即實物圖）實物直觀（即實物圖） 2. 替代物直觀（已經具備一定的抽象性）替代物直觀（已經具備一定的抽象性）3. 圖形直觀圖形直觀實實物物直直觀觀 實實物物直直觀觀 替代物直觀替代物直觀 小圓片、小三角形小圓片、小三角形 點子圖點子圖 小棒（單根、一捆、一箱）小棒（單

6、根、一捆、一箱） 小方塊（單個、條、面、體）小方塊（單個、條、面、體） 計數器計數器替替代代物物直直觀觀 替替代代物物直直觀觀 圖形直觀圖形直觀線段圖（直條圖、示意圖）線段圖（直條圖、示意圖）面積模型圖（乘法分配律、面積公式）面積模型圖（乘法分配律、面積公式）統計圖（三種）統計圖（三種）圖形的變換（平移、旋轉、軸對稱）圖形的變換（平移、旋轉、軸對稱）函數圖（正反比例、看圖找關系）函數圖（正反比例、看圖找關系） 四、幾何直觀的兩種層次四、幾何直觀的兩種層次1.1.直觀感知直觀感知2.2.直觀洞察直觀洞察（首次接觸）（首次接觸） 直直觀觀 洞洞察察例例2 2：觀察發現：平移、旋轉能夠由軸對：觀察發

7、現：平移、旋轉能夠由軸對稱來實現。進而猜想：是不是所有的平稱來實現。進而猜想：是不是所有的平移、旋轉都能由軸對稱來替代？移、旋轉都能由軸對稱來替代？ 直直觀觀 洞洞察察一般地，兩次對折，當對稱軸互相平行時，相當于一般地，兩次對折，當對稱軸互相平行時，相當于一次平移；當對稱軸相交時，相當于一次旋轉一次平移；當對稱軸相交時，相當于一次旋轉 。 直觀洞察直觀洞察 （抽象性）（抽象性）直觀感知直觀感知 （直觀性）（直觀性）五、相關術語的辨析五、相關術語的辨析1. 幾何直觀與數形結合幾何直觀與數形結合2. 幾何直觀與空間觀念幾何直觀與空間觀念 1.1.幾何直觀與數形結合幾何直觀與數形結合數形結合數形結合

8、主要指借助主要指借助“形形”的直觀來理解抽象的的直觀來理解抽象的“數數”。（分數、行程問（分數、行程問題）題）“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數缺形時少直覺，形少數時難入微?！? (華羅庚）華羅庚）用數表示變化規律：用數表示變化規律：1、3、5、7、9。用算式表示變化規律：用算式表示變化規律： 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9 。規律表示：規律表示：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1中心起點：中心起點：1 1紅線上點數：紅線上點數：1+3 4紅藍線上點數：紅藍線上點數：1+3+5 9紅藍黃線上點數：紅藍黃線上點數：1+3+5+（ ）（）（ ）紅藍黃綠上線點數：

9、紅藍黃綠上線點數： （ ）1.1.幾何直觀與數形結合幾何直觀與數形結合聯系與區別聯系與區別聯系聯系1 1：作用相同，旨在直觀地理解數學；作用相同，旨在直觀地理解數學；聯系聯系2 2：應用語境大致相同，很多語境下這兩個詞可以替應用語境大致相同，很多語境下這兩個詞可以替 換使用。換使用。區別區別1 1：數形結合是一種數學思想，幾何直觀更指向于課數形結合是一種數學思想，幾何直觀更指向于課程意識。程意識。區別區別2 2：外延不同。外延不同。找不到不是幾何直觀的數形結合，卻找不到不是幾何直觀的數形結合，卻可以找到不是數形結合的幾何直觀?？梢哉业讲皇菙敌谓Y合的幾何直觀。2.2.幾何直觀與空間觀念幾何直觀與

10、空間觀念空間觀念空間觀念表現為對形體特征、位置關系、圖形變換的想象與描述。表現為對形體特征、位置關系、圖形變換的想象與描述。主要指根據物體特征主要指根據物體特征抽象抽象出幾何圖形，根據幾何圖形出幾何圖形，根據幾何圖形想象想象出出所描述的實際物體；所描述的實際物體；想象想象出物體的方位和相互之間的位置關出物體的方位和相互之間的位置關系；系；描述描述圖形的運動和變化；依據語言的圖形的運動和變化；依據語言的描述描述畫出圖形等。畫出圖形等。2.2.幾何直觀與空間觀念幾何直觀與空間觀念聯系與區別聯系與區別聯系聯系1 1：二者有重疊的部分，如二者有重疊的部分，如“根據幾何圖形想象出所描述根據幾何圖形想象出

11、所描述的實際物體的實際物體”等。等。聯系聯系2 2：幾何直觀是建立空間觀念的有效手段。幾何直觀是建立空間觀念的有效手段。區別區別1 1：空間觀念即使脫離了具體情境也能想象出圖形的形狀空間觀念即使脫離了具體情境也能想象出圖形的形狀與位置關系，而幾何直觀更強調借助圖形而進行。與位置關系，而幾何直觀更強調借助圖形而進行。區別區別2 2：空間觀念更多局限在空間觀念更多局限在“圖形與幾何圖形與幾何”內容領域，而發內容領域，而發展學生的幾何直觀能力需要依托數學課程的每個領域。展學生的幾何直觀能力需要依托數學課程的每個領域。六、深度解讀幾何直觀六、深度解讀幾何直觀1.1. 在各領域學習中，都要重視幾何直觀能

12、力的培養。在各領域學習中，都要重視幾何直觀能力的培養。從更長遠看，從更長遠看，幾何直觀的作用不局限于數學幾何直觀的作用不局限于數學。 2.2.對對“圖形圖形”的理解可以寬泛些，既可以是有形可視的理解可以寬泛些，既可以是有形可視的，也可以是無形想象的。的，也可以是無形想象的。 六、深度解讀幾何直觀六、深度解讀幾何直觀3.3.要看到圖形的直觀性，也要看到圖形的抽象性。要看到圖形的直觀性，也要看到圖形的抽象性。 4.4.幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是一種思幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是一種思維方式。維方式。5.5.直觀本身不是目的，而是手段。直觀本身不是目的，而是手段。 七、幾何直觀

13、在教學中的運用七、幾何直觀在教學中的運用1.1.規劃幾何直觀能力培養的脈絡主線規劃幾何直觀能力培養的脈絡主線2.2.創新幾何直觀運用的教學設計創新幾何直觀運用的教學設計 低年級：實物圖低年級：實物圖示意示意圖圖線段圖線段圖 中年級：開始有意識引導中年級：開始有意識引導學生掌握畫示意圖和線段學生掌握畫示意圖和線段圖的要點和技巧。圖的要點和技巧。 1.1.規劃幾何直觀能力培養的脈絡主線規劃幾何直觀能力培養的脈絡主線2.2.創新幾何直觀運用的教學設計創新幾何直觀運用的教學設計（1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉規則追問源

14、頭追問源頭（3 3）巧用幾何直觀明晰算理）巧用幾何直觀明晰算理追問思想追問思想（4 4）巧用幾何直觀探尋思路）巧用幾何直觀探尋思路還原本真還原本真（1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質動動態態呈呈現現動動態態呈呈現現（1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質動動態態呈呈現現（1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質反反面面干干擾擾 （1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質反反面面干干擾擾 （1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念反反面面干干擾擾 （1 1）巧用幾何直觀理解概

15、念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質外外延延拓拓展展 小紅打一份材料用小紅打一份材料用0.5小時小時小麗打相同的材料用小麗打相同的材料用1/3小時小時（1 1）巧用幾何直觀理解概念）巧用幾何直觀理解概念追問本質追問本質（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉規則追問源頭追問源頭（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉規則追問源頭追問源頭能被能被2 2、3 3、5 5整除的數，為什么整除的數，為什么2 2、5 5的倍數看個位？為什么的倍數看個位？為什么3 3的倍數要看的倍數要看各數位上的數字之和？各數位上的數字之和？ 36236（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉

16、規則追問源頭追問源頭54（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉規則追問源頭追問源頭123比例的基本性質 ？ 乘法分配律 ？（2 2）巧用幾何直觀洞悉規則）巧用幾何直觀洞悉規則追問源頭追問源頭分數除法，為什么除以一個分數除法，為什么除以一個數，等于乘這個數的倒數？數，等于乘這個數的倒數？ （2 2）巧用幾何直觀明晰算理）巧用幾何直觀明晰算理追問思想追問思想例例1 1：小明：小明2/32/3小時走小時走2 2千米，每小時走幾千米？千米，每小時走幾千米？板：板：2 22/32/3？師：怎么算呢？畫個圖試試吧。師：怎么算呢？畫個圖試試吧。板：板： 2/32/3小時小時師：從圖中可直觀地看出什

17、么？師：從圖中可直觀地看出什么？預設生：預設生：1/31/3小時走小時走1 1千米。千米。板：板：2 22/32/32 22 23 33 3師小結：一個數除以分數其實就是師小結：一個數除以分數其實就是先除以它的分子，算出一份先除以它的分子，算出一份是多少，是多少，然后再乘它的分母求出然后再乘它的分母求出“單位單位1”1”是多少。是多少。 1 1小時小時2 2千米千米師追問：假如不能整除的怎么辦，如師追問：假如不能整除的怎么辦，如3 37/87/8？怎么利用上節課的方法進行算式怎么利用上節課的方法進行算式“變形運算變形運算”呢？呢？說明：學生在上節課說明：學生在上節課“分數除以整數分數除以整數”

18、的學習中已經掌握如的學習中已經掌握如“4/54/53 34/54/51/3”1/3”、“A AB BA A1/B1/B（B0B0）”的計算的計算方法。方法。結合學生的回答板書：結合學生的回答板書：2 22/32/32 22 23 32 21/21/23 32 23/23/23 37/87/83 37 78 83 31/71/78 83 38/78/7幾何直觀幾何直觀 數的變形運算數的變形運算例例2 2：課件動態演示：課件動態演示“做花做花”的情境：的情境：3/43/4張紙做了張紙做了6 6朵花。朵花。師：師：你看懂了什么？你看懂了什么？生生1 1：3/43/4張紙做了張紙做了6 6朵花。朵花。

19、生生2 2：一張紙平均分成：一張紙平均分成4 4份，其中的份，其中的3 3份做份做6 6朵花，一張紙可以做幾朵花？朵花，一張紙可以做幾朵花？出示題：出示題：3/43/4張紙做了張紙做了6 6朵花，一張紙可以做多少朵花？（生列式）朵花，一張紙可以做多少朵花？（生列式）師：師：6 63/43/4，怎么算？，怎么算？生：前面的分數除以整數，是乘一個數的倒數。我想這個也是，我用生：前面的分數除以整數，是乘一個數的倒數。我想這個也是，我用“以以此類推此類推”的方法轉化為乘法，的方法轉化為乘法，6 64/34/3。（很多學生點頭贊同）。（很多學生點頭贊同）師：你們認為這個方法是正確的？師：你們認為這個方法

20、是正確的？師：哦，師：哦，那你們能不能想一些方法，證明這個結果是正確的？靜靜地那你們能不能想一些方法，證明這個結果是正確的？靜靜地想一會兒，把所有能想到的方法都記錄下來。想一會兒，把所有能想到的方法都記錄下來。教師特意準備了劃成教師特意準備了劃成6 6格的練習紙，方便學生記錄不同的思路。學生自格的練習紙，方便學生記錄不同的思路。學生自主嘗試，教師巡視搜集各種思路，整體投影呈現學生的方法：主嘗試，教師巡視搜集各種思路，整體投影呈現學生的方法：師：師：這些方法，哪些你也想到了，哪些你現在能看懂？哪些算法之間這些方法，哪些你也想到了，哪些你現在能看懂？哪些算法之間有相似之處？有相似之處？說給同桌聽。

21、說給同桌聽。師：哪些算法大家看不懂，需要提出來討論的？師：哪些算法大家看不懂，需要提出來討論的？（大部分學生表示第（大部分學生表示第種和第種和第種比較難理解。）種比較難理解。）師：有沒有同學可以看懂呢？生：師：有沒有同學可以看懂呢？生：師：明白了，根據學過的知識轉化為我們學過的算式來解決。那剩下師：明白了，根據學過的知識轉化為我們學過的算式來解決。那剩下的都能看懂嗎？的都能看懂嗎？哪些方法是相似的？哪些方法是相似的？生生1 1：第：第和第和第種是相似的，一個分步，一個綜合。種是相似的，一個分步，一個綜合。生生2 2：我覺得：我覺得是一樣的，因為第是一樣的，因為第種是直接把種是直接把3/43/4

22、化成小數，思化成小數，思考方法一樣，都是化成已經學過的來解決。考方法一樣，都是化成已經學過的來解決。生生3 3：第：第種是我的，我還沒寫完整，我想在旁邊寫一句話，種是我的，我還沒寫完整，我想在旁邊寫一句話，如果把一張紙平均分成如果把一張紙平均分成4 4份，份，3/43/4張紙做張紙做6 6朵，那么每朵，那么每1/41/4張紙張紙可以做可以做2 2朵，所以整張紙可以做朵，所以整張紙可以做8 8朵。朵。師：太棒了！看來這些方法的確有相似的地方，第師：太棒了！看來這些方法的確有相似的地方，第種方法中的種方法中的6 63 3就是就是第第種方法中的種方法中的6 61/31/3。現在，我們可以證明，剛才嘗

23、試計算時得出的結?，F在，我們可以證明，剛才嘗試計算時得出的結果果“8”8”確實是正確的。那么，確實是正確的。那么，你能在這些方法中找到你能在這些方法中找到“6 64/3”4/3”嗎？嗎？生生1 1：第：第種方法中的種方法中的“1/31/34”4”其實就是其實就是“4/3”4/3”。生生2 2：第：第種方法中，種方法中，6 6平均分成平均分成3 3份，就是份，就是6 61/31/34 4，也能找到，也能找到“6 64/3”4/3”。生生3 3：那么，第：那么，第種也可以轉化為種也可以轉化為6 61/31/34 4，也能找到，也能找到“6 64/3”4/3”。生生4 4：第：第種也是。種也是。生生5 5：第：第種，除數化成種，除數化成1 1后，被除數的部分就是后，被除數的部分就是6 64/34/3。師：看來，我們不僅驗證了師：看來，我們不僅驗證了“8”8”這個結果是正確的，還證明這個結果是正確的，還證明了以此類推的計算方法了以此類推的計算方法“6 64/3”4/3”也是正確的。也是正確的。比較兩種教法比較兩種教法1. 幾何直觀的作用幾何直觀的作用理解算理理解算理創設情境，引出算式創設情境，引出算式2. “數的變形運算數的變形運算”成分（化歸思想）成分（化歸思想）僅在小結時出現僅在小結時出現作為全課重點作為