1、一基本假定一基本假定v 平截面假設：在變形過程中，變形平截面假設：在變形過程中，變形前為平面的橫截面，變形后仍保持前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且與變形后梁的軸線垂直。為平面，且與變形后梁的軸線垂直。bhzyPxl/2l/2Pl/4s sxs sx zx 0),( zxyzxyzyxzx s ss ss sEIxMdxwd)(122 v 縱向纖維互不擠壓：不計擠壓應力，縱向纖維互不擠壓：不計擠壓應力，橫截面上只有正應力。橫截面上只有正應力。v 小撓度假設：在梁達到塑性極限狀態瞬小撓度假設：在梁達到塑性極限狀態瞬間之前，撓度與橫截面尺寸相比為一微間之前，撓度與橫截面尺寸相比為一微小量，可

2、用變形前梁的尺寸進行計算。小量，可用變形前梁的尺寸進行計算。二彈性階段二彈性階段vMises：屈服條件：屈服條件：IMzEzExx s s123bhI 2max6bhMx s ssxs ss s maxsebhMs s62 彈性極限彎矩彈性極限彎矩hEhEIMksseee s s 221 seelbhlMPs s3242 彈性極限載荷彈性極限載荷 Pxl/2l/2ss sss sbhzyss ss ss 三彈塑性階段（約束塑性變形階段）三彈塑性階段（約束塑性變形階段）esMM 塑性區擴展塑性區擴展ss sss sss seh2/hz 2/022hhshxseezdzbzdzbMs ss s 2

3、/022hhshesseezdzbzdzhzbMs ss s 224312esshhbM s ssebhMs s62 22432hhMMeesPxl/2l/2zo彈塑性區交界線：彈塑性區交界線： xlPMx22eeMxlPhh2)2(321 Pxl/2l/2zo彈塑性區交界線：彈塑性區交界線： 22lPMeeeMxlPhh2)2(321 x2hhe x2hhe 0 xeeMPlhh232 xPl/4eM四全塑性階段四全塑性階段Pxl/2l/2zo0 x0 eh6lx 224312esshhbM s s23epMM sPbhMs s42 塑性極限彎矩塑性極限彎矩sPPlbhlMPs s24 塑性

4、極限載荷塑性極限載荷 ss sss sss s2/hz422lPMlPMeeP 6l 確定塑性區位置確定塑性區位置 n 塑性鉸：在全塑性階段，跨中塑性鉸：在全塑性階段，跨中截面的上下兩塑性區相連，使截面的上下兩塑性區相連，使跨中左右兩截面產生像結構跨中左右兩截面產生像結構（機械）鉸鏈一樣的相對轉動（機械）鉸鏈一樣的相對轉動塑性鉸。塑性鉸。n 特點：特點：u塑性鉸的存在是由于該截面上塑性鉸的存在是由于該截面上的彎矩等于塑性極限彎矩；故的彎矩等于塑性極限彎矩；故不能傳遞大于塑性極限彎矩的不能傳遞大于塑性極限彎矩的彎矩。彎矩。u塑性鉸是單向鉸，梁截面的轉塑性鉸是單向鉸，梁截面的轉動方向與塑性極限彎矩

5、的方向動方向與塑性極限彎矩的方向一致。否則將使塑性鉸消失。一致。否則將使塑性鉸消失。Pxl/2l/2zo6lx Pxl/2l/2zPlM max 例題：懸臂梁在自由端受集中力，求彈性極限載荷、塑例題：懸臂梁在自由端受集中力，求彈性極限載荷、塑性極限載荷、彈塑性分界線。性極限載荷、彈塑性分界線。Pxlzo解：解：spbhMs s42 maxMlMPmax sebhMs s62 bhzyselbhPs s62 splbhPs s42 lPMlPMeep 3l PxlzopMss sss sss s2/hz 22432hhMMeeslPxlPhhee)(2321 PePPP eM xpsMM 32

6、pePP（1）分析三個狀態：彈性狀態、彈塑性狀態、塑性狀態。）分析三個狀態：彈性狀態、彈塑性狀態、塑性狀態。（2）了解整個加載過程。）了解整個加載過程。（3）材料本構關系是非線性的，只能求解簡單問題。）材料本構關系是非線性的，只能求解簡單問題。 理想塑性體承受的載荷達到一定的數值時，即使載荷不再增理想塑性體承受的載荷達到一定的數值時，即使載荷不再增長，塑性變形也可自由發展，整個結構不能承受更大的載荷，這長，塑性變形也可自由發展，整個結構不能承受更大的載荷，這種狀態稱為塑性極限狀態。種狀態稱為塑性極限狀態。塑性極限狀態對應的載荷。塑性極限狀態對應的載荷。（1）材料是理想剛塑的，不計彈性變形和強化

7、效應。）材料是理想剛塑的，不計彈性變形和強化效應。（2）變形是微小的。）變形是微小的。（3）比例加載。（所有外載荷都按同一比例增加。）比例加載。（所有外載荷都按同一比例增加。）（1）平衡條件：平衡微分方程和靜力邊界條件。）平衡條件：平衡微分方程和靜力邊界條件。（2）極限條件：達到塑性極限狀態時內力場不違背的條件（屈）極限條件：達到塑性極限狀態時內力場不違背的條件（屈服條件。）服條件。）（3）破壞機構條件：塑性極限狀態下結構喪失承載能力時形成）破壞機構條件：塑性極限狀態下結構喪失承載能力時形成破壞機構的形式。（表征結構破壞時的運動趨勢或規律，要破壞機構的形式。（表征結構破壞時的運動趨勢或規律，要

8、求不引起物體的裂開或重合幾何方程，且被外界約束的物求不引起物體的裂開或重合幾何方程，且被外界約束的物體表面上滿足位移和速度邊界條件。）體表面上滿足位移和速度邊界條件。）滿足平衡條件極限條件破壞機構條件的解。滿足平衡條件極限條件破壞機構條件的解。v 虛功原理：虛功原理：在外力作用下處于平衡的變形體，若給物體在外力作用下處于平衡的變形體，若給物體一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功必等于應力的一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功必等于應力的虛功（物體內儲存的虛應變能）。虛功（物體內儲存的虛應變能）。VSTFiSuui VijijSiiViidVdSuFdVufT* s s虛變形（位移）：結構約束所

9、允許的無限小位移。虛變形（位移）：結構約束所允許的無限小位移。證明：證明： VijijSiiViidVdSuFdVufT* s s平衡方程：平衡方程：0 ijijfxs s邊界條件：邊界條件：ijijFl s sGreen 公式：公式： SjVjdSfldVxf TSijijViidSuldVufs s TSiiViidSuFdVuf VjiijViidVxudVuf)(s s VjiijViijijdVxudVufxs ss s VijijdV s sjiijxjjiijxuxus ss s 21 xjjijiijijijxuxus ss s s s21體力為零時：體力為零時： VijijS

10、iidVdSuFT* s sv 虛功率原理：虛功率原理：在外力作用下處于平衡的變形體，若給物在外力作用下處于平衡的變形體，若給物體一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功率必等于應體一微小的虛變形（位移）。則外力的虛功率必等于應力的虛功率。力的虛功率。 VijSiiViidVdSuFdVufijT*0* s s體力為零時：體力為零時： VijSiidVdSuFijT*0* s s:*0iijuij s s滿足平衡方程和面力邊界條件（靜力允許的應力場）滿足平衡方程和面力邊界條件（靜力允許的應力場）虛應變率場（機動允許的）虛應變率場（機動允許的）虛速度場（機動允許的）虛速度場（機動允許的）1.下限定理

11、：下限定理：靜力允許的內力場：滿足平衡條件（平衡微分方程和面力邊界靜力允許的內力場：滿足平衡條件（平衡微分方程和面力邊界條件），不違背屈服條件的內力場。條件），不違背屈服條件的內力場。 sPi s : 靜力允許載荷系數靜力允許載荷系數 放松破壞機構條件（幾何方程、位移和速度邊界條件）放松破壞機構條件（幾何方程、位移和速度邊界條件）真實內力場：滿足靜力平衡條件、屈服條件、破壞機構條件的真實內力場：滿足靜力平衡條件、屈服條件、破壞機構條件的內力場。內力場。真實內力場一定是靜力允許的內力場。真實內力場一定是靜力允許的內力場。 塑性極限載荷系數：塑性極限載荷系數： l = s 下限定理：任何一個靜力允

12、許的內力場所對應的載荷下限定理：任何一個靜力允許的內力場所對應的載荷是極限載荷的下限。是極限載荷的下限。 靜力允許載荷系數是極限載荷系數的下限：靜力允許載荷系數是極限載荷系數的下限： s l 證明：證明： s l極限狀態下：極限狀態下：liliijijPu s s,靜力允許的內力場：靜力允許的內力場：sisPij s s,0ij 0ijs sijs s0ijijs ss s q qv 虛功率原理：虛功率原理： VijSiidVdSuFijT*0* s s VijijSiisldVdSuPijT s ss s 0v 由由Druker 公設：極限曲面是外凸的。公設：極限曲面是外凸的。 00 iji

13、jij s ss s0 TSiidSuP Pi 在真實位移速度上的功率為正在真實位移速度上的功率為正 s l2. 上限定理：上限定理： 機動允許的位移（速度）場：滿足破壞機構條件（幾何方程和位移、機動允許的位移（速度）場：滿足破壞機構條件（幾何方程和位移、速度邊界條件），外力做功為正的位移（速度）場。速度邊界條件），外力做功為正的位移（速度）場。 放松極限條件，選擇破壞機構，并使載荷在其位移場上做功為正放松極限條件，選擇破壞機構，并使載荷在其位移場上做功為正上限定理：上限定理：任何一個機動允許的位移（速度）場所對任何一個機動允許的位移（速度）場所對應的載荷是極限載荷的上限。應的載荷是極限載荷的

14、上限。 機動允許載荷系數是極限載荷系數的上限：機動允許載荷系數是極限載荷系數的上限： k l 破壞載荷：機動允許的位移場所對應的載荷。破壞載荷：機動允許的位移場所對應的載荷。 k P k ：機動允許載荷系數：機動允許載荷系數 破壞機構所對應的內力場不一定滿足極限條件，一般情況下：破壞機構所對應的內力場不一定滿足極限條件，一般情況下： k l 破壞機構是極限狀態下的機構，對應的內力場是靜力允許的：破壞機構是極限狀態下的機構，對應的內力場是靜力允許的： l = k 證明：證明： k l設機動允許的位移（速度）場設機動允許的位移（速度）場*iu 破壞載荷：破壞載荷：ikP *ij ijs s*ijs

15、 sijijs ss s *q qv 虛功率原理：虛功率原理： VijSiikdVdSuPijT* s s VijijSiilkdVdSuPijT* s ss s v 由由Druker 公設：極限曲面是外凸的。公設：極限曲面是外凸的。 0* VijijdVij s ss s0* TSiidSuP Pi 在真實位移速度上的功率為正在真實位移速度上的功率為正應力場：應力場：*ijs s VijSiildVdSuPijT* s s k l下限定理：下限定理：任何一個靜力允許的內力場所對應的載荷任何一個靜力允許的內力場所對應的載荷是極限載荷的下限。是極限載荷的下限。 靜力允許載荷系數是極限載荷系數的下

16、限：靜力允許載荷系數是極限載荷系數的下限： s l 上限定理：上限定理：任何一個機動允許的位移（速度）場所對任何一個機動允許的位移（速度）場所對應的載荷是極限載荷的上限。應的載荷是極限載荷的上限。 機動允許載荷系數是極限載荷系數的上限：機動允許載荷系數是極限載荷系數的上限： k l s l k s l k ：同時滿足三個條件，同時滿足三個條件， l 為完全解。為完全解。 s l ： 下限解靜力法。下限解靜力法。 l k ：上限解機動法。上限解機動法。1.靜力法靜力法（1）取滿足平衡條件且不違背屈服條件（極限條件）的應力（內力）取滿足平衡條件且不違背屈服條件（極限條件）的應力（內力）場。（建立靜

17、力允許的應力場）場。（建立靜力允許的應力場）（2）由靜力允許的應力（內力）由靜力允許的應力（內力 ）場確定所對應的載荷，且為極限載荷）場確定所對應的載荷，且為極限載荷的下限：的下限：Pl- = sP（3）在多個極限荷的下限解中取：）在多個極限荷的下限解中取： Plmax- （4）檢查：若結構成為破壞機構，存在一個對應的機動允許的位移場，）檢查：若結構成為破壞機構，存在一個對應的機動允許的位移場，則：則：Plmax- =Pl 。否則：。否則： Plmax- 為為Pl 的一個下限解（近似解）的一個下限解（近似解） 2. 機動法機動法（1）選擇一個破壞機構（幾何上允許的、外力做功為正），建立機動）選

18、擇一個破壞機構（幾何上允許的、外力做功為正），建立機動允許的位移場。允許的位移場。（2）由內功率等于外功率求破壞載荷，且為極限載荷的上限：）由內功率等于外功率求破壞載荷，且為極限載荷的上限：Pl+= kP（3）在多個破壞荷中取最小值：）在多個破壞荷中取最小值： Plmin+ （4）檢查：若內力場是靜力允許的，即不違背極限條件，則：）檢查：若內力場是靜力允許的，即不違背極限條件，則：Plmin+ =Pl 。否則：。否則： Plmin+ 為為Pl 的一個上限解（近似解）的一個上限解（近似解） 一靜定梁的極限分析一靜定梁的極限分析v 極限彎矩：梁彎曲時某截面上的正應力值等于屈服極限（屈服點），極限彎

19、矩：梁彎曲時某截面上的正應力值等于屈服極限（屈服點），則該截面屈服，它不能繼續抵抗彎曲變形，對應的彎矩值稱為極限彎則該截面屈服，它不能繼續抵抗彎曲變形，對應的彎矩值稱為極限彎矩矩Mp。v 塑性鉸：凡彎矩值達到極限彎矩塑性鉸：凡彎矩值達到極限彎矩Mp的截面，都將喪失繼續抵抗彎曲變的截面，都將喪失繼續抵抗彎曲變形的能力，即在保持彎矩值為形的能力，即在保持彎矩值為Mp的情況下，截面兩側可無限地順著彎的情況下，截面兩側可無限地順著彎矩的轉向相對轉動，形成尖角，使撓曲線不光滑，曲率趨于無窮大，矩的轉向相對轉動，形成尖角，使撓曲線不光滑，曲率趨于無窮大，這同該截面處兩側桿用鉸連接相似，故稱為塑性鉸。這同該

20、截面處兩側桿用鉸連接相似，故稱為塑性鉸。（1）單向轉動。）單向轉動。（2）在塑性鉸處有彎矩作用。）在塑性鉸處有彎矩作用。v 靜定結構的基本特點：靜定結構的基本特點：（1）無多余聯系，內力可以由靜力平衡方程唯一確定，內力與結構的變）無多余聯系，內力可以由靜力平衡方程唯一確定，內力與結構的變形無關（小變形）。形無關（小變形）。（2）在靜定結構中，只要有一個（一部分）截面屈服，結構就變成機構）在靜定結構中，只要有一個（一部分）截面屈服，結構就變成機構（破壞機構），且最先屈服的截面總是內力最大的截面。（破壞機構），且最先屈服的截面總是內力最大的截面。bhzyPxl/2l/2Pl/4v 靜定梁的極限分析

21、方法：靜定梁的極限分析方法：1.作靜定梁的彎矩圖。作靜定梁的彎矩圖。 2. 令最大彎矩等于塑料性極限令最大彎矩等于塑料性極限彎矩，求極限載荷。彎矩，求極限載荷。PMM maxPMPl 4lMPpl4 v 靜定梁的內力是靜力允許的，對應的機構又是機動允許的，得靜定梁的內力是靜力允許的，對應的機構又是機動允許的，得到的極限載荷是完全解。到的極限載荷是完全解。v 例：確定下列靜定梁的極限載荷。例：確定下列靜定梁的極限載荷。PMPlM maxlMPpl Pl（1）PlPMqlM 22max22lMqpl ql（2）ql2/2v 例：確定下列靜定梁的極限載荷。例：確定下列靜定梁的極限載荷。PMqlM32

22、2max 26lMqpl ql2/2ql/2（3）l/2ABCAB：3MpBC：Mp解：解：ql2/8AB與與BC段截面不同，塑性段截面不同，塑性鉸可能出現在鉸可能出現在AB段也可能出段也可能出現在現在BC段段。作彎矩圖。作彎矩圖。塑性鉸出現在塑性鉸出現在AB段時：段時：塑性鉸出現在塑性鉸出現在BC段時：段時：PBMqlM 8228lMqpl 26 lMqpl v 超靜定結構的基本特點：超靜定結構的基本特點： （1）有多余聯系，內力僅由靜力平衡方程不能完全確定，內力與結）有多余聯系，內力僅由靜力平衡方程不能完全確定，內力與結構的變形有關，所以內力與梁的剛度有關。構的變形有關，所以內力與梁的剛度

23、有關。 （2）在超靜定梁中，當梁內截面屈服，即出現塑性鉸時，由于梁的）在超靜定梁中，當梁內截面屈服，即出現塑性鉸時，由于梁的剛度發生變化，內力會重新分布，所以梁達到塑性極限狀態時塑性剛度發生變化，內力會重新分布，所以梁達到塑性極限狀態時塑性鉸的位置無法預先知道，應按照逐漸加大載荷的方法逐步確定，但鉸的位置無法預先知道，應按照逐漸加大載荷的方法逐步確定，但計算不便。計算不便。 （3）工程中采用可直接計算極限載荷的機動法和靜力法。）工程中采用可直接計算極限載荷的機動法和靜力法。v 確定方法：確定方法：二超靜定梁的極限分析二超靜定梁的極限分析（1）機動法）機動法設定梁的破壞機構載荷設定梁的破壞機構載

24、荷利用功能關系計算破壞載荷利用功能關系計算破壞載荷對于梁的所有可能的破壞機構，計算相應破壞載荷對于梁的所有可能的破壞機構，計算相應破壞載荷Plmin+ =Pl（2）靜力法）靜力法根據梁的支承條件及載荷情況畫彎矩分布圖根據梁的支承條件及載荷情況畫彎矩分布圖使梁內各處彎矩值不超過極限彎矩，此時的載荷為下限值使梁內各處彎矩值不超過極限彎矩，此時的載荷為下限值找出梁的所有可能的靜力允許的彎矩分布，計算相應載荷找出梁的所有可能的靜力允許的彎矩分布，計算相應載荷Plmax- =PlPMM 1:令令lMPpl3 例題例題1：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M P，試求其塑性

25、極限載荷，試求其塑性極限載荷Pl 。M1PllABC解：解：v靜力法靜力法作作M 圖圖PM12Pl221MPl M1PMMPl 221q q PlPWe lMPWWplie3 例題例題1：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M P，試求其塑性極限載荷，試求其塑性極限載荷Pl 。PllABC 取取A、C 處為塑性鉸，畫破壞處為塑性鉸，畫破壞機構圖（保證外力作正功）機構圖（保證外力作正功）M1221MPl PABC2q2qq qq qq q2 PPiMMWq qPiMW3 lMPpl3 lMPpl3 解：解：v機動法機動法v討論：討論：v 設梁的超靜定次數為設梁的超靜

26、定次數為 n ，形成塑性鉸的數目為形成塑性鉸的數目為 r ，一般情況下當，一般情況下當：r = n+1 時，形成破壞機構。時，形成破壞機構。v 塑性鉸的位置：彎矩為駐值的截面處（固定端、集中載荷處）。塑性鉸的位置：彎矩為駐值的截面處（固定端、集中載荷處）。v 在確定靜力允許的內力場時，若能同時考慮形成破壞機構所需的在確定靜力允許的內力場時，若能同時考慮形成破壞機構所需的塑性鉸數目，則得到的解答可接近或等于完全解。塑性鉸數目，則得到的解答可接近或等于完全解。v 若確定的彎矩絕對值等于若確定的彎矩絕對值等于MP 的截面數目小于塑性鉸數目，則還應的截面數目小于塑性鉸數目，則還應檢查其余彎矩為駐值的截

27、面，其彎矩值應不超過檢查其余彎矩為駐值的截面，其彎矩值應不超過MP ，否則內力場，否則內力場是靜力不允許的，求得的載荷也非下限解。是靜力不允許的，求得的載荷也非下限解。PllABCM1221MPl P ABC2q2qq q)1(222 lMqWWplie例題例題2：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為M P，用機動法試求其塑性極，用機動法試求其塑性極限載荷的上限值限載荷的上限值 。x解：解：v確定塑性鉸位置確定塑性鉸位置ll)1( q q qlABdxABqqq qD10 lv計算內力功計算內力功v計算外力功計算外力功v求極限載荷求極限載荷 lexqdxW q q

28、0 llxxqd 0 x 22qlqq )( q qq q PPiMMWpMq q 12220 lqC22min657.11)12(2lMlMqppl PCMlPR 2)(:令令lMPpl6 例題例題3：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為：已知圖示超靜定梁的塑性極限彎矩為MP，試用靜力法和機動法求其，試用靜力法和機動法求其塑性極限載荷塑性極限載荷Pl 。解：解：v靜力法靜力法作作M 圖圖2PlPCMlRP 4)2(Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRC2lRC2)(lPRC 4)2(lRPC 4)2(lRPC lMPWWplie6 Pl/2ABCPl/2l/2l/22q2qq qv機動法機動

29、法q q2lPWe q qq q2 PPiMMWABC（1）單跨破壞）單跨破壞（2）整體破壞）整體破壞ABC0 eW2q2qq qABC（3）整體破壞）整體破壞q q22lPWe 2q2q2q2qq qPiMW6 lMPpl6 v載荷對稱，在某些截面同時產生塑性鉸載荷對稱，在某些截面同時產生塑性鉸lMPpl6 例題例題4：試用機動法求圖示三跨超靜定梁的塑性極限載荷：試用機動法求圖示三跨超靜定梁的塑性極限載荷Pl 。PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )解：解：（1）單跨破壞）單跨破壞lMPWWplie3 q qPlWe q qPiMW3 lMPpl3

30、q qPlWe25. 2 q qq qPPiMMW225 . 1 lMPpl920 PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )（2）兩跨破壞）兩跨破壞q qPlWe25. 1 q qPiMW6 lMPpl524 lMPpl524 lMPpl920min PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )（3）整體破壞）整體破壞q qPlWe25. 0 q qPiMW7 lMPpl28 v討論：討論：v 一般情況下，梁的超靜定次數為一般情況下，梁的超靜定次數為 n 時時，使梁形成破壞機構需，使梁形成破壞機構需n+1個塑性鉸，即規

31、定個塑性鉸，即規定n+1個截面的彎矩達到塑性極限彎矩（弱），個截面的彎矩達到塑性極限彎矩（弱），此時梁的內力和塑性極限載荷都可確定，并形成整體破壞機構。此時梁的內力和塑性極限載荷都可確定，并形成整體破壞機構。v 如梁的塑性鉸數目少于如梁的塑性鉸數目少于n+1個，但足以使部分結構成為機構，該個，但足以使部分結構成為機構，該機構稱為局部破壞機構。機構稱為局部破壞機構。v 在局部破壞機構中，塑性極限載荷和變成機構的部分內力可唯一在局部破壞機構中，塑性極限載荷和變成機構的部分內力可唯一確定，若在剛性區能找到一個靜力允許的內力場，則得到的上限確定，若在剛性區能找到一個靜力允許的內力場，則得到的上限解為完

32、全解。解為完全解。lMPpl920 PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )1.5MPMPMPMPP1811pM1811pM1811pM一軸對稱圓板的基本方程一軸對稱圓板的基本方程v幾何方程幾何方程)(rww 0 z 0 rwzurz 0 q q q qrwzvzzdrdwu 0 vzdrwdr22 zdrdwr1 q q 22drwdr drdwr1 q q 0 zrrzz q qq q. :)1(12 23薄板的彎曲剛度薄板的彎曲剛度 EhDv彈性本構方程彈性本構方程rzxyq qMrMq q rwrrwDMr122 221rwrwrDM q q22

33、drwdr drdwr1 q q q q rrDM rDM q qq q DMMrr)1(2 q q DMMr)1(2 q qq q 0 zF)(rqq rzv平衡方程平衡方程rdrQrMrdrrMMrr drrQQrr dq qMq qMq q 0)( q qq qq qrdrdrqrdQddrrdrrQQrrrrdrrqrrdQdrrQ)()()( rrqdrrQdr)()( 0 m 0 q qq qq qq qq qrdrdQdrdMrdMddrrdrrMMrrrrrQMdrrMdrr q q)( rrrdrrqMdrrMd0)()(q qq(r)二軸對稱圓板的屈服條件（極限條件）二軸對

34、稱圓板的屈服條件（極限條件）極限條件：描述某個截面達到極限狀態與否的準則。極限條件：描述某個截面達到極限狀態與否的準則。設設MP 為板的截面全部進入塑性狀態時的彎矩，則有：為板的截面全部進入塑性狀態時的彎矩，則有：24122hzdzMssPhhs ss s 1.Mises 條件：條件：222srrs ss ss ss ss sq qq q 24122hzdzMrrrhhs ss s 板的截面全部進入塑性狀態時，應力沿板厚保持不為。則有：板的截面全部進入塑性狀態時，應力沿板厚保持不為。則有：24122hzdzMhhq qq qq qs ss s 222PrrMMMMM q qq q1.Mises

35、 條件：條件：222PrrMMMMM q qq q2. Tresca 條件：條件：3. 最大正應力最大正應力條件：條件：MPMPMrMq PrrMMMMM q qq q,max PrMMM q q,max三圓板的塑性功率計算三圓板的塑性功率計算1. 1. 廣義應力和廣義應變廣義應力和廣義應變：內力功（應變比能）：內力功（應變比能）： 22hhdzWrriq qq q s s s s22drwdr drdwr1 q q zzrrq qq q 22hhzdzrrq qq q s s s sq qq q MMrr 2. 2. 廣義塑性應變增量和廣義應變率廣義塑性應變增量和廣義應變率：:rd 圓板中面

36、徑向曲率增量圓板中面徑向曲率增量:q q d圓板中面周向曲率增量圓板中面周向曲率增量由由 Druck Druck 公設：塑性應變增量與屈服面正交，則有：公設：塑性應變增量與屈服面正交，則有：rrMdd q qq q Mdd 為廣義屈服函數為廣義屈服函數2. 2. 廣義塑性應變增量和廣義應變率廣義塑性應變增量和廣義應變率：rrMdd q qq q Mdd rrM q qq q M 22drwdr drdwr1 q q 22drwdr drwdr1 q q 圓板中面的撓曲率圓板中面的撓曲率:w 3. 3. 內功率內功率：Mises 條件：條件：0222 PrrMMMMMq qq q q q MMr

37、r 2 rMM q qq q 2q qq q MMWrri q qq q MMDrr 22PM 單位面積的塑性功率單位面積的塑性功率： q q MMrr 2 rMM q qq q 222PMD q q rrM231 rM q qq q 231q qq q MMrr 212231q qq q rrPM 212232q qq q rrPMD3. 3. 內功率內功率：Mises 條件：條件：Tresca 條件：條件： 2122q qq q rrPMD板內耗散的塑性功率板內耗散的塑性功率： ADdA各速度間斷線上耗散的塑性功率各速度間斷線上耗散的塑性功率： DsLdsDDL：速度間斷線上單位長度耗散的

38、塑性功率速度間斷線上單位長度耗散的塑性功率sD：速度間斷線速度間斷線s：速度間斷線的長度速度間斷線的長度v總耗散塑性功率：總耗散塑性功率： DsLAidsDDdAW在塑性極限分析中，采用理想剛塑性模型。在塑性極限分析中，采用理想剛塑性模型。處于極限狀態時，板內產生的塑性鉸線將板分成若干剛性板塊。處于極限狀態時，板內產生的塑性鉸線將板分成若干剛性板塊。各板塊繞塑性鉸線剛性轉動，在每一板塊內速度均勻，板內耗散各板塊繞塑性鉸線剛性轉動，在每一板塊內速度均勻，板內耗散的塑性功率為零。的塑性功率為零。D0 q qPLMD32 Mises 條件：條件：Tresca 條件：條件： q qPLMD ：塑性鉸線

39、兩側板塊的相對轉動角速度塑性鉸線兩側板塊的相對轉動角速度 q q4. 4. 外功率外功率：半徑為半徑為 a 的圓板在的圓板在 q(r) 作用下撓曲率為作用下撓曲率為 w(r) ，則外功率則外功率：. aerwrdrrqW0)(2)( rzaqrdrconstqrq )(rdrrwqWae 0)(2 四簡支圓板的彈塑性分析四簡支圓板的彈塑性分析rzaq1.彈性分析彈性分析 drdwrdrwdDMr122 221drwddrdwrDM q q22drwdr drdwr1 q q q q rrDM rDM q qq q rrrdrrqMdrrMd0)()(q q2)(2qrMdrrMdr q qDq

40、rdrwddrdwrdrdwdrwdrdrd2122222 DqrCrBrdrdw16)1(13 22)31()3(16raqM q q 0 arrM0 arw 22163raqMr 42241512664)(ararDqrw 16)3()1()1(2222qrDCrDBMr 16)31()1()1(2222qrDCrDBM q q 有有限限0 rrMDqaCB)1(16)3(, 022 MrMq q2163qa 281qa rzaq2. 彈塑性分析彈塑性分析MPMPMrMqABCDEF 0)31()3(1622 raqM q q 016322 raqMr Tresca 條件：條件：MrMq

41、q2163qa 281qa rzaqPrMMMr q q:02316aMqPe .:圓圓板板中中心心出出現現塑塑性性區區eqq 彈塑性分界線彈塑性分界線-圓周圓周塑性區：塑性區：rppdq q 0 pr erprerr 彈性極限載荷彈性極限載荷PMMBC q q上上，在在塑塑性性區區內內力力位位于于DMMrr)1(2 q q DMMr)1(2 q qq q 塑性區：塑性區：erprerr prppeDMMq qq qq qq q )1(2DMMprr)1(2 pMM q qprrMDM )1(2DMprp q qq qv平衡方程平衡方程2)(2qrMdrrMdr q q22drwdr drdw

42、r1 q q DqrDMdrwdrdrdp)1(2)1(2222 HrGDqrDrMdrdwp 223)1(18)1( pprMMrGqrMM q q62邊界條件：邊界條件：G0pprMMqrMM q q62塑性區：塑性區：pprMMqrMM q q62彈性區：彈性區：04839623122244 qaMrarappp 22222442222431163pprqrrarqrraMrarM MrMpMq q22222442222431)31()3(16ppqrrarrraqMrarM q q3. 全塑性分析全塑性分析04882 qaMarpp26aMqpl 塑性極限載荷塑性極限載荷pprMMar

43、MM q q221MrMq qMp五簡支圓板的塑性極限分析五簡支圓板的塑性極限分析MPMPMrMqABCDEFTresca 條件：條件：rzaq1. 確定圓板進入塑性極限狀態時，內力組確定圓板進入塑性極限狀態時，內力組合位于合位于Tresca 六邊形的哪條邊上：六邊形的哪條邊上：MrMq qMp圓板內彎矩為正圓板內彎矩為正內力組合位于內力組合位于ABC上上圓心處徑向和環向彎矩相等圓心處徑向和環向彎矩相等內力組合位于內力組合位于B 點點周邊上徑向彎矩為零周邊上徑向彎矩為零內力組合位于內力組合位于C 點點圓板內彎矩的連續性圓板內彎矩的連續性內力組合位于內力組合位于BC 點點極限條件：極限條件：pM

44、M q q2. 確定其它內力及極限載荷確定其它內力及極限載荷（平衡方程和邊界條件）（平衡方程和邊界條件）：v平衡方程平衡方程2)(2qrMdrrMdr q qv邊界條件：邊界條件：2)(2qrMdrrMdpr rCqrMMpr 6200 CMMprr62qrMMpr 2*60aMqMPlarr 3. 檢查內力場是否違背極限條件檢查內力場是否違背極限條件（內力場是否是靜力許可的）（內力場是否是靜力許可的）：62qrMMpr pMM q q03 qrdrdMrprrMM 00 arrMprMM 0Mr 在在 0 r a 的范圍內是單調下降的。的范圍內是單調下降的。 lPlqaMq2*64. 找與下

45、限解對應的機動許可的位移（速度）場，若有則下限解為完全解找與下限解對應的機動許可的位移（速度）場，若有則下限解為完全解：rzaqMPMPMrMqABCDEFq q 與與BC關聯的速度場：關聯的速度場：0 q q 0 r 22drwdr drwdr1 q q 022 drwd 21CrCw ow 0 arw orww 0 arwwo10 arw 集中鉸圓集中鉸圓v速度場速度場 arwwo1是機動允許的速度場是機動允許的速度場 llPlqqaMq2*626aMqPl 六固支圓板的塑性極限分析六固支圓板的塑性極限分析 222)3()1(16arqaMr 222)31()1(16arqaM q qrz

46、aqMrMq qMPMPMrMqABCDEF1. 確定圓板進入塑性極限狀態時，內力組確定圓板進入塑性極限狀態時，內力組合位于合位于Tresca 六邊形的哪條邊上：六邊形的哪條邊上：圓心處徑向和環向彎矩相等圓心處徑向和環向彎矩相等內力組合位于內力組合位于B 點點周邊上形成塑性鉸圓，徑向彎矩大于環向周邊上形成塑性鉸圓，徑向彎矩大于環向彎矩彎矩內力組合位于內力組合位于DE 上上D 點點整個圓板：徑向彎矩由正到負，在某一半整個圓板：徑向彎矩由正到負，在某一半徑處為零徑處為零內力組合位于內力組合位于C 點點CMrrMMMrbppr 0:rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMPrbCMrrMMMrbp

47、pr 0:pbMMBCrr q q:0極限條件：極限條件：prbMMMCDarr q q:Mq qMP2. 確定其它內力及極限載荷確定其它內力及極限載荷（平衡方程和邊界條件）（平衡方程和邊界條件）：:0brr pMM q q62qrMMpr qMrMpbrrrb60 rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMq qMPrbMP:arrb 2. 確定其它內力及極限載荷確定其它內力及極限載荷（平衡方程和邊界條件）（平衡方程和邊界條件）：v平衡方程平衡方程2)()(22brrrrrqqrdrMdrrMdb q qv邊界條件：邊界條件：arMMbparr73. 0 :0brr pMM q q62qrM

48、Mpr qMrMpbrrrb60 prMMM q q)(41ln22bbprrrqrrMM 226.11aMqpl 3. 找與下限解對應的機動許可的位移（速度）場，若有則下限解為完全解找與下限解對應的機動許可的位移（速度）場，若有則下限解為完全解：MPMPMrMqABCDEFMrMq qMPrbMP0, 0:0 q q rbBCrr0: rbCDarr q q22drwdr 21CrCw drwdr1 q q 43lnCrCw 0 arw orww 0 arrrarawrrrararrwwbbobbbboln1ln0ln1ln1 bbrrrrww bbrrrrdrwddrwdrzaq arrr

49、awrrrrwwbobboln76. 0032. 176. 0 arrrarawrrrararrwwbbobbbboln1ln0ln1ln1rzaqMrMq qMPrbMP arb73. 0ow ow 24. 0 lplqaMq226.11226.11aMqpl 一、屈服條件一、屈服條件最大彎矩極限條件：最大彎矩極限條件：MrMpMpMq qo prMMM ,maxq q二、梁的平衡方程二、梁的平衡方程xoxq(x)mdxQ(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x):0 xF)()(xqdxxdQ :0 mmxQdxxdM )()(三、板的平衡方程三、板的平衡方程 qrdrrQdr

50、 q qMrQdrrMdrr )( qrdrrQdr 22 q q MrQdrrMdrr22)2( )()(xqdxxdQ mxQdxxdM )()(rorq(r)板板22rMMrMMx Q x 22rQr梁梁xoxq(x)mm22Mq qq(x)22rq(r)極限條件：極限條件：MMmax MMp v 若梁和圓板的邊界條若梁和圓板的邊界條件在形式上相同，可件在形式上相同，可通過求解變量轉換后通過求解變量轉換后梁的問題得到圓板的梁的問題得到圓板的解答。解答。梁計算模型梁計算模型1. 結構轉換結構轉換圓板的半徑圓板的半徑梁計算模型的跨度梁計算模型的跨度rozroz外邊界支承圓板外邊界支承圓板梁計

51、算模型的左端為自由端右梁計算模型的左端為自由端右端與板的支承形式相同。端與板的支承形式相同。圓板的對稱軸圓板的對稱軸梁計算模型上的坐標原點梁計算模型上的坐標原點（只研究右半部）（只研究右半部）rr距圓板的對稱軸為距圓板的對稱軸為 r 處的圓截面處的圓截面坐標為坐標為 r 的梁截面的梁截面2. 載荷與內力轉換載荷與內力轉換圓板單位面積上的載荷圓板單位面積上的載荷q(r)梁計算模型上的分布載荷梁計算模型上的分布載荷 2 rq(r)圓板某一半徑上的載荷圓板某一半徑上的載荷P梁計算模型相應位置處的集中力梁計算模型相應位置處的集中力 P圓板中圓板中 r 處的彎矩處的彎矩Mr梁計算模型上：梁計算模型上：

52、2 r Mr圓板中的環向彎矩：圓板中的環向彎矩： Mq q = Mp （極限條件）（極限條件）梁計算模型上的附加均布彎矩梁計算模型上的附加均布彎矩 2 Mp方向與外載荷在梁中產生的彎矩方向相反方向與外載荷在梁中產生的彎矩方向相反3. 求塑性極限載荷求塑性極限載荷（梁右端邊界條件）（梁右端邊界條件）r=a 處簡支：處簡支：M0r=a 處固支：處固支：M Mp2 a Mr 02 a Mr 2 a Mp例題例題1：半徑為：半徑為 a 的固支圓板，受均布載荷的固支圓板，受均布載荷 q 作用，圓板單位塑性極限彎作用，圓板單位塑性極限彎矩為：矩為： Mp ，求塑性極限載荷。，求塑性極限載荷。rozra2

53、rqrozaqm= 2 Mp32222rrqrrMrMpr 62qrMMpr parrMM62qaMMpp 212aMqpl 簡支圓板：簡支圓板： 0arrM26aMqpl 解：解：例題例題2：半徑為：半徑為 a 的簡支環板，內半徑為的簡支環板，內半徑為 b ，受均布載荷，受均布載荷 q 作用，圓板單作用，圓板單位塑性極限彎矩為：位塑性極限彎矩為： Mp ，求塑性極限載荷。，求塑性極限載荷。rozaq 322222222brbqrrqbrbrbqMbrrMpr qrbrbrMrbMpr6212 parrMM babaMqpl26 固支環板：固支環板： 0arrM解：解：brozrab2 rqm

54、= 2 Mp bababaMqpl2262 例題例題3：半徑為：半徑為 a 的簡支環板，內半徑為的簡支環板，內半徑為 b ，在半徑為，在半徑為 c 的圓周上作用線的圓周上作用線分布載荷分布載荷 p，總值為，總值為 P ，單位塑性極限彎矩為：，單位塑性極限彎矩為： Mp ，求塑性極，求塑性極限載荷。限載荷。rozap arccrPMbrcrbMbrrMppr 222 caMbaPpl 2 0arrM解：解：brozcabPm= 2 Mpcp一、薄板的破壞機構一、薄板的破壞機構1. 基本假設：基本假設：1)在薄板最大彎矩處形成塑性鉸線（直線段）。在薄板最大彎矩處形成塑性鉸線（直線段）。2)沿塑性鉸

55、線的單位長度上作用著塑性極限彎矩沿塑性鉸線的單位長度上作用著塑性極限彎矩Mp ，不計扭矩，不計扭矩和剪力的作用。和剪力的作用。3)不計彈性變形。不計彈性變形。2. 破壞機構的確定規則：破壞機構的確定規則：（1）薄板的破壞機構由若干板塊組成，板內塑性鉸線是相鄰兩板）薄板的破壞機構由若干板塊組成，板內塑性鉸線是相鄰兩板塊的轉動軸。塊的轉動軸。有塑性鉸線的固支邊、簡支邊、過支承板中心的線都是板塊的有塑性鉸線的固支邊、簡支邊、過支承板中心的線都是板塊的轉動軸。轉動軸。板塊數目等于支承邊界的數目。板塊數目等于支承邊界的數目。（2）塑性鉸線在板內相交。）塑性鉸線在板內相交。（3）終止在自由邊界上的塑性鉸線

56、，其延長線交于相鄰兩板塊轉）終止在自由邊界上的塑性鉸線，其延長線交于相鄰兩板塊轉動軸的交點上。該交點可能位于無窮遠處。動軸的交點上。該交點可能位于無窮遠處。（4）集中力作用下，塑性鉸線交于載荷作用點。）集中力作用下，塑性鉸線交于載荷作用點。二、周邊簡支的多邊形板二、周邊簡支的多邊形板PO 破壞機構：角錐體破壞機構：角錐體在在O 處受集中力處受集中力P 作用作用OACB ib biOA=liab q qiq q1q q2：相對轉角：相對轉角21q qq qq q i21tantanq qq q ba iila tan iilbb btan iiiilb b q qcotcot 塑性極限彎矩：塑性

57、極限彎矩：MP在塑性鉸線在塑性鉸線 li 上做的內力功：上做的內力功：iiplMq q iiiilb b q qcotcot iiPiipMlMb b q qcotcot n 多邊形，總的內力功多邊形，總的內力功Wi ： niiiPniiipiMlMW11cotcotb b q q外力外力P 做的外力功做的外力功We ： PWe ieWW niiiPlMP1cotcotb b 正多邊形：正多邊形：nnnii b b 22)2( niiiPlMP1cotcotb b 正多邊形（集中力作用在板中心）：正多邊形（集中力作用在板中心）：nnnii b b 22)2( niPlnMP1tan2 nnMP

58、Pl tan2 PlMPn39.10:3 PlMPn8:4 PlMPn27. 7:5 PlMPn93. 6:6 三、周邊固支的多邊形板三、周邊固支的多邊形板固支邊上形成塑性鉸線固支邊上形成塑性鉸線在在O 處受集中力處受集中力P 作用作用OACOD=hi i ：板塊：板塊AOC相對相對AC的轉角的轉角iih O DAC=ai內力功內力功Wi ： niiiPiMW1cotcotb b niiiPhaM1 1cotcot iiiihab b D ib bib bi-1 niiiPiMW1cotcot2b b 外力功外力功We ： PWe niiiPlMP1cotcot2b b niiiPlMP1co

59、tcot2b b 正多邊形（集中力作用在板中心）：正多邊形（集中力作用在板中心）：nnnii b b 22)2(nnMPPl tan4 ABCDE例題例題1：邊長為：邊長為 a 的正方形薄板，一邊固支、兩邊簡支，自由邊中點的正方形薄板，一邊固支、兩邊簡支，自由邊中點A受集受集中載荷中載荷 P 作用，板的塑性極限彎矩為：作用，板的塑性極限彎矩為： Mp ，求塑性極限載荷。，求塑性極限載荷。h b bb b 解：設解：設A A點的撓度為點的撓度為 ABCABC與與ACDACD的相對轉角為的相對轉角為q :q : b b q qcotcot ACAC 25 ACDACD與與CDCD的相對轉角為的相對

60、轉角為:a 內力功內力功Wi ：aMACMWpPi q q 2外力功外力功We ： PWe PlMP6 PM6 eiWW例題例題2：邊長為：邊長為 a,b 的矩形薄板，一邊自由、三邊簡支，板上受均布載荷的矩形薄板，一邊自由、三邊簡支，板上受均布載荷 q 作用，塑性鉸線如圖，板的塑性極限彎矩為：作用，塑性鉸線如圖，板的塑性極限彎矩為： Mp ，求：，求：x=? 破壞破壞載荷取最小值，此最小值為多少？載荷取最小值，此最小值為多少？ABCDEFbxa/2a/2b b b b解：設解：設ABAB的撓度為的撓度為 ABCEABCE與與BCDBCD的相對轉角為的相對轉角為q :q : b b q qcot