1、初二數學最短路徑問題【問題概述】 最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑.算法具體的形式包括：確定起點的最短路徑問題 -即已知起始結點，求最短路徑的問題.確定終點的最短路徑問題 -與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題.確定起點終點的最短路徑問題-即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑.全局最短路徑問題-求圖中所有的最短路徑.【問題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費馬點”.【涉及知識】“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”，“軸對稱”，“平移”.【出題背景】 角、三角形、菱形、矩形、正方形

2、、梯形、圓、坐標軸、拋物線等.【解題思路】 找對稱點實現“折”轉“直”，近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考查.【十二個基本問題】【問題1作法圖形原理A *lb在直線l上求一點 P,使PA+PB值最小.連AB,與l交點即為P.AViB兩點之間線段最短.FA + PB最小值為AB.【問題2】“將軍飲馬”作法圖形原理A.B l在直線l上求一點 P,使PA+PB值最小.作B關于l的對稱點B，連A B"與l交點即為P.A5P B'兩點之間線段最短.PA+PB最小值為A B"【問題3】作法圖形原理liAl l2在直線li、l2上分別求點M、N,使 PMN的周長 最小.分別

3、作點P關十兩直線的 對稱點P，和P，連P，P, 與兩直線交點即為M , N .P./兩點之間線段最短.PM +MN + PN的最小值為 線段，的長.12N:12 P''【問題4】作法圖形原理li/,Q *P乙l2在直線li、l2上分別求點M、N,使四邊形 PQMN 的周k取小.分別作點Q、P關于直線 l1、l2的對稱點Q/和P， 連CT P,與兩直線交點即 為 M , N.Q'11Q,/ 42N! .P'兩點之間線段最短.四邊形PQMN周長的最小 值為線段P的長.【問題5】“造橋選址”作法圖形原理A *MmB直線m / n ,在m、n , 上分別求點 M、N,使

4、MN ，m ,且 AM + MN + BN 的 值最小.將點A向下平移 MN的長 度單位得A"連A B,交n 于點N ,過N作NM，m于 M .AA,A?V- m*兩點之間線段最短.AM +MN + BN的最小值為AB+MN.【問題6】作法圖形原理AB M a N-l在直線l上求兩點M、N（ M 在左），使MN a ,并使 AM + MN + NB的值最小.將點A向右平移a個長度 單位得A，作A /關于1的 對稱點A，連AB,交直線 1于點N,將N點向左平 移a個單位得M .AA'bZ1M : N：X 1iA''兩點之間線段最短.AM +MN + BN的最小值

5、為AB+MN.【問題7】作法圖形原理ll12在11上求點A,在12上求 點B,使PA+AB值最小.作點P關于11的對稱點P /,作 P B± 12 于 B,交 12 于A.11B12點到直線，垂線段最短.PA+AB的最小值為線段 ，B的長.【問題8】作法圖形原理JX11 AA 12MBA為11上一定點，B為12上/E點，在12上求點M , 在11上求點 N , 使 AM + MN + NB的值最小.作點A關于12的對稱點 A工作點B關于11的對稱 點B"連A B交12于M, 交11于N.B' tv11jM B 12A'兩點之間線段最短.AM +MN + NB

6、 的最小值為 線段A B，的長.【問題9】作法圖形原理A.,B 1在直線1上求一點 P,使pA PB|的值最小.連AB ,作AB的中垂線與 直線1的交點即為P.V>b 1 p垂直平分上的點到線段兩 端點的距離相等.PA PB = 0 .【問題10作法圖形原理A .B l在直線l上求一點 P,使pA PB|的值最大.作直線AB,與直線1的交 點即為P.A ±1 P三角形任意兩邊之差小于第三邊.PA PB| <AB.PA PB的最大值 =AB.【問題11作法圖形原理A .1*B在直線1上求一點 P,使|PA PB的值最大.作B關于1的對稱點B， 作直線A B"與1交

7、點即 為P.A廠P三角形任意兩邊之差小于第三邊.PA PB <ABZ.PA PB最大值=AB'【問題12“費馬點”作法圖形原理A ABC中每一內角都小于 120° ,在 ABC內求一點 P,使PA+PB + PC值最小.所求點為“費馬點”，即滿足/ APB = / BPC = / APC=120° ,以 AB、AC 為邊向外作等邊 ABD、 ACE,連 CD、BE 相交于P,點P即為所求.D 出-” ABC兩點之間線段最短.PA+PB+PC 最小值=CD.【精品練習】1 .如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內，

8、在對角線 AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A. 23B, 2而 C. 3 D, 762 .如圖，在邊長為 2的菱形 ABCD中，/ ABC = 60 °,若將 AACD繞點A旋轉，當 AC'、AD '分別與BC、CD交于點E、F,則ACEF的周長的最小值為（）A. 2B, 23C. 2 石D. 43.四邊形 ABCD中，/ B = /AMN+/ANM的度數為(A. 120°B. 130°C. 110°D. 140°4.如圖，在銳角 ABC中,AB = 4 72 , /BAC=45°, / BAC

9、的平分線交 BC于點D, M、N分別是 AD和AB上的動點，則 BM+MN的最小值是5.且如圖，RtAABC中，/ C=90°, / B=30°, AB = 6,點E在AB邊上，點 D在BC邊上(不與點 B、C重合)， ED = AE,則線段 AE的取值范圍是6.如圖，/ AOB = 30°,點 M、N分別在邊 OA、OB上，且 OM = 1, ON = 3,點P、Q分別在邊 OB、OA上,則MP + PQ+QN的最小值是 .（注“勾股定理” 即 RtAABC 中，/ C=90° ,則有 AC2 BC2 AB2）:直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平

10、方,0D = 90°, /C=70°,在BC、CD上分別找一點 M、N,使 AMN的周長最小時, )7.如圖，三角形 AABC中，/ OAB = /AOB= 15°,點B在x軸的正半軸，坐標為B(6<3 , 0).OC平分/ AOB,點M在OC的延長線上，點 N為邊OA上的點，則 MA + MN的最小值是8 .已知此時A (2,C、D4)、B (4, 2) . C在y軸上，D在x軸上，則四邊形 兩點的坐標分別為ABCD的周長最小值為9 .已知A ( 1,1)、 B (4, 2).(1)P為x軸上一動點，求 PA+PB的最小值和此時 P點的坐標;(2) P為x軸上一動點，求 PA PB的值最大時P點的坐標;yiBA*oQ(3) CD為x軸上一條動線段， D在C點右邊且 CD = 1,求當AC+CD+DB的最小值和此時 C點的坐標;10 .點C為/ AOB內一點.(1)在OA求作點D, OB上求作點E,使 CDE的周長最小，請畫出圖形；(2)在(1)的條件下，若/ AOB = 30° , OC=10,求 CDE周長的最小值和此時/ DCE的度數.A11 . (1)如圖， ABD和 ACE均為等邊三角形，BE、CE交于F,連AF ,求證：AF + BF + CF = CD;(2)在 ABC 中，/ ABC = 30°