1、3.1.1 差分的定義差分的定義 連續函數連續函數 ，采樣后為，采樣后為 簡寫簡寫一階向前差分：一階向前差分：二階向前差分：二階向前差分： n階向前差分：階向前差分： 一階向后差分：一階向后差分： 二階向后差分：二階向后差分： n階向后差分：階向后差分： 3.1 離散系統的時域描述離散系統的時域描述差分方程差分方程2( )( )(1)( )2 (1)(2)f kf kf kf kf kf k 3.1.2 差分方程差分方程差分方程是時間序列的方程差分方程是時間序列的方程 連續系統連續系統微分用差分代替微分用差分代替 一般離散系統的差分方程：一般離散系統的差分方程： 差分方程還可用向后差分表示為：

2、差分方程還可用向后差分表示為：( )c k代替代替( )c t代替代替( )r k( )r t（線性常系數差分方程）（線性常系數差分方程）3.1.3 差分方程（迭代）求解差分方程（迭代）求解差分方程的解也分為通解與特解。差分方程的解也分為通解與特解。 通解是與方程初始狀態有關的解。通解是與方程初始狀態有關的解。 特解與外部輸入有關，它描述系統在外部輸入作用下的強迫運動。特解與外部輸入有關，它描述系統在外部輸入作用下的強迫運動。例例3-1 已知差分方程已知差分方程 ( )c k，試求，試求解：采用解：采用遞推迭代法遞推迭代法，有：，有：說明：另一個求解方法是利用說明：另一個求解方法是利用z變換求

3、解。變換求解。 （通式困難；計算機有限項）（通式困難；計算機有限項）3.2.1 Z變換定義變換定義1. z變換變換采樣信號采樣信號 采樣信號的采樣信號的z變換變換注意：注意：z變換中，變換中，z-1代表信號滯后一個采樣周期，可稱為單位延遲因子。代表信號滯后一個采樣周期，可稱為單位延遲因子。 3.2 Z變換變換特殊的拉氏變換特殊的拉氏變換（超越函數；冪級數）采樣脈沖序列進行采樣脈沖序列進行z變換的寫法變換的寫法在實際應用中，對控制工程中多數信號，在實際應用中，對控制工程中多數信號，z變換所表示的無窮級數是收斂的，變換所表示的無窮級數是收斂的，并可寫成閉和形式。并可寫成閉和形式。z的有理分式：的有

4、理分式：z-1的有理分式的有理分式:零、極點形式：零、極點形式：*( ), ( ), (), ( )Z ftZ f tZ f kTZ F s表達式形式（表達式形式（實際中，有理分式）1）級數求和法）級數求和法步驟：步驟：i)代入采樣信號的定義式；代入采樣信號的定義式； ii)求出相應的求出相應的F（z）的級數展開式；）的級數展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。找出收斂條件，寫出閉公式。 2）部分分式展開法）部分分式展開法（常用。查表查表）步驟：步驟：i)將將F（s）展開成簡單分式；）展開成簡單分式； （f(t)時）時） ii)利用利用F（s）與）與F（z）的對應關系查表。）的對應關系查

5、表。3）留數法）留數法（不記）步驟：直接利用公式：步驟：直接利用公式：iissnrisTiisssTrrrnriTsiTsezzsFssezzsFssdsdrezzsFsezzsFszF111111)()()()()!1(1)(Re)(Re)(112 2 求求Z Z變換的方法變換的方法（對f(t)或F(s)）1）級數求和法）級數求和法步驟：步驟：i)代入采樣信號的定義式；代入采樣信號的定義式； ii)求出相應的求出相應的F（z）的級數展開式；）的級數展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。找出收斂條件，寫出閉公式。1220( )()1kTTkF zf kT zezez ( )tf te當等

6、比級數的公比當等比級數的公比11Tez11( )1TTzF zezze例例例例)3() 1(2)(2sssssF求求 F(z)3() 1() 1()(43122sCsCsCsCsF表中查不到，部分分式分解：表中查不到，部分分式分解：求系數方法：求系數方法： 解方程組。解方程組。 得到得到iC)3(1121132) 1(143) 1(121)(2sssssF查表，得到：查表，得到：)(121) 1(32)(43)32()(322TTTTezzzzezzzeTezF說明：說明： 極點按極點按 對應；對應； T。 零點零點 無對應；無對應； 個數一般多于個數一般多于F(s)。 Tsiiez 2）部分

7、分式展開法）部分分式展開法（常用）步驟：步驟：i)將將F（s）展開成簡單分式；）展開成簡單分式； ii)利用利用F（s）與）與F（z）的對應關系查表。）的對應關系查表。2）右位移（延遲）定理）右位移（延遲）定理3）左位移（超前）定理）左位移（超前）定理4）位移定理）位移定理)()(zFznTtfZn1012()( )()( )(0)()(2)(1)nnkknnnnZf tnTzF zf kT zz F zz fzf TzfTzfnT)()(aTatzeFtfeZ3 3 Z Z變換的基本定變換的基本定理理1）線性定理）線性定理1212( )( )( )( )Z af tbf taF zbF z(

8、)( )sL f teF s121( )( )(0)(0)(0)nnnnnndf tLs F ssfsffdt( )()atL ef tF sa 5）初值定理）初值定理6）終值定理）終值定理)()()0(limlim0zFkTffzk)()1 ()(11limlimzFzkTfzk)() 1()(limlim1zFzkTfzk*條件：系統穩定條件：系統穩定0(0)( )( )limlimtsff tsF s0( )( )( )limlimtsff tsF s 假定函數假定函數( )F z全部極點均在全部極點均在z平面的單位圓內平面的單位圓內或最多有一個極點或最多有一個極點 在在z=1處，則處，

9、則 建立在理想采樣基礎上（建立在理想采樣基礎上（ ）；）；只反映采樣時刻的信息；只反映采樣時刻的信息；系統為零初始輸出。系統為零初始輸出。*G（s）中分母比分子高兩個階次時，可保證輸出有零初值。）中分母比分子高兩個階次時，可保證輸出有零初值。Z Z變換應注意問題變換應注意問題Z反變換只反映了采樣時刻的信息。反變換只反映了采樣時刻的信息。1）求法）求法冪級數展開法（長除法）冪級數展開法（長除法）留數法留數法部分分式展開法（查表法）部分分式展開法（查表法）對對F(z)/z進行求解（分子中通常含進行求解（分子中通常含z） 。查表。查表。 f(t) f(kT)f(k)i）無重根：）無重根：ii）有重根

10、：）有重根：izziizzFzzA)()(izzirrizzFzzdsdrA)()()!1(1114 4 Z Z反變換反變換 （ F(z)f(t) ）)()()(*kTftfzF)()()(*zFtfZtf（）例例1 長除法長除法0*)()()(kkTtkTftf0)()(kkzkTfzF25461511)(232zzzzzzF)(*tf， 求求 難于得到通式；計算機便于實現。難于得到通式；計算機便于實現。61511254223zzzzz4321145672911zzzz1222554411zzz）1224929zz215814511629zzz）215812367zz)4(145)3(67)

11、2(29)(11)(*TtTtTtTttf例例2 部分分式展開法部分分式展開法0*)()(32)(kkTtkuktf123)(22zzzzzF)(*tf， 求求13) 1(21) 1() 1(13)(22212zzzAzAzzzzF)(32)(kukkfkttuttf| )(32)(（方程組求系數）（方程組求系數）13) 1(2)(2zzzzzF3.2.4 差分方程差分方程 z變換解法變換解法例例3-11 用用z變換法求差分方程變換法求差分方程 利用利用z變換求解線性常系數差分方程，將差分方程的求解轉換為代數方程的求解變換求解線性常系數差分方程，將差分方程的求解轉換為代數方程的求解c(k+2)

12、-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 對每一項做對每一項做z變換變換(2) 歸納整理歸納整理 特解特解 通解通解 (3) z反變換反變換 查表得查表得 部分分式展開部分分式展開 假設初始條件為零，上式第假設初始條件為零，上式第2項為零項為零 22( )(0)(1)3( )3(0)2 ( )4zz C zz czczC zzcC zz例：例：0)(2) 1(3)2(kckckc0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zczczzczcczzcz1) 1 (, 0)0(cc) 1 ()0()3()()23(22zcczzzczzzzczz)()23(223)(2zzzzc2111

13、2123)(212zzzAzAzzzzzc21)(zzzzzckkkc)2() 1()(3.3.1 脈沖傳遞函數的定義脈沖傳遞函數的定義 定義：在初始條件為零時，定義：在初始條件為零時， 離散系統脈沖傳遞離散系統脈沖傳遞函數函數 又稱為又稱為z傳遞函數傳遞函數輸出量輸出量z變換變換輸入量輸入量z變換變換輸出的采樣信號：輸出的采樣信號： 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 3.3 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 *輸出虛設采樣開關輸出虛設采樣開關3.3.2 脈沖傳遞函數特性脈沖傳遞函數特性1. 離散系統脈沖傳遞函數的求取離散系統脈沖傳遞函數的求取 離散系統的脈沖傳遞函數可以看作是系統輸入為單位脈沖時，其脈沖離散

14、系統的脈沖傳遞函數可以看作是系統輸入為單位脈沖時，其脈沖響應的響應的z變換。變換。 若已知采樣系統的連續傳遞函數若已知采樣系統的連續傳遞函數G(s)，當其輸出端加入，當其輸出端加入虛擬開關變為離散系統時，其脈沖傳遞函數可按下述步驟求取：虛擬開關變為離散系統時，其脈沖傳遞函數可按下述步驟求取： （1）對）對G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應做拉氏反變換，求得脈沖響應 ( )g t（2）對）對 采樣，求得離散系統脈沖的響應為采樣，求得離散系統脈沖的響應為（3）對離散脈沖響應做）對離散脈沖響應做z變換，即得系統的脈沖傳遞函數為變換，即得系統的脈沖傳遞函數為 幾種脈沖傳遞函數的表示法均可應用幾種脈沖傳

15、遞函數的表示法均可應用 脈沖傳遞函數完全表征了系統或環節的輸入與輸出之間的特性，脈沖傳遞函數完全表征了系統或環節的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統或環節本身的結構參數決定，與輸入信號無關。并且也只由系統或環節本身的結構參數決定，與輸入信號無關。 2. 脈沖傳遞函數的極點與零點脈沖傳遞函數的極點與零點 極點極點 當當G(z)是是G(s)由通過由通過z變換得到時，它的極點是變換得到時，它的極點是G(s)的極點按的極點按z=e-sT的關的關系一一映射得到。由此可知，系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點位置不僅與的極點位置不僅與G(s)的極點有關的極點有關，還與采樣周期，還與采樣周期T密切相關

16、。將將密集地映射在密切相關。將將密集地映射在z=1附近。當采樣周附近。當采樣周期期T足夠小時，足夠小時，G(s)的極點都的極點都 零點零點 G(z)的零點是采樣周期的零點是采樣周期T的復雜函數。采樣過程會增加額外的零點。的復雜函數。采樣過程會增加額外的零點。 若連續系統若連續系統G(s)沒有不穩定的零點，且極點數與零點數之差大于沒有不穩定的零點，且極點數與零點數之差大于2，當采樣周期較小時，當采樣周期較小時，G(z)總會出現不穩定的零點，變成非最小相位系總會出現不穩定的零點，變成非最小相位系統。統。 有不穩定零點的連續系統有不穩定零點的連續系統G(s)，只要采樣周期取得合適，離散后也可，只要采

17、樣周期取得合適，離散后也可得到沒有不穩定零點的得到沒有不穩定零點的G(z) 。3.3.3 差分方程與脈沖傳遞函數差分方程與脈沖傳遞函數1. 由差分方程求脈沖傳遞函數由差分方程求脈沖傳遞函數已知差分方程已知差分方程 ，設初始條件為零。，設初始條件為零。兩端進行兩端進行z變換變換 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 系統的特征多項式系統的特征多項式 系統輸出系統輸出 2. 由脈沖傳遞函數求差分方程由脈沖傳遞函數求差分方程 z反變換反變換 z反變換反變換 3.6 離散系統的狀態空間描述離散系統的狀態空間描述離散系統狀態方程離散系統狀態方程 n維維 m維維 p維維 F(nn)：狀態轉移矩陣：狀態轉移矩陣 G(n

18、m)：輸入矩陣或控制轉移矩陣：輸入矩陣或控制轉移矩陣 Cpn：狀態輸出矩陣：狀態輸出矩陣 D(pm)：直接傳輸矩陣：直接傳輸矩陣 連續系統狀態空間模型連續系統狀態空間模型 離散系統狀態空間模型離散系統狀態空間模型 連續系統狀態方程連續系統狀態方程)()()()()()(tDtCttBtAtu ux xu ux xx xy y3.6.1 由差分方程建立離散狀態方程由差分方程建立離散狀態方程單輸入單輸出線性離散系統，可用單輸入單輸出線性離散系統，可用n階差分方程描述階差分方程描述 101()(1)( )()(1)( )nmy kna y kna y kb u kmbu kmb u k選擇選擇狀態狀

19、態變量變量1021132211( )( )( )( )(1)( )( )(1)( )( )(1)( )nnnx ky kh u kx kx khu kx kx kh u kx kxkhu k式中式中 00111 0221 120331 22 13011220nnnnnhbhba hhba ha hhba ha ha hhba ha ha h則可得到離散系統狀態方程，且有：則可得到離散系統狀態方程，且有：1221010000010000001nnnFaaaaa1200110 00 0nnhhGCDhbhh3.6.2由脈沖傳遞函數建立離散狀態方程由脈沖傳遞函數建立離散狀態方程通常采用串行法、并行法

20、、直接法等實現。通常采用串行法、并行法、直接法等實現。 1. 串行法（又稱迭代法）串行法（又稱迭代法）寫成零極點形式寫成零極點形式 狀態方程：狀態方程： 輸出方程：輸出方程： 狀態方程的矩陣形式：狀態方程的矩陣形式： 6.1.1 可控性與可達性可控性與可達性 可控性定義：可控性定義： 對上述系統，若可以找到控制序列對上述系統，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時間，能在有限時間NT內內驅動系統從任意初始狀態驅動系統從任意初始狀態x(0)到達任意期望狀態到達任意期望狀態x(N)=0，則，則稱該系統是狀態稱該系統是狀態完全可控的完全可控的（簡稱是可控的）。（簡稱是可控的）。 可達性定義：可達性定義： 對上述系統，若可以找到控制序列對上述系統，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限時間，能在有限時間NT內內驅動系統從任意初始狀態驅動系統從任意初始狀態x(0)到達任意期望狀態到達任意期望狀態x(N)，則稱，