1、4-1 簡簡 諧諧 運運 動動 第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波 任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動振動. . 機械振動機械振動 物體圍繞一固定位置往復(fù)運動物體圍繞一固定位置往復(fù)運動. . 周期和非周期振動周期和非周期振動 簡諧運動簡諧運動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. . 例如例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等中原子的振動等. .簡諧運動簡諧運動復(fù)雜振動復(fù)雜振動合成合成分解分解4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量

2、第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波在振動過程中，物理量隨時間做余弦式（或正在振動過程中，物理量隨時間做余弦式（或正弦式）變化的振動稱為弦式）變化的振動稱為簡諧振動簡諧振動（諧振動）（諧振動） 簡諧振動簡諧振動簡諧運動的微分方程和運動方程簡諧運動的微分方程和運動方程 簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 簡諧運動的能量簡諧運動的能量 簡諧運動的合成簡諧運動的合成 4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波kl0 xmoAA 彈簧振子的振動彈簧振子的振動00Fx一一 簡諧運動簡諧運動4 1

3、4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波makxF0dd222xtxmk2令令積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAxxxFmo a 與與 x 方向方向相反相反xa24 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波簡諧振動的微分方程和運動方程簡諧振動的微分方程和運動方程 kmoxX)cos()( tAtx物體受力：物體受力：kxF 簡諧振動的微分方程：簡諧振動的微分方程： 簡諧振動的簡諧振動的運動方程運動方程：

4、0222 xdtxd 簡諧振動的簡諧振動的速度速度： tAdtdxvsin簡諧振動的簡諧振動的加速度加速度： tAdtxdacos2224 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波1、從受力角度來看、從受力角度來看動力學(xué)特征動力學(xué)特征k

5、xF2、從加速度角度來看、從加速度角度來看運動學(xué)特征運動學(xué)特征xa2 3、從運動方程來看、從運動方程來看運動學(xué)特征運動學(xué)特征) cos( tAx說明：說明：要證明一個物體是否作簡諧運動，只要證明上面三個式子中的要證明一個物體是否作簡諧運動，只要證明上面三個式子中的一個即可，且由其中的一個可以推出另外兩個；一個即可，且由其中的一個可以推出另外兩個；要證明一個物體是否作簡諧運動最簡單的方法就是受力方析，要證明一個物體是否作簡諧運動最簡單的方法就是受力方析，得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。 簡諧運動的特點簡諧運動的特點4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)

6、矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波)cos(tAx二二 振幅振幅maxxA 三三 周期、頻率周期、頻率kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2T 周期周期21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動系周期和頻率僅與振動系統(tǒng)統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)注意注意tx圖圖AAxT2Tto4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波1 1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點內(nèi)變化

7、，質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； 四四 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始初始時刻的運動狀態(tài)時刻的運動狀態(tài). . ) 0( t) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx圖圖AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 簡諧運動中，簡諧運動中， 和和 間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系. .x vvvv4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波22020vxA00tanxv五五 常數(shù)常數(shù)

8、 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAx4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振

9、動與機械機械振動與機械波波練練習(xí)習(xí)如圖，把物體從平衡位置向右拉長如圖，把物體從平衡位置向右拉長0.10m0.10m釋放，釋放，求簡諧振動方程；已知求簡諧振動方程；已知kgm40. 0mNk/60. 1， 解：要求物體的簡諧運解：要求物體的簡諧運動方程，就要確定動方程，就要確定角頻角頻率、振幅、初相率、振幅、初相三個物三個物理量理量10 . 240. 060. 1smk000 xvarctgttAx0 . 2cos10. 0cosmvxA10. 022020 o x 0.10m 4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與

10、機械波波 例例1 1 如圖所示系統(tǒng)（細(xì)線如圖所示系統(tǒng)（細(xì)線的質(zhì)量和伸長可忽略不計），的質(zhì)量和伸長可忽略不計），細(xì)線靜止地處于鉛直位置，重細(xì)線靜止地處于鉛直位置，重物位于物位于O O 點時為平衡位置點時為平衡位置. . 若把重物從平衡位置若把重物從平衡位置O O 略略微移開后放手微移開后放手, , 重物就在平衡重物就在平衡位置附近往復(fù)的運動這一振位置附近往復(fù)的運動這一振動系統(tǒng)叫做動系統(tǒng)叫做單擺單擺. . 求求單擺小角單擺小角度振動時的周期度振動時的周期lmoA54 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動與機械機械振動與機械波波lmoAm

11、glmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFPglT2轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動正向正向sin,5時時解解4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波 以以 為為原點旋轉(zhuǎn)矢原點旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAcos0Ax 當(dāng)當(dāng) 時時0t0 xT2旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波 以以 為為原點旋轉(zhuǎn)矢原點旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運

12、動為簡諧運動動. .xAoxoAtt t時時x0 xT2)cos(tAx旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波)cos(tAx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點在端點在 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動運動. .xA旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波A- AOO T2T4T43T45T*xxtA- A用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間）（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間）*2T4)cos(tAx旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波 （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周

13、所需的時間）（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間）2T用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 p / p / T T = p p rad /s )0.04p pp p2A = p p / 2 t = 0v0 從 t = 0 作逆時針旋轉(zhuǎn)時，A矢端的投影從x=0向X軸的負(fù)方運動，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波彈簧振子x0 = 0t = 0 時v

14、0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡諧振動方程 km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)v0 x0 = 0已知相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI) v0旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波AAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：表示兩個相位之差相位差：表示兩個相位之差 . . 1 1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間態(tài)間變化所需的時間. .)()(12tt)cos(11tAx)cos(22tAx12tttaA3 TTt6123v

15、2AbA旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波0 xto同相同相 2 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它的簡諧運動，相位差表示它們間們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波 例例1 1 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)簧的勁度系數(shù) ，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量 . . （1 1）把物體從平

16、衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉到 處停處停下后再釋放，求簡諧運動方程；下后再釋放，求簡諧運動方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于零，處時速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運動方程，求其運動方程. .2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的處時的速度；速度；m/ xo0.05旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 002202

17、0 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知 0)cos(tAxm 0 . 6cos05. 0t旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波oxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知tAsinv1sm26. 0（負(fù)號表示速度沿（負(fù)號表示速度沿 軸負(fù)方向）軸負(fù)方向）Ox2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的處時的速度；速度；旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波解解 m0707. 022020vxA1t

18、an00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx)40 . 6cos(0707. 0t （3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于零，處時速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運動方程，求其運動方程. .m05. 0 x10sm30. 0v因為因為 ，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知400v旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波 例例2 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的物體作簡諧運動，其振的物體作簡諧運動，其振幅為幅為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0處，向處，向 軸負(fù)方向運動（如

19、圖）軸負(fù)方向運動（如圖）. .試求試求Ox （1 1） 時，物體所處的位置和所受的力；時，物體所處的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0A1s22T旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波o08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAxcos08. 004. 03A3)32cos(08. 0txm08. 0A1s22T旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波o08. 004. 004. 008. 0m/xv)32cos(08.0t

20、xs0 . 1t代入上式得代入上式得m069. 0 xxmkxF2N1070. 13kg01. 0m旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波o08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置運動到由起始位置運動到 處所需要處所需要的最短時間的最短時間. .m04. 0 x 法一法一 設(shè)由起始位置運動到設(shè)由起始位置運動到 處所處所需要的最短時間為需要的最短時間為m04. 0 xt)32cos(08. 004. 0ts667. 0t旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第五章第五章 機械振動與機械機械振動與機械波波o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二解法

21、二33起始時刻起始時刻 時刻時刻tt3ts667. 0t1s2旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學(xué)意義）（振幅的動力學(xué)意義） 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsin

22、vv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波簡諧運動勢能曲線簡諧運動勢能曲線簡諧運動能量守恒，振幅不變簡諧運動能量守恒，振幅不變kEpEx221kAE EBCAApExO 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。請在放映狀態(tài)下點擊你認(rèn)為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認(rèn)為是對的答案 一彈簧振子作簡諧振動，總能量為一彈

23、簧振子作簡諧振動，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的動的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸叮瑒t其總能量將變?yōu)?簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；解解 :2maxAaAamax1s20s314. 02TJ100 . 23222m

24、axmax,k2121AmmEv簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波max,kEE J100 . 23pkEE 時，時，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？J100 . 23max,kEs314.0T 簡諧運動的能量簡諧運動的能量第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波4-2 兩個同方向同頻率簡諧兩個同方向同頻率簡諧運動的合成運動的合成第四章第四章 機械振動和機械機械振動和機械波波11A1xx0 兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222