1、二、二、 函數的間斷點函數的間斷點 一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義 第八節機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數的連續性與間斷點 第一章 可見 , 函數)(xf在點0 x一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 continue)()(lim, ),(000 x

2、PxPxxx假設)(xf在某區間上每一點都連續 , 則稱它在該區間上連續 , 或稱它為該區間上的連續函數 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上連續 .( 有理整函數 )又如又如, 有理分式函數有理分式函數)()()(xQxPxR在其定義域內連續.在閉區間,ba上的連續函數的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對自變量的增量,0 xxx有函數的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()

3、(000 xfxfxf左連續右連續,0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數0 x)(xf在點連續有下列等價命題:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例. 證明函數證明函數xysin在),(內連續 .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內連續 .同樣可證: 函數xycos在),(內連續 .0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 在在在在二、函數的間斷點二、函數的間斷點(1) 函數函數)(xf0 x(2) 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3)

4、 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不連續不連續 :0 x設設0 x在點在點)(xf的某去心鄰域內有定義的某去心鄰域內有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點這樣的點0 x之一函數之一函數 f (x) 在點在點雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為間斷點稱為間斷點 . 在在無定義無定義 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf假設假設稱稱0 x, )()(00 xfxf假設假設稱稱0 x第二類間斷點第

5、二類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf中至少一個不存在中至少一個不存在 ,稱稱0 x若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為,為可去間斷點為可去間斷點 .為跳躍間斷點為跳躍間斷點 .為無窮間斷點為無窮間斷點 .為振蕩間斷點為振蕩間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1) 1 (1)(lim1fxf

6、x顯然顯然1x為其可去間斷點為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點為其跳躍間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習思考與練習1. 討論函數討論函數231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型間斷點的類型.2. 設設0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf為為連續函數連續函數.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點是

7、第一類可去間斷點 ,3. 確定函數確定函數間斷點的類型間斷點的類型.xxexf111)(解解: 間斷點間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故故1x為跳躍間斷點為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 4. 確定常數確定常數a 、b, 使得使得 2122( )lim1nnnxaxbxf xx 為連續函數為連續函數.解解: 因為因為 【分析】主要考慮指數函數在【分析】主要考慮指數函數在n 時的極限時的極限.2 11 1 ()1(1) 121(1) 12axbxx

8、xxfxabxabx ，這類函數一般都是分段函數這類函數一般都是分段函數.( )( )f xf xx 要要使使連連續續, ,則則必必須須在在 = =1 1處處連連續續1111lim( )lim( )(1) lim( )lim( )( 1)xxxxf xf xff xf xf 由由11(1)2 11(1)2abababab 得得10 11abaabb 即即內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續左連續右連續右連續)(. 2xf0 x第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間