1、第十講 等效電路和電路計算湖南郴州市湘南中學 陳禮生一、知識點擊1穩恒電流 電動勢大小和方向都不隨時間變化的電流稱為穩恒電流。穩恒電流必須是閉合的，正電荷在電場力的作用下從高電勢處移到低電勢處，而一非靜電力把正電荷從低電勢處搬運到高電勢處，提供非靜電力的裝置稱為電源電源內的非靜電力克服電源內靜電力作用，把流到負極的正電荷從負極移到正極若正電荷q受到非靜電力，則電源內有非靜電場，非靜電場的強度也類似電場強度的定義：將非靜電場把單位正電荷從負極通過電源內部移到正極時所做的功定義為電源的電動勢，即2恒定電流的基本規律和等效電源定理歐姆定律：在恒定的條件下，通過一段導體的電流強度I與導體兩端的電壓U成

2、正比，這就是一段電路的歐姆定律寫成等式：，或U=IR。含源電路的歐姆定律：如圖10一1所示含有電源的電路稱為含源電路含源電路的歐姆定律就是找出電路中兩點間電壓與電流的關系常用“數電壓”的方法即從一點出發，沿一方向，把電勢的升降累加起來得到另一點的電勢，從而得到兩點間的電壓設電流從a流向b，則有 a、b兩點間電壓為 寫成一般形式 閉合回路的歐姆定律：對于圖10一1可把a、b兩點連起來形成一閉合回路，則，即，寫成一般形式： 等效電源定理：只有電動勢而無內阻的理想電源稱為穩壓源，通常的實際電源相當于恒壓源和一內阻的串聯若有一理想電源，不管外電路電阻如何變化，總是提供一個不變的電流I0，則這種理想電源

3、稱為恒流源通常的實際電源，相當于恒流源與一定內阻的并聯實際電源既可看成電壓源，又可看成電流源對于同樣的外電路，產生的電壓和流經的電流相同如圖10一2： 由于其等效性，等效電壓源定理（又稱戴維寧定理）表述為：兩端有源網絡可以等效于一個電壓源，其電動勢等于網絡的開路端電壓，其內阻等于從網絡兩端看除源（將電動勢短路，內阻仍保留在網絡中）網絡的電阻。利用電壓源與電流源的等效條件，可以得到等效電流源定理（又稱諾爾頓定理），內容為：兩端有源網絡可等效于一個電流源，電流源的電流I0等于網絡兩端短路時流經兩端點的電流，內阻等于從網絡看除源網絡的電阻3基爾霍夫定律一個電路若不能通過電阻的串并聯求解，則這樣的電路

4、稱為復雜電路，復雜電路往往通過基爾霍夫定律來求解基爾霍夫第一方程組（節點定律組）復雜電路中，三條或三條以上支路的匯合點稱為節點基爾霍夫第一方程內容為：若規定流出節點的電流強度為正，流人節點的電流強度為負，則匯于節點的各支路電流強度的代數和為零即基爾霍夫第二方程組（回路定律組）復雜電路中，我們把幾條支路構成的閉合通路稱為回路基爾霍夫第二方程內容為：對任一閉合回路電勢增量的代數和等于零即，4無源二端網絡的等效電阻無源二端網絡的等效電阻：任何網絡不管它是簡單的或是復雜的，只要它有兩個引出端，且內部又無電源，則稱為無源兩端網絡。若網絡兩端之間電壓為U，從一端流進，另一端流出的電流為I，則U與I的比值稱

5、之二端無源網絡的等效電阻為求這等效電阻有一些專門的方法，其中最主要的方法有對稱性化簡法、電流分布法和Y-變換三種。無限網絡：由無限多個電阻構成的兩端網絡稱為二端無限網絡大致分為線型、面型和正多邊形嵌套幾種二、方法演練類型一、用電路的等效變換求電路的等效電阻的問題。 例1兩個均勻金屬圓圈和四根均勻短直金屬連成如圖103所示網絡，大圓弧、小圓弧和短直金屬棒的電阻均為r，求A、C兩點間的等效電阻。分析和解：四分之一圓弧和短金屬棒雖長短不一，但電阻相等，這樣可把里面的小圓拉出來，認為各邊相等，變平面圖形為一正立方體，再考慮到立方體相對對角面ACC'A'對稱，對稱點的電勢相等，又可沿BD

6、,B'D'把正方體壓成一矩形，一拉一壓把一無從下手的問題變成了一眼就能看出答案的簡單問題了因大小圓的四分之一圓弧與短直金屬的電阻均為r，所以圖104所示電路與圖104中正方體ABCDA'B'C'D'網絡等效A、C兩點在正方形ABCD的對角線上，設電流從A流入，從C點流出，那網絡相對對角面ACC' A'對稱，B、D兩點等電勢，B'、D'兩點等電勢，沿BD、B' D'將正方體壓成圖105所示平面網絡又考慮到對稱性，B、D點與B'D'等電勢，故其間電阻可拿掉，網絡等效于圖106所示電路，這

7、是一簡單電路，很容易得到類型二、用電流分布法和對稱法及基爾霍夫定律求解等效電阻的問題。 例2電阻絲網絡如圖107所示，每一小段的電阻均為R，試求A,B之間的等效電阻RAB。分析和解：電流從A進B出本不對稱，但通過疊加法，把A進B出看為A進O出和O進B出的疊加，把不對稱的變為了對稱，從而就可以順利求解，在圖10-14中，有電流I從A點流人，B點流出，這電流不具有對稱性，但把它看作是圖1015中電流I從A流入，O點流出與圖1016中電流I從O點流入，B點流出的疊加，后兩種電流流動都具有對稱性，從而把原來不具有對稱性的問題轉化成具有對稱性的間題，從而便于求解。如圖108所示，設從A點流入的電流I，由

8、于對稱性，從A到C的電流I'1應為由于B、E因對稱而等勢，BDE中應無電流，I'1在C點分流，由于CO的電阻與CBO的電阻之比為1:3，故圖109中，考慮到對稱性，各支路電流如圖表示，運用基爾霍夫定律，可得解此方程組可得，將兩種情況疊加得 那AB兩點之間的電壓為類型三、用網絡的對稱性作等效變換求正多邊形互相嵌套的無窮網絡的等效電阻的問題。 例3圖1010 (a)所示的無限旋轉內接正方形金屬絲網絡是由一種粗細一致、材料均勻的金屬絲構成，其中每一個內接正方形的頂點都在外側正方形四邊中點上。已知最外側正方形邊長為，單位長金屬絲的電阻為r0，求網絡中：（1）A，C兩端間等效電阻RAC。

9、（2）E，G兩端間等效電阻REC.分析和解：這是一個典型的求正多邊形互相嵌套的無窮網絡的等效電阻的題目，利用對稱性對折之后，找出內含的一個似形并令其阻值為RIJ，并找到RIJ與所求電阻RAC之間的關系，最后列出RAC的方程，其中含有RIJ，但考慮二者之間的關系即可求解。（1）首先利用網絡的對稱性作等效變換。令A，C兩端加一電壓，必然使得網絡在BD連線上各節點電勢相等，可以把節點拆開，如圖1010（b)所示。又由于網絡關于AC連線兩側對稱，所以可以沿AC連線對折疊合，讓各對稱節點相互重合，得等效網絡，如圖1010（c）所示。容易發現，在圖（c）中，A，C間網絡與I，J間網絡在形式上相似而且在線度

10、上后者是前者的倍，因此 再考慮到圖（c）中，AC連線兩側各對稱節點重合，因此，圖（c）與圖（a）相比，若金屬絲長度相等，阻值應為圖（a）中的一半，或圖（c）中每段金屬絲的電阻等于兩條同長金屬絲的并聯電阻。設圖（c）中AH的阻值為R1，HG的阻值為R2，易得 然后利用簡單串并聯得到A，C兩端間等效電阻為 其中 將式代人式，得化簡整理得RAC的一元二次方程代入，簡化為得出合理解 (2)當E，G兩端間加上電壓后，根據圖（a）網絡的對稱性，在HF連線上各節點的電勢相等。所以可把H，F兩節點拆開，改畫成網絡，如圖1010（d）所示。容易看出，圖（d）A，C間網絡與E，G間網絡在形式上相似，而且在線度上后

11、者是前者的倍，因此，這里表示正方形EFGH及其內部的網絡關于E，G兩端點的等效電阻。于是原網絡關于E，G兩端點的等效電阻RBG為 類型四、用數電壓法求解無窮網絡與含源含容電路的問題。 例4如圖1011所示的電路中，各電源的內阻均為零，其中B、C兩點與其右方由1.0的電阻和2. 0的電阻構成的無窮組合電路相接，求圖中10F的電容器與E點相接的極板上的電荷量。分析和解：這是一個電阻、電容混聯的題目，電路穩定后，把所有電容部分拆掉，而右邊是一線性無限電阻網絡利用常用的方法可求出其等效電阻這樣得到圖10一12所示電路，從而計算出回路電流，再利用數電壓法計算相應點電勢差，再進一步計算出電容器上的電量，圖

12、10-14中D點連接三個電容器的三個極板形成一個孤島，三個板上電荷的代數和一定為零設B、C右方無窮組合電路的等效電阻為RBC，則題圖中通有電流的電路可以簡化為圖1012中的電路。B、C右方的電路又可簡化為圖1013的電路，其中R B'C'是虛線右方電路的等效電阻。由于B'、C'右方的電路與B,C右方的電路結構相同，而且都是無窮組合電路，故有 由電阻串、并聯公式可得 由、兩式得解得 RBC=2.0 圖1012所示回路中的電流為 電流沿順時針方向設電路中三個電容器的電容分別為C1，C2和C3，各電容器極板上的電荷量分別為Q1、Q2、Q3，極性如圖1014所示。由于電

13、荷守恒，在虛線框內，三個極板上電荷的代數和應為零，即 A、E兩點間的電勢差 又有 B、E兩點間的電勢差 又有 根據、式并代人C1、C2和U之值后可得 即電容器C3與E點相接的極板帶負電，電荷量為1.3×10-4C。類型五、用疊加法處理含源含容電路的問題。 例5如圖1015所示，12根電阻均為R的電阻絲連接成正六面體框架，在2根電阻絲中連有電動勢分別為E1與E2的電源，另外5根電阻絲中連有5個相同的電容器C。設電源正、負極之間的距離可忽略，內阻也可忽略，且E12I0 R，E2I0 R試求：（1）圖中棱AB中的電流IAB；（2）圖中棱A'B'中電容器極板上的電量Q A&#

14、39;B'。分析和解：本題是一個典型的含源含容電路問題，而且電路中有兩個電源，這兩個電源既不是簡單的串聯，也不是簡單的并聯，所以不能簡單地用閉合電路的歐姆定律求解，而應分別看作只有一個電源的電路后再用疊加法求電路中的流通量（電流）的實際效果來解題，就可求出要求的相關量。(1)為計算IAB，可將圖中含電容的部分拆去，得出只含電阻和電源的電路，圖1016所示。在圖1016所示的電路中，運用電流迭加原理。只有E1存在時（即取走E2，因其無內阻，可短接）流過AB的電流為同理，只有E2存在時，流過AB的電流為故(2)將圖1016電路中的R替換為，I替換為Q，得出的電路如圖1017所示，這兩個電路

15、完全可以類比，因此相應的X1 Y1電壓、X2 Y2電壓以及AB（圖1017對應為A'B'）電壓均應相等，即得注意，圖1015中與電容有關的電路如圖1018所示，與圖1017電路有區別，少了兩個電容，但因圖1018中的、與圖1017沒有區別，故U A'B'也應沒有區別，于是仍有類型六、用對稱性和閉合電路歐姆定律求解無窮電阻網絡問題。 例9在空間有n個點，分別標記為點1，2. n任意兩點間均用一電阻為R的導線相連接，再把點1和點n接到電動勢為，內阻為r的電源上，求流過連接點1和點n的電阻R上的電流強度值。分析和解：根據線路的對稱性，將除1、n這兩點以外的任一點上的連

16、線和另一點上的連線對調，整個線路完全一樣，線路結構沒有改變，各線上電流、各點的電勢均無改變，可見，由點2到點n1這n2個點是完全等價的，其上的電勢必然完全相同，從而這些點之間的所有連線上都沒有電流，在考慮本題所問時，這些連線可以全部撤去。于是電流就簡化為圖1019(a)以及圖1019(b)。根據全電路歐姆定律 三、小試身手1已知12一8所示的電路中，電動勢，內阻， ，電阻，求電路中電流的分布。2由7個阻值均為r的電阻組成的網絡元如圖1021所示，由這種網絡元彼此連接形成的單向無限網絡如圖1022所示，試求圖1022中P、Q兩點之間的等效電阻RPQ。 3有一無限平面導體網絡，它由大小相同的正六邊

17、形網眼組成，如圖10一23所示所有六邊形每邊的電阻均為R0求： （1）結點a、b間的電阻 （2）如果有電流I從a點流入網絡，由g點流出網絡，那么流過de段電阻的電流Ide為多大。4計算下列問題（1）在電路圖1024中，R0為已知，求：R1等于多少時，ab間的等效電阻才等于R0？當通過電流時，ab兩端的電壓等于cd兩點間電壓的多少倍？（2）在電路圖1025中，求AB兩點間的等效電阻等于多少？5將200個電阻連成如圖10一26所示的電路，圖中各Pn（n=1，2，3，100）點是各支路中連接兩個電阻的導線上的點，所有導線的電阻都可忽略現將一個電動勢為、內阻為r0的電源接到任意兩個Pn點處，然后將一個

18、沒接電源的Pn點處切斷，發現流過電源的電流與沒切斷前一樣，則這200個電阻R1，R2， R100，r1，r2，r100應有怎樣的關系？此時導線AB和CD之間的電壓為多少？6如圖10一27所示，電路中的各電阻器的電阻均相同，即R1=R2=R3=R，各電池的電動勢1=，2=2，3=4。求通過每個電阻器以及電池的電流的大小和方向（電池的內阻不計）7在圖1028(a)中，電流表的讀數為I1 =20 Ma。如果電池x反向連接，電流增加到I2= 35 Ma。當電燈發生短路時，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖1028(b)所示 參考解答1解：（1）標定各段電路中各支路電流的方向（見圖10一20

19、）在一個復雜的電路中，電流的方向往往不能預先判斷，暫且隨意假定（2）設未知變量I1、I2等為了使未知變量的數目盡量減少，應充分利用基爾霍夫第一方程組例如在圖10一20中已設ABC支路的電流強度為I2，AEDC支路的電流強度為I1，在CA支路最好不再設一個變量I3，而根據基爾霍夫第一方程，直接設它為，這樣便將三個未知變量減少到兩個。(3)選擇獨立回路，寫出相應的基爾霍夫第二方程組譬如對于回路ABCDEA，我們有對于回路AEDCA，我們有 由于只有兩個未知變量，列出上面兩個方程就夠了。實際上我們也列不出第三個獨立的方程來，如果再對回路ABCA寫出一個方程，它對于上面已有的兩個方程來說不是獨立的（4

20、）將上列方程組經過整理后，得到將題目幾中給出的參量數值代入，從這個聯立方程組即可解得 ，從得到的結果看到，I10，I20這表明最初隨意假定的電流方向中，I1的方向是正確的，I2的實際方向與圖中所標的相反。2解：將k個網絡元組成的梯形網絡的等效電阻記為，再連一個網絡元后的等效電阻記為，其間關系如圖1所示，后者又可簡化為圖2所示，其間關系為，在圖2所示網絡中設電流I從A端流入，從B端流出，各支路電流如圖所示，據此可列出下述電壓方程 它們可等效為，由此解得，于是有將表達式代入后，可算得當時，、同趨向于，故有 由此可得符合物理要求的解為3解：（1）設有電流I從點流人，沿各個方向流向無限遠處，這時流過的電流為，流過cb的為；若這個I的電流又沿各個方向從無限遠處匯集于b點流出；那流過的電流為，流過cb的為將這兩種情況合起來考慮，由電流疊加原理可知 因此、間的等效電阻（2）如有電流I從a點流入網絡，考慮到對稱性，必有因為b、d兩點關于點對稱，所以同理，如有電流I從各個方向匯集到g點流出，應該有根據電流的疊加原理可