1、第六孝數(shù)列§6,2等差數(shù)列及其前九項(xiàng)和基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)|，知識(shí)梳理要蒯解深層突破1 .等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,且常用字母g表示.2 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是an=a+(n1)d.3 .等差中項(xiàng)如果A=ayb,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4 .等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,mCN*).(2)若an為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,nCN),則aki_ai三為上an.若an

2、是等差數(shù)列，公差為d,則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an,bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)列.-*(5)右an是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mCN)是公差為md的等差數(shù)列.5 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn=na1kSn=na1+n“26 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=2n2+(31-.數(shù)列an是等差數(shù)列？Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù)).7 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0,d<0,則Sn存在最大值；若a<0,d>0,則Sn存在最_小_值.【思考辨析】

3、判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或"X”）（1）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（X）（2）數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nCN*，都有2a/1=an+an+2.（,）（3）等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.（V）（4）數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).（x）數(shù)列an滿足an+ian=n,則數(shù)列an是等差數(shù)列.（x）（6）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=pn+q（其中p,q為常數(shù)），則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.（，）快速解答自查自糾考點(diǎn)自測(cè)1. （2015重慶）在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2,則a6等于

4、（）A.-1B.0C.1D.6答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6=2a4-a2=2X2-4=0,選B.2. （2014福建）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若為=2,0=12,則a6等于（）A.8B.10C.12D.14答案C一一,一_.3X2解析由題息知a1=2,由S3=3a1+一廠xd=12,解得d=2,所以a6=a+5d=2+5X2=12,故選C.3 .在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Si等于（）A.58B.88C.143D.176答案B無k11（a1+a11）11（a4+a8）解析Su=2=2=88.4 .設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3+a4+a5=12,則a1+

5、a2+a7等于（）A.14B.21C.28D.35答案C解析-a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,a+a2+a7=7a4=28.5.（2014北京）若等差數(shù)列an滿足a7+a8+ag>0,a7+ai0<0,則當(dāng)n=時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大.答案8解析因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，且a?+ag+ag=3a8>0,所以a8>0.又a?+a0=a8+ag<0,所以ag0.故當(dāng)n=8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大.題型分類深度剖析題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1（1）在數(shù)列an中，若ai=-2,且對(duì)任意的nCN*有2an+i=1+2an,則數(shù)列an前10項(xiàng)的和為（）55A.2B.109D

6、.4(2)已知在等差數(shù)列an中，a2=7,A. 100C.380答案(1)C(2)B解析(1)由2an+1=1+2an得an+1a4=15,則前10項(xiàng)和Sw等于()B. 210D.4001-an=2，,、一.1,一所以數(shù)列an是首項(xiàng)為一2,公差為2的等差數(shù)歹U,10X(10-115所以S0=10x(2)+彳攵2=|（2）因?yàn)閍2=7,a4=15,所以d=4,a1=3,一1一一.故S10=10X3+qX10X9X4=210.思維升華（1）等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，a

7、n,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想.費(fèi)蹤訓(xùn)篋1（1）（2015課標(biāo)全國(guó)n）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若aI+a3+a5=3,則S5等于（）A.5B.7C.9D.11SS(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S3-普=1,則數(shù)列an的公差是()321-A.2B.1C.2D.3答案(1)A(2)C解析.an為等差數(shù)列,.-.a1+a5=2a3,ai+aa+as=3a3=3,得a3=1,5a+a5,S5=2=5a3=5.故選A.=21，之寧，又S3*1,2n232ai+a3ai+a2:數(shù)歹Uan的公差為2.題型二等差數(shù)列的判定與證明3例2已知數(shù)列an中，a1=

8、3,5an=2一一(n>2,nCN)，數(shù)列bn滿足bn=一an1''''an(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說明理由.1證明因?yàn)閍n=2(n>2,an1nN*),bn="(nGN),一,1所以bn+1bn=an+11an1an=1.an1又b=一a1-125所以數(shù)列bn是以一2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知bn=n-|,貝Uan=1+=1+.bn2n-752設(shè)f(x)=1+,2x-7則f(x)在區(qū)間(一8,2)和(7，+8)上為減函數(shù).所以當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值一1,當(dāng)n=4時(shí)，an

9、取得最大值3.引申探究3一一一.一例2中，右條件變?yōu)閍1=-,nan+1=(n+1)an+n(n+1),探求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.5解由已知可得史上=an+1,n+1n一an+1a3即=1,又a=一,n+1n'5,a；是以十5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,包=3+(n-1)1=n-2,n55an=n2n.5思維升華等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后，可遞推得出an+2an+1=an+1an=anan1=an1an-2=a2a1,根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公

10、式法：得出an=pn+q后，得an+1an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn=An2+Bn后，根據(jù)Sn,an的關(guān)系，得出an,再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練2若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n-1+2a2;是()A.公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列1(2)在數(shù)列an中，右a1=1,a2=1an+1=+_(nN),則該數(shù)列的通項(xiàng)為()anan+2B.2an-n+1C.an=-2n+2D.a=3ann答案(1)C(2)A解析(1)-a2n1+2a2n(a2n3+2a2n2)=(

11、a2n1a2n3)+2(a2n-a2n2)=2+2X2=6,a2n-1+2a2n是公差為6的等差數(shù)列.(2)由已知式211日一=+可得an+1anan+2an+1anan+2an+1題型三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1等差數(shù)列的性質(zhì)例3(1)(2015廣東)在等差數(shù)列an中，若asH-34+35+35+a?=25,則a2+a8=(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sio=10,&。=30,則$0=答案(1)10(2)60解析(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以as+37=34+a6=a?+a8=2a5,33+34+35+35+37=535=25,即35=5,32+38=235=10.S1

12、0=10,&0=30,S20-S10=20,(2):&0,S20S10,S30S20成等差數(shù)列,且S3030=10+2X10=30,.,.S30=60.命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例4在等差數(shù)列3n中，已知31=20,前n項(xiàng)和為Sn,且&0=&5,求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解''31=20,S10=S15,10X20+10X915X142d=15X20+2d,dT.方法一由3n=20+(n1)X65n+J.得313=0.即當(dāng)nW12時(shí)，3n>0,當(dāng)n>14時(shí)，3n<0.當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最大值

13、,且最大值為S12=&3=12X20+12X11方法二Sn=20n+nn15、一352-6n+12525231252八.nCN*,.當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為&2=&3=130.方法二由S10=S15得311+312+313+314+315=0.5ai3=0,即ai3=0.當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為Si2=Si3=130.引申探究例4中，若條件"ai=20"改為ai=20,其他條件不變，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最小值,并求出最小值.解由S(0=Si5,得a1i+a2+a13+ai4+a15=0,a13=0.又ai=

14、-20,ai2<0,ai4>0,當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最小值，13(ai+ai3)最小值Si2=Si3=2=一130.思維升華(1)等差數(shù)列的性質(zhì):aman項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，am-an=(m-n)d?=d(mwn),其幾何息義是點(diǎn)(n,mnan),(m,am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則a. S2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i)；b. S2ni=(2n1)an.(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法：函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法

15、求解.鄰項(xiàng)變號(hào)法：am>0,a.當(dāng)ai>0,d<0時(shí)，滿足$的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；am+1w0amW0,b.當(dāng)ai<0,d>0時(shí)，滿足S的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.am+1>0跟蹤訓(xùn)練區(qū)(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=2,則當(dāng)a取最大值時(shí)，n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)設(shè)數(shù)列an是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S6=5a+10d,則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A.5B.6C.5或6D.11(3)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai=20,公差d=-2,則前n項(xiàng)和Sn的最大值為.答案(1)B(

16、2)C(3)110解析(1)依題意得2a6=4,2a7=2,a6=2>0,a?=1<0;又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大彳1時(shí)，n=6,選B.(2)由題意得S6=6a+15d=5a+10d,所以a6=0,故當(dāng)n=5或6時(shí)，S最大，選C.(3)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)a=20,公差d=2,代入求和公式得，n(n1n(n1Sn=na1+2d=20n2x2=-n2+21n=-in-21)+1),又因?yàn)閚CN*,所以n=10或n=11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110.高頻小考點(diǎn)6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值典例(1)在等差數(shù)

17、列an中，2(a+a3+a5)+3(a7+a9)=54,則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10等于()A.45B.60C.75D.90(2)在等差數(shù)列an中，Sio=100,§00=10,則Sn0=.(3)等差數(shù)列an中，已知%>0,a4+a7<0,則an的前n項(xiàng)和S的最大值為()A.S4B.S5C.S6D.S7思維點(diǎn)撥(1)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，可以通過求解基本量a1，d,代入前n項(xiàng)和公式計(jì)算，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)：a1+an=a2+an1=；(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，可以將Sn化為關(guān)于n的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值，也可以觀察等差數(shù)列的符號(hào)變化趨勢(shì)，找最后的非負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)

18、.解析(1)由題意得33+38=9,所以Sio=1O(ai+aio)10(a3+a8)10x9=45.(2)方法一設(shè)數(shù)列an的公差為d,首項(xiàng)為ai,10X910a什一2-d=100,則,100X99、100a1+2d=10,1099”而，解得d_11650.小、c110X109所以S10=110a+2d=-110.方法二因?yàn)?100-810=(an+a100x901-=-90,所以an+a100=12,所以8i10=(a1+a110尸110(a1+a100jx1102=-110.a5>0,所以|ae<0,a4+a7=a5+ae<0,(3)因?yàn)?a5>0,所以sn的最大值

19、為S5.答案(1)A(2)-110(3)B.-*溫馨提醒(1)利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和&的最值時(shí)，要注意到nCN;(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求8n,突出了整體思想，減少了運(yùn)算量.思想方法感悟提高方法與技巧1 .在解有關(guān)等差數(shù)列的基本量問題時(shí)，可通過列關(guān)于a1，d的方程組進(jìn)行求解.2 .證明等差數(shù)列要用定義；另外還可以用等差中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法，前n項(xiàng)和公式法判定個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.3 .等差數(shù)列性質(zhì)靈活使用，可以大大減少運(yùn)算量.4 .在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a+d,a+3d等，可視具體情況而定.失

20、誤與防范1 .當(dāng)公差dw0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d=0時(shí)，an為常數(shù).2 .公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘)1,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,Se=36,則a?+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27答案B解析由an是等差數(shù)列，得S3,S6-S3,S9S6為等差數(shù)列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S?-S6=2S6-3S3=45,故選B.3 .(2015北京)設(shè)an

21、是等差數(shù)列，下列Z論中正確的是()A.若a+a2>0,則az+a3>0B.若a+a3V0,則a+a2v0C.若0va1a2,則a2>寸a1a3D.若a1<0,則(a2a1)(a2a3)>0答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若a+a2>0,a?+a3=a+d+a2+d=(a+a?)+2d,由于d正負(fù)不確定，因而a2+a3符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a+a3<0,a+a2=a+a3d=(a1+a3)d,由于d正負(fù)不確定，因而a1+a2符號(hào)不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；若0<a1<a2,可知a1>0,d>0,a2>0,a3>0,所以

22、a2a1a3=(a1+d)2a1(a1+2d)=d2>0,所以a2>Ma1a3,故選項(xiàng)C正確；若a1<0,則(a2a1)(&a3)=d(-d)=d20,故選項(xiàng)D錯(cuò).3,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于()B.4A.3C.5D.6答案C解析數(shù)列an為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn,，數(shù)列日也為等差數(shù)列.,Sm1Sm+12Sm口口一23c+=,即+=0,m1m+1mm1m+1解得m=5,經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，故選C.4.數(shù)列an的首項(xiàng)為3,bn為等差數(shù)列，且bn=an+1an(nCN*),若b3=2,“=12,則a8等于()A.

23、0B.3C.8D.11答案B解析設(shè)bn的公差為d,b10-b3=7d=12-(-2)=14,，d=2.b3=2,-b1=b32d=24=6.，7X6.b+b2+b7=7b1+2d=7X(6)+21X2=0.又b1+b2+b7=(a2a)+(a3a2)+(a8a7)=a8a1=a83=0,，a8=3.故選B.55,已知數(shù)列an滿足an+1=an7,且a1=5,設(shè)an的刖n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn取得取大值的序號(hào)n的值為()A.7B.8C.7或8D.8或9答案C55解析由題意可知數(shù)列an是首項(xiàng)為5,公差為一7的等差數(shù)列，所以an=5-7(n-1)=40-5n,該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0,從第9

24、項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n=7或8,故選C.6.已知數(shù)列an中，ai=1且一=工+：(nCN),則ai0=.an+1an3'',1答案14解析由已知得+(10-1)X_1(2)解由(1)可得;7=2n,.$=；.Sn2n=1+3=4,aioai3故a10=4.7.已知遞增的等差數(shù)列an滿足a=1,a3=a24,則an=.答案2n-1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,-，a3=a2-4,1+2d=(1+d)2-4,解得d2=4,即d=上.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d=2.an=1+(n1)x2=2n1.8.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n10(nCN*),則團(tuán)|十國(guó)|+忸詞=

25、.答案130解析由an=2n10(nCN)知2口是以一8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an=2n-10>0得n>5,nW5時(shí)，anW0,當(dāng)n>5時(shí),an>0,|a1|+|a2|+|a5|=(a+a2+a3+a4)+(as+a6+a5)=20+110=130.19,若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnS11=0(n>2),a1=2.1求證：官械等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.證明當(dāng)n>2時(shí)，由an+2SnSn1=。，11一信SnSn1=-2SnSn-1,所以u(píng)=2,SnSn1又;='=2,故g是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.S1a1S

26、n當(dāng)n>2時(shí),an=SnSn12n1n一1一n=二2n12nn112nn1,1,當(dāng)n=1時(shí)，a1=2不適合上式.,12，n=1,故an=1一,n封2.2nn110 .等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0,2=&，則當(dāng)n為多少時(shí)，&最大?解方法一由Ss=S11得3a1+3y2d=11a1十10d,則d=2213d2從而Sn=2n+-氤-7)2+御,a1又a1>0,所以一13<0.故當(dāng)n=7時(shí)，Sn取大.方法二由于&=an2+bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由$=&，可知Sn=an2+bn的圖象關(guān)于n3+11一一一、,一a1-2=7對(duì)稱.由

27、方法一可知a=-13<0,故當(dāng)n=7時(shí)，Sn取大.方法三由方法一可知，d=2a1.an>。，要使&最大，則有S即+1W0,ai+(nT禽0,即(22lai+nt壽戶0,解得6.5<n<7.5,故當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大.方法四由S3=&1,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a+7d)=0,故a7+a8=0,又由a1>0,Ss=Si可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大.B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：20分鐘）11 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，（n+1）SnnSh+i（neN*）.若竺v1,則（）a7A.Sn的最大值是S8B.s的最小值是&C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7答案DSnSn+1n（a1+anX（n+1fa+an+11解析由條件得溝V，即%,所以anVan+1,所以等差數(shù)列annn+12n2（n+1）as為遞增數(shù)列.又a-<1,所以aa>0,a7<0,即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0,第8項(xiàng)大于零，所以&的最小值為Sz,故選D.3.12 .設(shè)等差數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為Sn,右a1=3,ak+1=a，Sk=-12,則正整數(shù)k=答案13321斛析Sk+1=Sk+ak+1