1、會計學1第七章動態第七章動態(dngti)規劃規劃第一頁，共76頁。動態規劃的起源： 1951年,(美)數學家R.Bellman等人，根據多階段序貫決策問題的特點，提出了著名的“最優性原理”。將多階段決策問題轉變為一系列的互相聯系的單階段決策問題，然后，逐個階段予以解決，最后再形成總體解決。從而創建了求解優化問題的新方法動態規劃。1957年，他的名著動態規劃出版。最優性原理: 作為整個過程的最優策略具有這樣的性質：即無論過去的狀態和決策如何，對前面的決策所形成的狀態而言，余下的諸決策必須構成(guchng)最優子策略。簡言之，最優策略的子策略總是最優的。2第1頁/共75頁第二頁，共76頁。動態

2、決策(juc)問題： 決策(juc)過程具有階段性和時序性(與時間有關)的決策(juc)問題。即決策(juc)過程可劃分為明顯的階段。動態決策(juc)問題分類： 1、按數據給出的形式分為： 離散型動態決策(juc)問題。 連續型動態決策(juc)問題。 2、按決策(juc)過程演變的性質分為： 確定型動態決策(juc)問題。 隨機型動態決策(juc)問題。 3第2頁/共75頁第三頁，共76頁。例1 生產與存貯問題要求確定一個逐月的生產計劃，在滿足需求條件下，使一年的生產與存貯費用之和最小？ 例2 投資決策問題某公司現有資金Q萬元，在今后(jnhu)5年內考慮給A，B，C，D 4個項目投資？例

3、3 設備更新問題現企業要決定一臺設備未來8年的更新計劃，問應在哪些年更新設備可使總費用最小？ 4第3頁/共75頁第四頁，共76頁。例例4 基建投資基建投資(tu z)問題問題 一家公司有三個工廠，每個廠都需要進行擴建。公司用于擴一家公司有三個工廠，每個廠都需要進行擴建。公司用于擴建的資金總共為建的資金總共為7萬元。各個廠的投資萬元。各個廠的投資(tu z)方案及擴建后預期方案及擴建后預期可獲得的利潤如表所示可獲得的利潤如表所示(單位：萬元單位：萬元)。 現在公司(n s)要確定時各廠投資多少才能使公司(n s)的總利潤達到最大？ 廠名廠名方案方案1方案方案2方案方案3方案方案4投資數投資數利潤

4、利潤投資數投資數利潤利潤投資數投資數利潤利潤投資數投資數利潤利潤一廠一廠001528510二廠二廠001339411三廠三廠00273114135第4頁/共75頁第五頁，共76頁。例例5 貨船裝運問題貨船裝運問題 有四種貨物準備裝到一艘貨船上。第有四種貨物準備裝到一艘貨船上。第i(i12，3，4)種種貨物的每一箱重量是貨物的每一箱重量是wi(單位：噸單位：噸)，其價值，其價值(jizh)是是vi(單位：單位：干元干元)，如表所示。，如表所示。 假定這艘貨船(hu chun)的總載重量是10噸，現在要確定這四種貨物應各裝幾箱才能使裝載貨物的總價值達到最大？ 貨物i單位重量wi單位價值vi1242

5、123474356第5頁/共75頁第六頁，共76頁。例例6 最短路程問題最短路程問題(wnt) 假定從假定從A地到地到E地要鋪設一條管道，其中要經過若干個中地要鋪設一條管道，其中要經過若干個中間點間點(如圖如圖)。 圖中兩點之間連線上的數字(shz)表示兩地間的距離，現在要選擇一條鋪設管道的路線使總長度最短。 AB1B2B3C1C2C3D1D2 E3677695238354369437第6頁/共75頁第七頁，共76頁。1、階段：將所給問題(wnt)的過程，按時間或空間特征分解成若干互相聯系的階段，以便按次序去求每階段的解，常用字母k表示階段變量。動態(dngti)規劃模型要用到的概念： (1)

6、階段; (2)狀態; (3)決策和策略; (4)狀態轉移; (5)指標函數。8第7頁/共75頁第八頁，共76頁。2、狀態(zhungti)：各階段開始時的客觀條件叫做狀態(zhungti)。狀態(zhungti)變量：描述各階段狀態(zhungti)的變量，用sk表示第k階段的狀態(zhungti)變量。狀態(zhungti)集合：狀態(zhungti)變量的取值集合，用Sk表示。一階段(jidun)：S1A二階段(jidun)：S2B1,B2,B3三階段(jidun)：S3C1,C2,C3四階段(jidun)：S4D1,D2AB1B2B3C1C2C3D1D2 E367769523835436

7、9439第8頁/共75頁第九頁，共76頁。3、決策：當各段的狀態取定以后，就可以作出不同的決定(judng)（或選擇），從而確定下一階段的狀態，這種決定(judng)稱為決策。決策變量：表示決策的變量，稱為決策變量，常用uk(sk)表示第k階段當狀態為sk時的決策變量。允許決策集合：決策變量的取值往往限制在一定范圍內，我們稱此范圍為允許決策集合，用Dk(sk)表示第k階段從狀態sk出發的允許決策集合。D2( B1)=C1,C2 D2( B2)=C1,C2,C3如狀態為B1時選擇(xunz)C2，可表示為：u2(B1)=C210第9頁/共75頁第十頁，共76頁。策略：各段決策確定后，整個問題的決

8、策序列就構成一個策略，用p1,nu1(s1),u2(s2),.un(sn)表示。允許(ynx)策略集合：對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許(ynx)策略集合，記作P1,n，使整個問題達到最優效果的策略就是最優策略。AB1B2B3C1C2C3D1D2 E367769523835436943p1,4B1,C1, D1,E二、基本概念和基本原理11第10頁/共75頁第十一頁，共76頁。 4、狀態轉移方程：動態規劃(guhu)中本階段的狀態往往是上一階段狀態和上一階段的決策結果。第k段的狀態sk，本階段決策為uk(sk)，則第k+1段的狀態sk+1也就完全確定，它們的關系可用公式表示：

9、sk+1=Tk(sk,uk)sk+1= uk(sk)AB1B2B3C1C2C3D1D2 E367769523835436943二、基本概念和基本原理12第11頁/共75頁第十二頁，共76頁。 5、指標函數：用于衡量所選定策略優劣的數量指標。 它分為階段指標函數和過程指標函數。 階段指標函數是指第k段，從狀態sk出發，采取決策uk時的效益，用d(sk,uk)表示(biosh)。d(B1,C2) 一個n段決策過程，從1到n叫作問題的原過程，對于任意一個給定的k(1k n)，從第k段到第n段的過程稱為原過程的一個后部子過程。 V1,n(s1,p1,n) 表示(biosh)初始狀態為s1采用策略p1,

10、n時原過程的指標函數值;Vk,n(sk,pk,n)表示(biosh)在第k段，狀態為sk采用策略pk,n時,后部子過程的指標函數值。 最優指標函數記為fk(sk)：表示(biosh)從第k段狀態sk采用最優策略到過程終止時的最佳效益值。二、基本概念和基本原理13第12頁/共75頁第十三頁，共76頁。最簡單的方法窮舉法。共有多少條路徑，依次計算并比較。動態(dngti)規劃方法本方法是從過程的最后一段開始，用逆序遞推方法求解，逐步求出各段各點到終點的最短路線，最后求得起始點到終點的最短路線。二、基本概念和基本原理14第13頁/共75頁第十四頁，共76頁。251121410610413111239

11、6581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2練習(linx)：求從A到E的最短路徑(ljng)。二、基本概念和基本原理15第14頁/共75頁第十五頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f5(E)=0二、基本概念和基本原理16第15頁/共75頁第十六頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D1)=5f5(E)=0505)E(f)ED(d)D(f5114二、基本概念和基本原理17第16頁/共75頁第十七頁，共76頁。2511214106104131112

12、396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f4(D1)=5202)E(f)ED(d)D(f5224二、基本概念和基本原理18第17頁/共75頁第十八頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C1)=8f4(D1)=51124211411138118min2953min)(),()(),(min)(DCDfDCdDfDCdCf最優決策二、基本概念和基本原理19第18頁/共75頁第十九頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1

13、C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C2)=7f4(D1)=5f3(C1)=82224221412237711min2556min)(),()(),(min)(DCDfDCdDfDCdCf最優決策二、基本概念和基本原理20第19頁/共75頁第二十頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f3(C1)=8f3(C2)=7232423141333121213min21058min)(),()(),(min)(DCDfDCdDfDCdCf最優

14、決策二、基本概念和基本原理21第20頁/共75頁第二十一頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B1)=20f3(C2)=7f3(C1)=8113331232113111220222120min1210714812min)(),()(),()(),(min)(CBCfCBdCfCBdCfCBdBf最優決策二、基本概念和基本原理22第21頁/共75頁第二十二頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2

15、f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B2)=14f3(C2)=7f3(C1)=8f2(B1)=21123332232213122214161714min12471086min)(),()(),()(),(min)(CBCfCBdCfCBdCfCBdBf最優決策二、基本概念和基本原理23第22頁/共75頁第二十三頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f2(B1)=21f2(B2)=1

16、4233333232313133219231921min1211712813min)(),()(),()(),(min)(CBCfCBdCfCBdCfCBdBf最優決策二、基本概念和基本原理24第23頁/共75頁第二十四頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f1(A)=19f2(B2)=14f2(B1)=212323222121119201923min191145212min)(),()(),()(),(min)(

17、BABfBAdBfBAdBfBAdAf最優決策二、基本概念和基本原理25第24頁/共75頁第二十五頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f1(A)=19f2(B2)=14f2(B1)=21狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti)A （ A，B2） B2二、基本概念和基本原理26第25頁/共75頁第二

18、十六頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f1(A)=19f2(B2)=14f2(B1)=21狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti)A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1二、基本概念和基本原理27第26頁/共75頁第二十七頁，共76頁。251121410610413111239658105

19、2C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f1(A)=19f2(B2)=14f2(B1)=21狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti)A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1 （C1，D1） D1二、基本概念和基本原理28第27頁/共75頁第二十八頁，共76頁。2511214106104131112396581052C1C3D1AB1B3B2D2EC2f4(D2)

20、=2f5(E)=0f3(C3)=12f4(D1)=5f2(B3)=19f3(C2)=7f3(C1)=8f1(A)=19f2(B2)=14f2(B1)=21狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti) 最優決策 狀態(zhungti)A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1 （C1，D1） D1 （D1，E） E從A到E的最短路徑(ljng)為19，路線為AB 2C1 D1 E 二、基本概念和基本原理29第28頁/共75頁第二十九頁，共76頁。可以看出(kn ch)，在求解的各階段，都利用了第k段和第k+1段的

21、如下關系:0)(1 , 2 , 3 , 4 , 5)(),(min)(6611sfksfusdsfkkkkkkk這種遞推關系稱為動態規劃的基本方程(fngchng)，第二個式子稱為邊界條件。這種在圖上直接計算的方法稱為標號法。二、基本概念和基本原理30第29頁/共75頁第三十頁，共76頁。動態規劃標號法較之窮舉法的優點: 第一，容易算出; 其次，動態規劃的計算結果不僅得到了從起始點到最終點的最短路線，而且得到了中間(zhngjin)段任一點到最終點的最短路線 。二、基本概念和基本原理31第30頁/共75頁第三十一頁，共76頁。動態規劃(guhu)方法的基本思想： (1)將多階段決策過程劃分階段

22、，恰當地選取狀態變量、決策變量及定義最優指標函數從而把問題化成一族同類型的子問題，然后逐個求解。 (2)求解時從邊界條件開始，逆(或順)過程行進方向，逐段遞推尋優。在每一個子問題求解時，都要使用它前面已求出的子問題的最優結果，最后一個子問題的最優解，就是整個問題的最優解。 (3)動態規劃(guhu)方法是既把當前一段與未來各段分開，又把當前效益和未來效益結合起來考慮的一種最優化方法，因此每段的最優決策選取是從全局考慮的，與該段的最優選擇一般是不同的。二、基本概念和基本原理32第31頁/共75頁第三十二頁，共76頁。（一）動態規劃模型的建立（一）動態規劃模型的建立（二）逆序解法與順序解法（二）逆

23、序解法與順序解法（三）基本方程（三）基本方程(fngchng)分段求解時的幾種常用算法分段求解時的幾種常用算法33第32頁/共75頁第三十三頁，共76頁。 （一）動態規劃模型的建立建立動態規劃的模型關鍵，在于識別問題的多階段持征，將問題分解成為可用遞推關系式聯系起來的若干子問題，或者說正確地建立具體問題的基本方程。而正確建立基本遞推關系方程的關鍵又在于正確選擇狀態變量，保證各階段的狀您變量具有遞推的狀態轉移(zhuny)關系 sk+1=Tk(sk,uk)下面以資源分配問題為例介紹動態規劃的建模條件及解法。34第33頁/共75頁第三十四頁，共76頁。 例5 某公司有資金10萬元若投資于項目i(i

24、1，2，3）的投資額為xi時，其收益分別為g1(x1)4x1，g2(x2)9x2，g3(x3)2x32，問應如何(rh)分配投資數額才能使總收益最大?可以人為地賦予時段，把問題轉化為一個3段決策過程。關鍵問題是如何正確選擇(xunz)狀態變量，使各后部子過程之間具有遞進關系。)3 , 2 , 1(010. .294max3212321ixxxxtsxxxzi35第34頁/共75頁第三十五頁，共76頁。22112xuussK=1K=2第k段時所以，建立動態規劃模型(mxng)：階段k：本例中取1，2，3狀態變量sk：第k段可以投資于第k項到第3個項目的資金數決策變量xk：決定給第k個項目投資的資

25、金數。狀態轉移方程：sk+1sk-xk最優指標函數fk(sk)：當可投資金數為sk時，投資第k-3項所得的最大收益(shuy)數。基本方程為：11110 xuskkkkkxuuss1133 ,)( 函數 指標kiiikxgV0)(1 , 2, 3)()(max)(44110sfksfxgsfkkkksxkkk36第35頁/共75頁第三十六頁，共76頁。 建立(jinl)動態規劃模型的要點1、分析題意，識別問題的多階段特性，按時間或空間的先后順序適當地劃分為滿足遞推關系的若干階段。2、正確地選擇狀態變量，使其具備兩個必要待征： (1)可知性； (2)能夠確切地描述過程的演變且滿足無后效性。3、根

26、據狀態變量與決策變量的含義，正確寫出狀態轉移方程sk+1=Tk(sk,uk)或轉移規則。4、根據題意明確指標函數vk,n最優指標函數fk(sk)以及k階段指標vk(sk,uk)的含義，并正確列出最優指標函數的遞推關系及邊界條件(即基本方程)。37第36頁/共75頁第三十七頁，共76頁。（二）逆序解法與順序解法如果尋優的方向與多階段決策過程的實際行進(xngjn)方向相反，從最后一段開始計算逐段前推，求得全過程的最優策略，稱為逆序解法。順序解法的尋優方向同于過程的行進(xngjn)方向，計算時從第一段開始逐段向后遞推，計算后一階段要用到前一階段的求優結果，最后一段計算的結果就是全過程的最優結果。

27、38第37頁/共75頁第三十八頁，共76頁。第一步：k=0狀態(zhungti)：s1Af0(A)0求解(qi ji)步驟39第38頁/共75頁第三十九頁，共76頁。第二步：k=1 狀態(zhungti)：B1 B2 u1*(B1)=Au1*(B2)=Af1(B1)4f2(B2)5(4)(5)40第39頁/共75頁第四十頁，共76頁。第三步：k=2 狀態(zhungti)：C1 C2 C3 C4u2*(C1)=B1u2*(C2)=B1u2*(C3)=B1f2(C1)6f2(C2)7f2(C3)10u2*(C4)=B2f2(C4)12(4)(5)(6)(7)(10)(12)41第40頁/共75頁

28、第四十一頁，共76頁。(4)(5)(6)(7)(10)(12)第四步：k=3 狀態(zhungti)：D1 D2 D3u3*(D1)=C1或C2u3*(D2)=C2u3*(D3)=C3f3(D1)11f3(D2)12f3(D3)14(11)(12)(14)42第41頁/共75頁第四十二頁，共76頁。第五步：k=4 狀態(zhungti)：E1 E2 u4*(E1)=D1u4*(E2)=D2f4(E1)14f4(E2)14(4)(5)(6)(7)(10)(12)(11)(12)(14)(14)(14)43第42頁/共75頁第四十三頁，共76頁。第六步：k=5 狀態(zhungti)：F u5*(

29、F)=E2f5(F)17(6)(4)(5)(7)(10)(12)(11)(12)(14)(14)(14)(17)即從A到F的最短距離為17。最優路線(lxin)為：AB1C2D2E2F44第43頁/共75頁第四十四頁，共76頁。逆序解法逆序解法(ji f)與順序解法與順序解法(ji f)建模的不同點建模的不同點1狀態轉移(zhuny)方式不同sk+1=Tk(sk,uk) sk=Tk(sk+1,uk) 1狀態s1決策u1效益v1(s1,u1)s2kskukvk(sk,uk)Sk+1nsnunvn(sn,un)Sn+11狀態s1決策u1效益v1(s2,u1)s2kskukvk(sk+1,uk)Sk

30、+1nsnunvn(sn+1,un)Sn+145第44頁/共75頁第四十五頁，共76頁。2指標函數的定義不同 逆序解法中，我們定義最優指標函數fk(sk)表示第k段從狀態sk出發，到終點后部子過程(guchng)最優效益值，f1(s1)是整體最優函數值。 順序解法中，定義最優指標函數fk(sk+1)表示第k段時從起點到狀態sk+1的前部子過程(guchng)最優效益值。fn(sn+1)是整體最優函數值。46第45頁/共75頁第四十六頁，共76頁。3，基本(jbn)方程形式不同(1)當指標函數為階段指標和形式逆序解法則基本(jbn)方程為：則基本(jbn)方程為：順序解法nkjjjjnkusvV

31、),( ,kjjjjkusvV11, 1),( 0)(1 , 2,.,1,)(),()(1111nnkkkkkDukksfnnksfusvoptsfkk0)(,.,2 , 1)(),()(10111sfnksfusvoptsfkkkkkDukkkk47第46頁/共75頁第四十七頁，共76頁。(2)當指標(zhbio)函數為階段指標(zhbio)積形式逆序解法基本(jbn)方程為：基本(jbn)方程為：順序解法nkjjjjnkusvV),( ,kjjjjkusvV11, 1),( 1)(1 , 2,.,1,)(),()(1111nnkkkkkDukksfnnksfusvoptsfkk1)(,.,

32、2 , 1)(),()(10111sfnksfusvoptsfkkkkkDukkkk48第47頁/共75頁第四十八頁，共76頁。1離散變量(binling)的分段窮舉算法 動態規劃模型中的狀態變量(binling)與決策變量(binling)若被限定只能取離散值，則可采用分段窮舉法。如前面例4的求解方法就是分段窮舉算法，由于每段的狀態變量(binling)和決策變量(binling)離散取值個數較少，所以動態規劃的窮舉法要比一般的窮舉法有效。用分段窮舉法求最優指標函數值時，最重要的是正確確定每段狀態變量(binling)取值范圍和允許決策集合的范圍。（三）基本方程(fngchng)分段求解時的

33、幾種常用算法49第48頁/共75頁第四十九頁，共76頁。2連續變量的解法 當動態規劃模型中狀態變量與決策變量為連續變量，就要根據方程的具體情況靈活選取求解方法，如經典解析方法、線性規劃方法、非線性規劃法或其它數值計算方法等。如在例5中，狀態變量與決策變量均可取連續值而不是(b shi)離散值，所以每階段求優時不能用窮舉方法處理。下面分別用逆序解法求解。三、動態(dngti)規劃模型的建立與求解50第49頁/共75頁第五十頁，共76頁。 例5： 某公司有資金10萬元若投資(tu z)于項目i(i1，2，3）的投資(tu z)額為xi時，其收益分別為g1(x1)4x1,g2(x2)9x2,g3(x

34、3)2x32，問應如何分配投資(tu z)數額才能使總收益最大?)3 , 2 , 1(010. .294max3212321ixxxxtsxxxzi三、動態規劃(guhu)模型的建立與求解51第50頁/共75頁第五十一頁，共76頁。其動態規劃模型已建立如下：階段(jidun)k：本例中取1，2，3狀態變量sk：第k段可以投資于第k項到第3個項目的資金數決策變量xk：決定給第k個項目投資的資金數。狀態轉移方程：sk+1sk-xk最優指標函數fk(sk)：當可投資金數為sk時，投資第k-3項所得(su d)的最大收益數。基本方程為：33 ,)( 函數 指標kiiikxgV0)(1 , 2, 3)(

35、)(max)(44110sfksfxgsfkkkksxkkk52第51頁/共75頁第五十二頁，共76頁。k3時2max)(2303333xsfsx 233*32s，sx取得極大值時當232303322max)(33sxsfsx233*32s，sx取得極大值時當53第52頁/共75頁第五十三頁，共76頁。k2時)(29max29max )(9max)(222202320332022222222xsxsxsfxsfsxsxsx2222222)(29),(xsxxsh令是極小值點9422 sx22222229)(2)0(0ssfsf。，s端點取得極大值只可能在2/9)()0(2222ssff得當2*

36、22222*22222),()0(2/90),()0(2/9sxsf，fsxsf，fs時當時當54第53頁/共75頁第五十四頁，共76頁。k1時 )(4max)(22101111sfxsfsx2222*29)(ss，fsx時當111100111100195-9max9-94max)10(11sxsxsxfxx2*22222*22222),()0(2/90),()0(2/9sxsf，fsxsf，fs時當時當10010112xss。，s舍去矛盾與2/9255第54頁/共75頁第五十五頁，共76頁。k1時 )(4max)(22101111sfxsfsx2222*22)(0ss，fx 時當)-(24m

37、ax)10(211110011xsxfx)-(24),(2111111xsxxsh令是極小點111 sx40)10(200)0(10011ff。，端點取得極大值只可能在10010*112xss0*1x所以2/92s滿足條件1010010, 03*3*223*2s；xxssx所以最優投資方案為全部資金投于第3個項目(xingm)，可得最大收益200萬元。56第55頁/共75頁第五十六頁，共76頁。四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用（一）背包(bibo)問題 背包問題的一般提法是：一位旅行者攜帶背包去登山、已知他所能承受的背包重量限度為a千克，現有(xin yu)n種物品可供

38、他選擇裝入背包。第i種物品的單件重量為ai干克、其價值(可以是表明本物品對登山的重要性的數量指標)是攜帶數量xi的函數ci(xi) (i1，2，n)，問旅行者應如何選擇攜帶各種物品的件數，以使總價值最大？ 其他如車、船、飛機、潛艇、人造衛星等工具的最優裝載問題，機床加工中零件最優加工、下料問題、投資決策問題，均等同于背包問題。57第56頁/共75頁第五十七頁，共76頁。背包問題背包問題(wnt)的動態規劃模的動態規劃模型型1階段k：將可裝入物品按1，2，.，n排序，共劃分為n個階段，即k1，2，.，n。2狀態變量sk+1：在第k段開始時，背包中允許裝入前k種物品的總重量。3決策變量xk：裝入第

39、k種物品的件數。4狀態轉移方程：sk=sk+1-akxk5允許決策集合為： Dk(sk+1)xk|oxk sk+1/ak，xk為整數6最優指標函數 fk(sk+1)表示在背包中允許裝入物品的總重量不超過sk+1千克，采用最優策略只裝前k種物品時的最大使用(shyng)價值。7順序遞推方程：0)(n1,2,.,k )()(max)(1011/,.,1 , 01sfxasfxcsfkkkkkkasrkkkkk四、在經濟管理四、在經濟管理(gunl)中的應用中的應用58第57頁/共75頁第五十八頁，共76頁。例: 有一輛最大貨運量為10噸的卡車(kch)，用以裝載3種貨物每種貨物的單位重量及相應單位

40、價值如表所示。應如何裝載可使總價值最大?設第i種貨物裝載的件數(jin sh)為xi(i1，2，3)，則問題可表為貨物編號I123單位重量（t）345單位價值ci456) 3 , 2 , 1(為整數010543. .654max321321ixxxxtsxxxzi四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用59第58頁/共75頁第五十九頁，共76頁。K=1 3/ 44max)(213/021121sxsfxsx為整數s2012345678910f1(s2)0004448881212x1*00011122233s2f1(s2)x1*0)(n1,2,.,k )()(max)(1011/

41、,.,1 , 01sfxasfxcsfkkkkkkasxkkkkk建立動態(dngti)規劃模型，用列表法求解四、在經濟管理四、在經濟管理(gunl)中的應中的應用用60第59頁/共75頁第六十頁，共76頁。K=2)4(5max)(23124/032232xsfxsfxsx為整數s30123 45678910 x200000 10 10 10 10 1 20 1 20 1 2c2+f200044 54 58 58 98 9 1012 9 1012 13 10f2(s3)0004 5 58 9 1012 13x2*0000 1 10 1 20 1s3x2c2+f2f2(s3)x2*四、在經濟四、

42、在經濟(jngj)管理中的應管理中的應用用61第60頁/共75頁第六十一頁，共76頁。K=3)510(6max)10(3232, 1 , 033xfxfx)0(12),5(6),10(max222fff012, 56 ,13max13所以(suy)x3*=0s3=s4-5x3=10-5*0=10所以(suy)x2*=1s2=s3-4x2=10-4*1=6所以(suy)x1*=2全部策略為：x1*=2 x2*=1 x3*=0，最大價值為13。四、在經濟管理中的應用四、在經濟管理中的應用62第61頁/共75頁第六十二頁，共76頁。（二）生產經營(jngyng)問題生產與存貯問題 在生產和經營管理中

43、經常遇到如何合理地安排生產計劃、采購計劃以及倉庫(cngk)的存貨計劃和銷售計劃，使總效益最高的問題。四、在經濟管理四、在經濟管理(gunl)中的應中的應用用63第62頁/共75頁第六十三頁，共76頁。 例：某工廠生產并銷售某種產品，已知今后四個月市場需求預測如表，又每月生產單位(dnwi)產品費用為： 每月庫存j單位產品的費用為E(j)0.5j(干元)，該廠最大庫存容量為3單位，每月最大生產能力為6單位，計劃開始和計劃期末庫存量都是零。試制定(zhdng)四個月的生產計劃，在滿足用戶需求條件下總費用最小。假設第j+1個月的庫存量是第j個月可銷售量與該月用戶需求量之差；而第i個月的可銷售量是本

44、月初庫存量與產量之和。 i（月）1234gi（需求）2324 )6,.,2 , 1(3)0(0 )(jjjjC四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用64第63頁/共75頁第六十四頁，共76頁。0)(1,2,3,4k )()()(min)(551sfgusfsEucsfkkkkkkkk(1)階段：每個月為一個階段，k1，2，3，4。(2)狀態變量:sk為第k個月初的庫存量。(3)決策變量:uk為第k個月的生產(shngchn)量。(4)狀態轉移方程：sk+1=sk+uk-gk(5)最優指標函數：fk(sk)表示第k月狀態為sk時，采用最佳策略生產(shngchn)，從本月到計劃

45、結束（第4個月末）的生產(shngchn)與存貯最低費用。(6)基本方程：解：建立動態規劃(guhu)模型四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用65第64頁/共75頁第六十五頁，共76頁。K=4 u4=4-s4s40123f4(s4)76.565.5u4(s4)4321 )()(min)(4444sEucsfs4f4(s4)u4(s4)四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應管理中的應用用66第65頁/共75頁第六十六頁，共76頁。s30123u3(s3)2 3 4 51 2 3 40 1 2 3 0 1 2C+E+f412 12.5 13 13.511.5 12 12.5

46、 138 11.5 12 12.58 11.5 12f3(s3)1211.588u3 *(s3)2100K=3 s3=0,1,2,3 )()()(min)(33343333gusfsEucsf且為整數)6 ,5 , 6min(2 , 0max3333ssuss3u3(s3)C+E+f4f3(s3)u3 *(s3)四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用67第66頁/共75頁第六十七頁，共76頁。s20123u2(s2)3 4 5 62 3 4 51 2 3 40 1 2 3C+E+f318 18.5 16 1717.5 18 15.5 16.517 17.5 15 1613.5

47、 17 14.5 15.5f2(s2)1615.51513.5u2 *(s2)5430K=2 s2=0,1,2,3 )()()(min)(22232222gusfsEucsf且為整數)9 ,6 , 6min(3 , 0max2233ssuss2u2(s2)C+E+f3f2(s2)u2 *(s2)四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用68第67頁/共75頁第六十八頁，共76頁。s10u1(s1)2345C+f22121.52221.5f1(s1)21u1 *(s1)2K=1 s1=0 )()()(min)(11121111gusfsEucsf且為整數521us1u1(s1)C+

48、f2f1(s1)u1 *(s1) 可得最佳(zu ji)生產計劃為：第一個月生產2單位，第二個月生產5單位，第三個月不生產，第四個月生產4單位。四、在經濟四、在經濟(jngj)管理中的應用管理中的應用69第68頁/共75頁第六十九頁，共76頁。采購采購(cigu)與銷售問題與銷售問題 某商店在未來的某商店在未來的4個月里個月里,準備用它的一個倉庫來專門經銷某種商準備用它的一個倉庫來專門經銷某種商品品,倉庫最大容量能貯存這種商品倉庫最大容量能貯存這種商品1000單位單位.假定該商店每月只能出賣假定該商店每月只能出賣倉庫現有的貨倉庫現有的貨,當商店在某月購貨時當商店在某月購貨時,下月初才能到貨下月初才能到貨.預測該商品未來預測該商品未來四個月的買賣價格如表四個月的買賣價格如表7-12所示所示,假定商店在假定商店在1月開