1、第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性第第 3 章章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性從本講起，我們開始第三章的學習從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布n 維隨機變量及其分布維隨機變量及其分布它是第二章內容的推廣它是第二章內容的推廣.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 到現在為止，我們只討論了一維隨機變量到現在為止，我們只討論了一維隨機變量 及其分布及其分布. 但有些隨機現象用一個隨機變量來但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述. 3.1 隨機向量及其聯合分布

2、隨機向量及其聯合分布第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 為了研究某一地區為了研究某一地區 6 歲歲兒童的發育狀況，對這一地區兒童的發育狀況，對這一地區的兒童進行抽查的兒童進行抽查.對這一地區的每一個對這一地區的每一個6 歲兒童歲兒童都能觀測到他的身高都能觀測到他的身高H和體重和體重W，則則 (H, W )是二維隨機向量是二維隨機向量.實例實例1身高身高H和體重和體重W 都是隨機變量，都是隨機變量，第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性在平面坐標系中，一門大炮向目標發射在平面坐標系中，一門大炮向目標發射一發炮彈一發炮彈.炮彈落點位置由它的橫坐標炮彈落點位置由它的橫坐標

3、X和縱坐標和縱坐標Y來確定來確定.X,Y 都是隨機變量，稱都是隨機變量，稱(X,Y )是二維隨機是二維隨機向量向量.實例實例2第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性實例實例3X,Y,Z 都是隨機變量，則稱都是隨機變量，則稱(X,Y,Z )是三是三維隨機向量維隨機向量.在三維空間中，飛機的重心在三維空間中，飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量在空中的位置是由三個隨機變量 (三個坐標三個坐標X,Y,Z ）來確定的）來確定的.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性說明說明 二維隨機變量二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質不僅與的性質不僅與 X 、Y 有關有關,而且還依賴于

4、這兩個隨機變量而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系的相互關系.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 一般地，一般地， 若若X1, X2, ，Xn都是隨機變量，都是隨機變量，則稱則稱 X = (X1, X2, ，Xn) 為為n維隨機向量，維隨機向量，簡稱隨機向量簡稱隨機向量. 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性對隨機事件對隨機事件 以后用以后用，nAAABA21,ABBA表表示示.121niinAAAA 表表示示，第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性一、二維隨機向量及其一、二維隨機向量及其聯合概率分布函數聯合概率分布函數1. 對于隨機向量對于隨機向量(

5、X,Y),稱稱),(),(yYxXP yxF 為為(X,Y)的聯合概率分布函數，簡稱聯合分布的聯合概率分布函數，簡稱聯合分布.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性,),( 坐坐標標看看成成是是平平面面上上隨隨機機點點的的若若將將YX.),( ),( ),(無窮矩形區域內的概率無窮矩形區域內的概率為頂點的左下方為頂點的左下方是隨機點落在以點是隨機點落在以點處的函數值就處的函數值就在點在點則分布函數則分布函數yxyxyxF),(),(yYxXP yxF xoy ),(yx,yYxX 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.),()1(的的不不減減函函數數和和是是變變量量y

6、xyxF).,(),(,1212yxFyxFyyx 時時當當對對于于任任意意固固定定的的2. 分布函數的性質分布函數的性質),(),(,1212yxFyxFxxy 時時當當對對于于任任意意固固定定的的第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性, 1),(0)2( yxF, y對于任意固定的對于任意固定的0),(lim),( yxFyFx且且, x對于任意固定的對于任意固定的0),(lim),( yxFxFy1),(lim),( yxFFyx第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性(3) 對于對于x 和和y，F(x, y)都是右連續的都是右連續的，即對即對任意的實數任意的實數x

7、0和和y0，均有均有 ),(),(lim00yxFyxFxx ),(),(lim00yxFyxFyy 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性3. 二維隨機向量的邊緣分布函數二維隨機向量的邊緣分布函數.),()(),( 的的邊邊緣緣分分布布函函數數和和關關于于關關于于為為的的分分布布函函數數的的分分布布函函數數分分別別稱稱YXYXyFYxFXYX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性?,),(的分布的分布如何確定如何確定的分布的分布已知已知XYX, ),(),(yYxXPyxF )()(xXPxFX )(xXP ),( YxXP),( xF)(xFX .),(的的邊邊緣緣

8、分分布布函函數數關關于于XYX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性?,),(的分布的分布如何確定如何確定的分布的分布已知已知YYX, ),(),(yYxXPyxF )()(yYPyFY )(yYP ),(yYXP ),(yF )(yFY .),(的的邊邊緣緣分分布布函函數數關關于于YYX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性二、相互獨立的隨機變量二、相互獨立的隨機變量).()(),(yFxFyxFYX ,獨獨立立與與事事件件yYxX 則稱隨機變量則稱隨機變量X,Y獨立獨立. ),()(),(yYPxXPyYxXP 如果對任何實數如果對任何實數 x, y，定義定義1.1

9、隨機變量隨機變量X,Y獨立獨立 的充分必要條件是對的充分必要條件是對任何實數任何實數x,y， 或等價地或等價地 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性聯合分布和邊緣分布的關系聯合分布和邊緣分布的關系由聯合分布可以確定邊緣分布由聯合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯合分布但由邊緣分布一般不能確定聯合分布.兩個隨機變量兩個隨機變量相互相互獨立時，它們的聯合獨立時，它們的聯合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積. 在兩個隨機變量相互獨立的情況下，由在兩個隨機變量相互獨立的情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯合分布邊緣分布可以唯一確定聯合分布.第三

10、章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性下面將兩個隨機變量相互獨立的定義推廣下面將兩個隨機變量相互獨立的定義推廣到多個隨機變量的情況到多個隨機變量的情況.定義定義1.2有有若對于所有的若對于所有的nxxx,)1(21.,21是是相相互互獨獨立立的的則則稱稱nXXX)()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP .,21是隨機變量是隨機變量，設設nXXX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性,21相相互互獨獨立立如如果果對對任任何何nXXXn此時稱此時稱Xj是獨立序列是獨立序列.就就稱稱隨隨機機變變量量序序列列,21njXXXX .相相互互獨獨立立第

11、三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性容易理解，容易理解，是來自相互是來自相互當當nXXX,21隨隨機機變變量量時時，獨獨立立進進行行的的隨隨機機試試驗驗的的它們相互獨立它們相互獨立 .常數與任何隨機變量相互獨立常數與任何隨機變量相互獨立.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性定理定理1.1事事件件對對數數集集,)1(21nAAA 2211nnAXAXAX ，.,21相相互互獨獨立立設設nXXX相互獨立相互獨立.)(,),(),(),(,),(),()2(2221112211nnnnnXgYXgYXgYxgxgxg 隨隨機機變變量量對對于于一一元元函函數數相互獨立相互獨立

12、.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性nkkkkXXXXXXxxxk,),(),()3(212121 隨隨機機變變量量元元函函數數對對于于相互獨立相互獨立.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性三、三、 n 維隨機向量維隨機向量為為任任意意實實數數nxxx,21,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 為為 X = (X1, X2, , Xn ) 的聯合分布函數的聯合分布函數, 簡稱簡稱聯合分布聯合分布.定義定義1.3設設X = (X1, X2, , Xn) 是是n維隨機向量，維隨機向量，稱稱 上的上的n元函數元函數nR第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量

13、及其獨立性).,(),(2121nnxxxFXXXn函函數數為為的的聯聯合合分分布布維維隨隨機機向向量量設設是是件件相相互互獨獨立立的的充充分分必必要要條條則則nXXX,21).()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn ., 2 , 1,)(niXxFiiXi 的的邊邊緣緣分分布布函函數數為為設設第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 3.2 離散型隨機向量及其分布離散型隨機向量及其分布一般地，如果一般地，如果X,Y都是離散型隨機變量，都是離散型隨機變量，就稱就稱(X,Y)是二維離散型隨機向量是二維離散型隨機向量.一、二維一、二維離散型隨機向量及其分布離散型隨機

14、向量及其分布二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量(X,Y)全部可能取到全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無窮多對的不相同的值是有限對或可列無窮多對. 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性., 2 , 1, 2 , 1),(),( jiyxYXji可可能能取取的的值值為為的的所所有有設設二二維維離離散散型型隨隨機機向向量量., 2 , 1, 2 , 1, jiyYxXPpjiij記記稱上式為隨機向量稱上式為隨機向量 ( X,Y ) 的聯合分布律，也的聯合分布律，也稱為概率分布稱為概率分布.若隨機向量若隨機向量 ( X,Y ) 的的概率分布的規律的的概率分布的規律性不強，或者不能

15、用上式表示時，還可以用性不強，或者不能用上式表示時，還可以用表格的形式表示如下表格的形式表示如下.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性二維隨機向量二維隨機向量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為的分布律也可表示為XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性聯合分布律的性聯合分布律的性質質., 2 , 1, 0)1( jipji. 1)2(, jijip., 2 , 1,),( jipyYxXPYXijji的的概概率率分分布布為為設設離離散散型型隨隨機機向向量量第三章第三章 隨機向量及其

16、獨立性隨機向量及其獨立性 二維離散型隨機向量的聯合分布律全面二維離散型隨機向量的聯合分布律全面地反映了向量地反映了向量(X,Y)的取值及其概率規律的取值及其概率規律. 那么要問那么要問:二者之間有什么關系呢二者之間有什么關系呢?而單個隨機變量而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率也具有自己的概率分布分布.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性., 2 , 1, 2 , 1),(),( jiyxYXji可可能能取取的的值值為為的的所所有有設設二二維維離離散散型型隨隨機機向向量量., 2 , 1, 2 , 1, jiyYxXPpjiji的的概概率率分分布布為為隨隨機機變變量量 XiixX

17、Pp , 2 , 1,11 ipyyxXPjijjji，第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性, 2 , 1,11 jpyYxXPiijiji，jjyYPp .),(的的邊邊緣緣分分布布為為的的分分布布和和的的分分布布稱稱YXpYpXji的的概概率率分分布布為為隨隨機機變變量量 Y第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性., 2 , 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.),(. 1 , 4 , 3 , 2 ,

18、1 分分布布與與邊邊緣緣分分布布的的聯聯合合試試求求中中等等可可能能地地取取一一整整數數值值在在另另一一個個隨隨機機變變量量等等可可能能地地取取值值四四個個整整數數中中在在設設隨隨機機變變量量YXXYX解解:,的的取取值值情情況況是是jYiX 例例1, 4 , 3 , 2 , 1 i.的的正正整整數數取取不不大大于于 ij第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性由乘法公式得由乘法公式得,jYiXPpij iXjYPiXP i141 , 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的概概率率分分布布為為于于是是),(YX解解第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性XY12341

19、234418112116108112116100121161000161下面求邊緣分布下面求邊緣分布第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性XY12341234418112116108112116100121161000161jpip16148748134825141414141第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性二、離散型隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量的獨立性定理定理2.1

20、.,jijijiyYPxXPyYxXPyx 對對任任何何件是件是相互獨立的充分必要條相互獨立的充分必要條和和則則YX., 2 , 1, 2 , 1),(),( jiyxYXji可可能能取取的的值值為為的的所所有有設設二二維維離離散散型型隨隨機機向向量量., 2 , 1, 2 , 1, jipppjiij即即第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性兩個離散型隨機變量兩個離散型隨機變量相互相互獨立時，獨立時，它們的聯合分布律等于兩個邊緣分布律它們的聯合分布律等于兩個邊緣分布律的乘積的乘積 .第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1

21、分分布布與與邊邊緣緣分分布布的的聯聯合合試試求求中中等等可可能能地地取取一一整整數數值值在在另另一一個個隨隨機機變變量量等等可可能能地地取取值值四四個個整整數數中中在在設設隨隨機機變變量量YXXYX例例1（續）（續）判斷判斷X,Y是否相互獨立是否相互獨立?第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性XY12341234418112116108112116100121161000161jpip16148748134825141414141X與與Y不相互獨立不相互獨立.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性三、三、n維離散型隨機向量維離散型隨機向量一般地，如果一般地，如果X1,

22、X2, , Xn 都是離散型都是離散型隨機變量，就稱隨機變量，就稱X = (X1, X2, , Xn) 是是n維離散維離散型隨機向量型隨機向量.如果如果X所有可能不相同的取值是所有可能不相同的取值是 (x(j1 ), x(j2 ), , x(jn ), j1 , j2 , ,jn =1,2,.則稱則稱 p( j1 , j2 , ,jn )=P (X1 =x(j1 ), X2 = x(j2 ), , Xn = x(jn )是是X的聯合概率分布的聯合概率分布.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性111)(321knkknpppC,)1 (11111knkknppC., 2 , 1 ,

23、 01nk上式就是上式就是X1的概率分布的概率分布.11kXP 由由X1的概率分布可知的概率分布可知).,(11pnBX., 2 , 1 , 0,)1 (22222222nkppCkXPknkkn同理同理).,(22pnBX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性一、聯合概率密度一、聯合概率密度 3.3連續型隨機向量連續型隨機向量及其聯合密度及其聯合密度第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性,| ),( ),(,),( 22dycbxayxDRyxfRYX 長長方方形形子子集集上上的的所所有有使使對對的的非非負負可可積積函函數數上上如如果果有有是是隨隨機機向向量量設設有有

24、 DdxdyyxfDYXP),(),( ,),(是是連連續續型型隨隨機機變變量量則則稱稱YX.,),()( 或或聯聯合合密密度度的的聯聯合合概概率率密密度度是是稱稱YXx,yf定義定義3.1第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.),(),(,| ),(,),(),(,),( DdxdyyxfDYXPdycbxayxDYXyxfYX的概率密度的概率密度是是是連續型隨機向量是連續型隨機向量設設xyoD按照上述定義，按照上述定義， 連續型隨機變量有概率連續型隨機變量有概率密度密度，沒有概率密度的隨機變量不是連續型，沒有概率密度的隨機變量不是連續型隨機變量隨機變量.第三章第三章 隨機向量

25、及其獨立性隨機向量及其獨立性聯合概率密度的性質聯合概率密度的性質.),(),( 概率密度概率密度的的是連續型隨機向量是連續型隨機向量設設YXyxf. 1),(),()3(22 RYXPdxdyyxfR BdxdyyxfBYXPBR),(),( ,)2(2有有上上的的所所有有子子區區域域對對. 0),()1( yxf第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 其其它它,010 , 10,4),(yxxyyxf.2341,210 YXP求求解：解：10 , 10),( yxyxD設設xyo 2341,210),(yxyxGG41

26、2321例例111D第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 其其它它,010 , 10,4),(yxxyyxf)2341,210( YXP),(GYXP Gdxdyf(x,y) GDdxdyxy4 dyxydx 2141014 dyyxdx 21410122)1611(41 6415 xyoG41232111D第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性為了計算重積分方便，我們介紹下面為了計算重積分方便，我們介紹下面的定理的定理. .第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 定理）定理）（Fubini定理定理 3.1 nDnnndxdxdxxxxDxxxRD2121

27、21 ),( ),(, 非非負負函函數數或或滿滿足足上上的的是是的的子子區區域域是是設設. ),( 2121交交換換，且且積積分分的的次次序序可可以以可可以以進進行行累累次次積積分分運運算算重重積積分分上上的的則則對對區區域域nDndxdxdxxxxnD 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性設隨機向量設隨機向量(X,Y)具有聯合密度具有聯合密度 其其它它,00, 0,),(2yxkeyxfyx).1()3();()2(;)1( YXPXYPk常常數數求求解解例例2.0, 0),( yxyxD設設第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 其其它它,00, 0,),(2yx

28、keyxfyx.0, 0),( yxyxD設設. 1),(2 Rdxdyyxfdxdykeyx 0021dyedxekyx 002)(21002 yxeek121 k2k . 2 kxyo第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性),( )2(1xyyxG 設設)(XYP xyoxy ),(1GYXP 1),(Gdxdyyxf 122GDyxdxdyedxdyeexyx)2(002 dxdyeexyx)2(002 032)22(dxeexx321 31第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性1),( )3(2 yxyxG設設1 YXP),(2GYXP xyo1 yx 222G

29、Dyxdxdyexyeexyxd)d2(10102 xyeexyxd)d2(10102 xeexxd)1 (2(1102 1012d)22(xeexx122221eee1221ee 2dd),(Gyxyxf第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性二、聯合分布與聯合密度二、聯合分布與聯合密度連續型隨機變量連續型隨機變量(X,Y)，其概率密度，其概率密度與分布函數的關系如下：與分布函數的關系如下：.),(),()1(dudvvufyxFxy . ),(),( ,),(),(2)2yxfyxyxFyxyxf 則則有有連連續續在在若若第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性定定義義

30、有有連連續續的的分分布布函函數數設設),(),( yxFYX 其其他他，當當該該混混合合偏偏導導數數存存在在 0),(),(2yxyxFyxf.),(),(, 1),( 2的的概概率率密密度度是是則則如如果果YXyxfdxdyyxfR 定理定理3.2第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性三、邊緣密度三、邊緣密度.),(),(,),(),( 邊邊緣緣密密度度的的或或各各自自的的概概率率密密度度為為稱稱的的概概率率密密度度是是隨隨機機向向量量設設YXyxfYXYXyxf，有有對對任任何何ba 由概率密度的定義知由概率密度的定義知.)()( dyx,yfxfX badxdyx,yfYbX

31、aPbXaP)( ),()(第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 dyx,yfxfX)()(同理，同理， Y的邊緣密度為的邊緣密度為 dxx,yfyfY)()(X的邊緣密度為的邊緣密度為第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性Ox2xy yxy . )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求邊緣概率密度求邊緣概率密度其他其他具有聯合概率密度具有聯合概率密度和和設隨機變量設隨機變量 ) 1 , 1 (例例3第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性解解yyxfxfXd),()( ,10時時當當 x)(xfX xxy2d6).(62xx ,10時

32、時或或當當 xx. 0)( xfX ., 010),(6)(2其其他他xxxxfXOx2xy yxy ) 1 , 1 ( ., 0, 6),(2其他其他xyxyxf第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性xyxfyfYd),()( ,10時時或或當當 yy. 0)( yfYOx2xy yxy ) 1 , 1 (,10時時當當 y yyYxyfd6)().(6yy ., 010),(6)(其他其他yyyyfY第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 在求連續型隨機向量的邊緣密度時，在求連續型隨機向量的邊緣密度時，往往要求聯合密度在某區域上的積分往往要求聯合密度在某區域上的積分

33、. 當聯當聯合密度函數是分片表示的時候，在計算積合密度函數是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限分時應特別注意積分限 .第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性四、連續型隨機變量的獨立性四、連續型隨機變量的獨立性).(),(,yfxfYXYX分分別別具具有有概概率率密密度度設設這里這里“幾乎處處成立幾乎處處成立”的含義是：在平的含義是：在平面上除去面積為面上除去面積為0的集合外，處處成立的集合外，處處成立.定理定理3.3.)()(),( ),(),(,幾幾乎乎處處處處成成立立，且且有有聯聯合合密密度度隨隨機機向向量量獨獨立立的的充充分分必必要要條條件件是是則則yfxfyxfy

34、xfYXYXYX 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性設設(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 00, 0,),()(yxxeyxfyxxyo例例4并判斷并判斷X與與Y是否相互獨立是否相互獨立.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 其其它它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx 其它其它， 00,)(yeyfyY幾幾乎乎處處處處成成立立，)()(),(yfxfyxfYX .相相互互獨獨立立和和YX 其它其它， 00, )(xxexfxX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性1. 二維均勻分布二維均勻分布2. 二維正態分布二維正態分布五、兩

35、個常用的分布五、兩個常用的分布下面介紹兩個常用的二維隨機變量下面介紹兩個常用的二維隨機變量.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性均勻分布均勻分布 設設D為平面上的區域為平面上的區域, 面積面積), 0()( Dm若若 (X,Y)的聯合密度為的聯合密度為則稱則稱(X,Y)在在D上服從均勻分布上服從均勻分布. 其它其它，的面積的面積,0),(1),(DyxDyxf第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性圖形圖形 其它其它，的面積的面積,0),(1),(DyxDyxf均勻分布的概率密度均勻分布的概率密度第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 向平面上有界區域向平面

36、上有界區域D上任投一質點，若質上任投一質點，若質點落在點落在D內任一小區域內的概率與小區域的面內任一小區域內的概率與小區域的面積成正比，而與該小區域的形狀及位置無關積成正比，而與該小區域的形狀及位置無關. 則質點的坐標則質點的坐標 (X,Y) 在在 D 上服從均勻分布上服從均勻分布.均勻分布的幾何背景均勻分布的幾何背景第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性例例5.48)2(2222 rYXrP求求 設設(X,Y)在圓域在圓域D=(x, y)| x2+y2 r 2上服上服從均勻分布從均勻分布.(1) 判斷判斷X與與Y是否相互獨立是否相互獨立.解解xyox2+y2=r 2 其其它它,

37、0),( ,/1),(2Dyxryxf 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 dyyxfxfX),()(時時，當當rxr xyox2+y2=r 2 其其它它， 0,2)(222rxrrxrxfX 2222rxr 222221)(xrxrXdyrxf 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性),()(),(yfxfyxfDYX 上上在在區區域域.不不相相互互獨獨立立和和YX 其它其它， 0,2)(222rxrrxrxfX 其它其它， 0,2)(222ryrryryfY 其其它它, 0),( ,/1),(2Dyxryxf xyox2+y2=r 2D第三章第三章 隨機向量及其

38、獨立性隨機向量及其獨立性xyo22rr2rx2+y2=r 2(2) 48),(2222ryxryxG設設 482222rYXrP Gdxdyyxf),( Gdxdyr21 81 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性2 維正態分布維正態分布的的概概率率密密度度為為設設二二維維隨隨機機變變量量),(YX 2222212121212221)()(2)()1(21exp 121),(yyxxyxf . 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常數數其其中中第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.,),(2121正正態態分分布布的的二二維維服服從從參參數數為為稱稱YX).

39、(),(222121 ；，；，記記做做NYX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性二維正態分布和其邊緣分布的關系二維正態分布和其邊緣分布的關系單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性則則若若),;,(),(222121 NYX重要結論重要結論),(),()1(222211 NYNX即二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正即二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布態分布,. 并且都不依賴于參數并且都不依賴于參數. 0)2( 件是件是相互獨立的充分必要條相互獨立的充分必要條，YX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機

40、向量及其獨立性六、六、n維連續型隨機變量維連續型隨機變量定義定義3.2,2 , 1,| ),(),(,),(212121nibxaxxxDRxxxfRXXXXiiinnnnn 的的任任何何子子立立方方體體使使得得對對上上的的非非負負可可積積函函數數有有如如果果是是隨隨機機向向量量設設第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性nDndxdxdxxxxfDXP2121 ),( )( 有有立立方方體體非非負負可可積積函函數數,2 , 1,| ),(),(2121nibxaxxxDxxxfiiinn .),(21概概率率密密度度聯聯合合密密度度或或的的聯聯合合概概率率密密度度，簡簡稱稱是是稱稱

41、是是連連續續型型隨隨機機向向量量，并并就就稱稱XxxxfXn第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性有有的的任任何何子子集集對對,BRnnBndxdxdxxxxfBXP2121 ),( )( 聯合密度的性質聯合密度的性質特別地特別地1),(2121nRndxdxdxxxxfn ),(21nXXXX 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性定理定理3.4件件相互獨立的充分必要條相互獨立的充分必要條則則有概率密度有概率密度隨機變量隨機變量設對每個設對每個niXiXXXxfXniii, ).(),1( 21 .),()()()( ),(21212121nnnXXXnRxxxxfx

42、fxfXXXXn 其中其中有聯合密度有聯合密度是隨機向量是隨機向量第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性3.4隨機向量的函數的分布隨機向量的函數的分布 設設(X, Y)是二維隨機變量是二維隨機變量,z = (x, y)是一個已是一個已知的二元函數知的二元函數,如果當如果當(X, Y)取值為取值為(x, y)時時, 隨隨機變機變Z量取值為量取值為z = (x, y),則則Z稱是二維隨機變稱是二維隨機變量的函數量的函數,記作記作Z = (X, Y)問題問題: 已知已知(X, Y)的分布的分布, 求求Z = (X, Y)的分布的分布.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性一、

43、離散型隨機向量函數的分布一、離散型隨機向量函數的分布 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性解解Z=X+Y的所有可能的取值是的所有可能的取值是0,1,2,nYXPnZP., 2 , 1 , 0),(, 2 , 1 , 0),(,的的分分布布律律求求隨隨機機變變量量分分布布律律分分別別為為，其其是是相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量已已知知YXZmmqmYPkkpkXPYX 例例1第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性nkknYkXP0,nkknYPkXP0,.2,1 ,0, )()(0nknqkpnZPnk,.2 , 1 , 0, )()(0nknqkpnkX, Y

44、相互獨立相互獨立nYXPnZP nkknYkXP0,第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性證明證明).(),(),(,2121 YXYXYX則則，是是相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量設設由前面的例題可知由前面的例題可知, 2 , 1 , 0,!)(, 2 , 1 , 0,!)(2121 mmemYPkkekXPmk ,.2 , 1 , 0 , )()()(0 nknYPkXPnYXPnk例例2第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性)!(!)(21021knekenYXPknknk )!(!210)(21knkeknknk knknkknknne 210)()!( !

45、121 ,)(!121)(21nne ,.2 , 1 , 0n)(21 YX第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性例例3設設X和和Y相互獨立，相互獨立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布. 我們可以按照前面的方法來求解，也可以我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法換一種方法.第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性解解. iiXmin的的次次數數是是次次試試驗驗，其其中中試試驗驗成成功功個個同同學學做做了了如如果果第第驗驗同同學學重重復復進進行行同同一一個個試試下下每每個個個個同同學學，在在相相同同的的條條件件設設全全班班有有.,21

46、次次獨獨立立重重復復試試驗驗進進行行了了全全班班同同學學一一共共是是設設每每次次試試驗驗成成功功的的概概率率nmmmmp Z試試驗驗成成功功總總次次數數).,(pmB.Z 21的的概概率率分分布布的的總總次次數數計計算算全全班班同同學學試試驗驗成成功功nXXX 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性則則相相互互獨獨立立服服從從二二項項分分布布如如果果,., 2 , 1),( 21niiXXXnipmBX 從問題的背景出發得到的結果更直接，從問題的背景出發得到的結果更直接，更容易理解更容易理解. 更一般地，更一般地，).,(21pmmmBZn 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量

47、及其獨立性二、連續型隨機變量函數的概率分布二、連續型隨機變量函數的概率分布1. 已知已知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ若若Z為連續型隨機變量為連續型隨機變量,則在則在f(z)的連續點處的連續點處)( )(zFzfZZ zyxdxdyyxf),(),( 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性.),0(), 0( , 222的概率密度的概率密度求求且均服從且均服從相互獨立相互獨立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)

48、(), 0( yyfNYY例例4X,Y相互獨立相互獨立第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性).(),(zfzFZZ設設Z的分布函數和概率密度分別為的分布函數和概率密度分別為0)(,0 zFzZ時時當當22YXZ )(,0zZPzFzZ 時時當當22zYXP zyxdxdyyxf22),(第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性,0時時當當 z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx zrdrdrr 2exp21222222exp1z第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 其它其它 , 00,2exp1)(22zzzFZ 其

49、它其它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分布分布的瑞利的瑞利服從參數為服從參數為RayleighZ 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性例例5已知已知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對對任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+

50、Y的概率的概率密度為密度為dxxzxfzfZ),()( 第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推論推論 設設(X,Y)關于關于X,Y的邊緣密度分別為的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 若若X和和Y獨立獨立, 則則 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(兩個隨機變量和的概率密度的一般公式兩個隨機變量和的概率密度的一般公式第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性已知已知X, Y 相互獨立且均服從標準正態分布，相互獨立且均服從標準正態分布，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解2221)(),1 , 0(xXexfNX 2221)(),1 , 0(yYeyfNY dxxzfxfzfYXZ)()()(例例6第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性 dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx 2)(222 21 dteetz 22 214 2142ze 22)2(2 221ze z,第三章第三章 隨機向量及其獨立性隨機向量及其獨立性若若X和和Y 獨立獨立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),則則Z=X+Y服從正態分布服從正態分布N(0,2).).,( ,)