1、2.2 直接證明與直接證明與間接證明間接證明2.2.2 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.1.直接證明的兩種基本證法：直接證明的兩種基本證法： 綜合法和分析法綜合法和分析法2.2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因3.3.在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法通常用分析法尋求思路尋求思路，再由綜合法，再由綜合法書寫過程書寫過程綜合法綜合法已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論分析法分析法結(jié)論結(jié)論 已知條件已知條件 （1 1）如果有）如果有5 5只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有3 3只只 鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？

2、鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？（2 2）A A、B B、C C三個(gè)人，三個(gè)人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C 說說A A、B B都撒謊都撒謊, ,則則C C在撒謊嗎？為什么？在撒謊嗎？為什么？分析分析: :假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則A A、B B都撒謊都撒謊. . 由由A A撒謊撒謊, , 知知B B沒有沒有撒謊撒謊. . 那么那么假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立, ,則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .這與這與B B撒謊矛盾撒謊矛盾. .思考？思考？ 把這種不是直接從原命題的條件逐步把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法

3、稱為推得命題成立的證明方法稱為間接證明間接證明注：反證法注：反證法是最常見的是最常見的間接證法間接證法， 同一法同一法也是一種間接證法也是一種間接證法. . 一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），下，結(jié)論不成立）， 經(jīng)過正確的推理，經(jīng)過正確的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立， 這樣的這樣的證明方法叫做證明方法叫做反證法反證法。理論理論反證法的證明過程：反證法的證明過程：否定結(jié)論否定結(jié)論推出矛盾推出矛盾肯定結(jié)論，肯定結(jié)論，即分三個(gè)步驟：即分三個(gè)步驟：反

4、設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真反設(shè)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；假設(shè)命題的結(jié)論不成立；存真存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而 肯定原結(jié)論成立。肯定原結(jié)論成立。歸謬歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理， 得出得出矛盾矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：用反證法證明命題的過程用框圖表示為： 肯定條件肯定條件否定結(jié)論否定結(jié)論導(dǎo)導(dǎo) 致致邏輯矛盾邏輯矛盾反設(shè)反設(shè) 不成立不成立結(jié)論結(jié)論成立成立試一試試一試: 證明：假設(shè)待證的結(jié)論不成立，即證明：假設(shè)待證的結(jié)論不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 則則A+ B+ C180 這與這與

5、 _ 相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，故所求證的結(jié)論成立不成立，故所求證的結(jié)論成立 “三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180 ”假設(shè)假設(shè)ABC用反證法證明用反證法證明(填空填空):在三角形的內(nèi)角中在三角形的內(nèi)角中,至少有一個(gè)角大于或等于至少有一個(gè)角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的內(nèi)角（如圖）的內(nèi)角（如圖）求證求證:A , B , C中至少有一個(gè)角中至少有一個(gè)角大于或等于大于或等于60 例例1 1：已知：一個(gè)整數(shù)的平方能被已知：一個(gè)整數(shù)的平方能被2 2整除，整除， 求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 則則a

6、a是奇數(shù)，不妨設(shè)是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2n+1(na=2n+1(n是整數(shù)是整數(shù)) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇數(shù)，與已知矛盾。是奇數(shù)，與已知矛盾。 假設(shè)不成立，所以假設(shè)不成立，所以a a是偶數(shù)。是偶數(shù)。注：注：直接證明難以下手的命題直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，改變其思維方向，從進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。從進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例題例題所以假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題所以假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題成立成立ba 證明證明: 假設(shè)假設(shè)a不大于不大于b則則ab或或ab

7、=因?yàn)橐驗(yàn)?,0ab所以所以abab(1)若0,y0 x0,y0，x+y2x+y2，求證：求證： 中至少有一個(gè)小于中至少有一個(gè)小于2 2。xyyx1,1分析：分析：所謂至少有一個(gè)所謂至少有一個(gè),就是不可能沒有就是不可能沒有,要證要證“至少有一個(gè)至少有一個(gè)”只要證明它的反面只要證明它的反面“所有都所有都”不不成立即可成立即可.注注:“至少至少”、“至多至多” 型命題型命題常用反證法常用反證法 唐吉訶德悖論 小說唐吉訶德里描寫過一個(gè)國(guó)家它有一條奇怪的法律：每一個(gè)旅游者都要回答一個(gè)問題。問，你來這里做什么？如果旅游者回答對(duì)了。一切都好辦。如果回答錯(cuò)了，他就要被絞死。 一天，有個(gè)旅游者回答 旅游者：我來這里是要被絞死。 這時(shí)，衛(wèi)兵慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯(cuò)了，就得受絞刑?？墒?，如果他們絞死他，他就說對(duì)了，就不應(yīng)該絞死他。 為了做出決斷，旅游者被送到國(guó)王那里?？嗫嘞肓撕镁?，國(guó)王才說 國(guó)王：不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律。我們還是寬大為懷算了，讓這個(gè)人自由吧。趣味趣味數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí)1.1.求證求證: :若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù), ,則這個(gè)則這個(gè)數(shù)也是偶