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文檔簡(jiǎn)介
1、.第1章 數(shù)值計(jì)算根本概念1.1 概述關(guān)鍵詞:CFD、微分方程à離散方程、連續(xù)解à離散點(diǎn)上的解1.1.1 CFD數(shù)值流體力學(xué)一般稱為CFDComputational Fluid Dynamics, 為流體力學(xué)的一個(gè)重要支柱。CFD即利用離散方法discretization method, 將微分方程簡(jiǎn)化成代數(shù)方程式,通過計(jì)算機(jī)近似求解流體微分方程的方法。它的解是一些小的空間和時(shí)間上的區(qū)域上的解,稱為離散點(diǎn)。CFD 同理論、實(shí)驗(yàn)并列。被人注目的理由之一是,它為計(jì)算機(jī)利用的力學(xué)計(jì)算力學(xué)的一面,特別是它為超級(jí)計(jì)算機(jī)的重要利用領(lǐng)域之一。此外,利用高度的圖形處理,可將其結(jié)果表示非常美
2、麗的圖象,對(duì)年輕人非常有魅力。因此,流體的數(shù)值模擬,在許許多多的領(lǐng)域內(nèi)得到了利用。有許多人是在對(duì)數(shù)值計(jì)算方法理解的根底上,自己編程進(jìn)展模擬。也有相當(dāng)一部分人是用商用程序進(jìn)展模擬。CFD包括面很廣泛,從采用良好的工程設(shè)計(jì)方法,到詳細(xì)求解Navier-Stokes方程;從簡(jiǎn)單流動(dòng)到非常復(fù)雜的流動(dòng)。簡(jiǎn)單的可能在幾秒時(shí)間內(nèi)就能完成,復(fù)雜的需要在最大的超級(jí)計(jì)算機(jī)上用幾百個(gè)小時(shí)才能完成。完美的CFD應(yīng)滿足以下條件:· 適用任何問題· 計(jì)算速度快· 能得到精度高且可信度高的結(jié)果· 程序簡(jiǎn)單,誰(shuí)都能簡(jiǎn)單使用· 記憶容量少其實(shí)不然,以上的要求互相矛盾,至今無(wú)一程
3、序能滿足。提醒:連續(xù)介質(zhì)àNavier-Stokes, 非連續(xù)介質(zhì)àBoltzman1.1.2 微分方程的求解方法將連續(xù)的數(shù)據(jù)用離散的數(shù)據(jù)來(lái)記錄,稱為離散化discretization。在離散的點(diǎn)之間用光滑曲線通過內(nèi)插來(lái)連接。這樣,即使對(duì)于假的離散數(shù)據(jù),只要在頭腦內(nèi)想象成連續(xù)的函數(shù)即可認(rèn)為在對(duì)微分方程進(jìn)展求解。這樣,只要如今的時(shí)間和空間,就可根據(jù)這些離散數(shù)據(jù)對(duì)想象進(jìn)展預(yù)測(cè)。數(shù)值流體力學(xué)的問題一般是要理解每時(shí)每刻流場(chǎng)的變化過程。即對(duì)支配方程式進(jìn)展積分求解。實(shí)際上是求空間離散點(diǎn)網(wǎng)格上的壓力、速度等物理量。圖示:離散化、控制方程、壓力,速度,溫度光滑曲線1.2 數(shù)值求解方法的根本
4、組成關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型、方程離散化方法、坐標(biāo)、空間離散、網(wǎng)絡(luò)、求解方法、收斂準(zhǔn)那么1.2.1 數(shù)學(xué)模型1. 控制方程類型提醒:主導(dǎo)方程、支配方程根本偏微分方程的形式: 2D提醒:微分形式和積分形式 11 提醒:空間:x, y 時(shí)間空間:t,x; t,x,y對(duì)于求解域內(nèi)的任一點(diǎn)xo, yo· 雙曲型方程: , 過該點(diǎn)有兩條實(shí)的特征線如當(dāng)ac<0 異號(hào),波動(dòng)方程· 拋物型方程: , 過該點(diǎn)有一條實(shí)的特征線如當(dāng)ac=0 ,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱· 橢圓型方程: , 過該點(diǎn)無(wú)實(shí)的特征線如當(dāng)ac>0同號(hào),穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱i. 橢圓型方程 相當(dāng)于平衡問題或穩(wěn)態(tài)問題。影響區(qū)域是橢圓的。與
5、時(shí)間無(wú)關(guān)。空間的閉區(qū)域。又稱為邊值問題。例如:穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題。閉區(qū)域(xo,yo)求解特征:所有點(diǎn)聯(lián)立求解。用直接法或迭代法。提示:穩(wěn)態(tài)、邊值、互相影響 邊界ii. 拋物型方程時(shí)間步進(jìn)性問題或相當(dāng)于時(shí)間的步進(jìn)性問題。又稱為初值問題。影響區(qū)域以特征線為分界限,與主流方向垂直。例如:1D非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)間步進(jìn);2D穩(wěn)態(tài)邊界層型的流動(dòng)和換熱問題擴(kuò)散忽略,主流方向步進(jìn)求解特征:從的初值開場(chǎng),逐步推進(jìn),依存獲得適宜定邊界的解。求解代數(shù)方程的量可為一維的,可節(jié)約容量。(xo,yo)前一時(shí)刻 tt+Dt物理意義:分布與瞬時(shí)以前的情況和邊界條件相關(guān)。時(shí)間步進(jìn)t, x推進(jìn)下游的分布僅與上游的變化相關(guān)主流
6、步進(jìn)xiii. 雙曲型方程xo,yo也是步進(jìn)問題。但依賴區(qū)域僅在兩條特征區(qū)域之間。t, x例如:無(wú)粘性流體的非穩(wěn)態(tài)問題;無(wú)粘性流體的穩(wěn)態(tài)超音速流動(dòng)。2. 流動(dòng)類型偏微分方程組或積分方程組及邊界條件。必須選擇應(yīng)用的目的:· 不可壓縮ßà可壓縮· 非粘性的ßà粘性· 湍流ßà層流· 2維或3維· 單相ßà多相· 。由此可以選擇不同的簡(jiǎn)化守恒方程。1.2.2 控制方程的離散化方法discretization methodi. 有限差分法finite differ
7、ence method FDM 微分方程使用網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn),選擇微分的近似方法。· 將區(qū)域離散成有限個(gè)網(wǎng)格,通常為構(gòu)造化網(wǎng)格;· 選擇方程各項(xiàng)的差分形式Taylor展開;· 對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)建立差分方程;· 整理出關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知數(shù)的非線性代數(shù)方程式。提示:網(wǎng)格、微分方程、差分形式、差分方程、代數(shù)方程 ii. 有限體積法finite volume method FVM 積分方程使用控制體積,選擇外表和體積積分的近似方法。· 將區(qū)域離散成有限個(gè)控制體積,適用任何形狀的網(wǎng)格;· 選擇未知函數(shù)對(duì)時(shí)間和空間的局部分布曲線線性或曲線分布;· 對(duì)每個(gè)
8、CV進(jìn)展空間外表、體積和時(shí)間的積分;· 整理出關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知數(shù)的代數(shù)方程式。特點(diǎn):適用任何形狀的網(wǎng)格,可用復(fù)雜幾何形狀與坐標(biāo)類型無(wú)關(guān)提示:網(wǎng)格、積分方程、分布曲線、外表和體積分、代數(shù)方程 iii. 有限單元法finite element method FE選擇函數(shù)和權(quán)重函數(shù)。· 將區(qū)域離散成有限個(gè)體積或單元element,2D時(shí)通常為三角型或多邊型;· 選擇每個(gè)單元解的近似函數(shù)形式例如:線性形狀函數(shù),與單元角上的值相關(guān);積分權(quán)重· 選擇積分方程的權(quán)重函數(shù);· 對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)值的積分殘差為零,求出離散方程;· 整理出關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知數(shù)的非線性
9、代數(shù)方程式剛度矩陣。特點(diǎn):有限單元法通常適用于不規(guī)那么的求解區(qū)域。提示:網(wǎng)格、積分方程、分布函數(shù)、權(quán)重函數(shù)、積分殘差為零、剛度矩陣 iv. 頻譜法spectral schemesv. 邊界元法boundary element methodsvi. 分區(qū)自動(dòng)化cellular automata不同的方法影響精度,求解問題的難度,編程和調(diào)試的難度,計(jì)算的速度。精度越高,涉及的網(wǎng)點(diǎn)就越多,系數(shù)矩陣就越大,需要的內(nèi)存就越高,由此不得不使用粗網(wǎng)格,結(jié)果反而影響精度。目前一般二階精度為最正確選擇。1.2.3 坐標(biāo)和根本矢量系統(tǒng)· Cartesian coordinate system 直角坐標(biāo)系
10、統(tǒng)· Cylindrical coordinate system 柱坐標(biāo)系統(tǒng)· Spherical coordinate system 球坐標(biāo)系統(tǒng)· Curvilinear orthogonal coordinate system 曲線正交坐標(biāo)系統(tǒng)· Non-orthogonal coordinate system 非正交坐標(biāo)系統(tǒng)· 挪動(dòng)的或靜止的選擇的方法依賴與目的流動(dòng)。可能會(huì)影響離散方法和網(wǎng)格類型的選擇。也可以根據(jù)矢量或張量表達(dá)的需要,選擇坐標(biāo)系。1.2.4 空間區(qū)域的離散化i. 計(jì)算區(qū)域domainii. 網(wǎng)格gridiii. 網(wǎng)格線gr
11、id lineiv. 格子cellv. 節(jié)點(diǎn)grid pointer,node, center node· 計(jì)算節(jié)點(diǎn)computational node, FDM· 節(jié)點(diǎn)FVMvi. 控制容積control volume,CVvii. 界面face1.2.5 數(shù)值網(wǎng)格numerical gridi. 構(gòu)造化網(wǎng)格structured grid或稱規(guī)那么網(wǎng)格regular grid· 網(wǎng)格線:自己不交,以其它線只交一次。· 節(jié)點(diǎn)可用一組坐標(biāo)下標(biāo)唯一表示, 例i,j,k· 相鄰節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)用 ±1 表示 優(yōu)點(diǎn):使用廣泛缺點(diǎn):只適宜幾何簡(jiǎn)單的計(jì)算
12、區(qū)域ii. 塊構(gòu)造化網(wǎng)格block-structured grid· 在同一個(gè)計(jì)算區(qū)域上有兩種或以上不同標(biāo)準(zhǔn)的網(wǎng)格劃分。通常使用的有粗網(wǎng)格、精細(xì)網(wǎng)格的· 粗區(qū)域可以是不規(guī)那么,可以重疊· 細(xì)網(wǎng)格為構(gòu)造化網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格:123456789101112131415粗區(qū)域: I II III IViii. 非構(gòu)造化網(wǎng)格unstructured grid· 主要用于有限體積法和有限單元法內(nèi)· 格子控制體積或單元形狀任意· 相鄰節(jié)點(diǎn)數(shù)無(wú)限制常用格式形狀有:2D:三角形、多邊型;3D:蜂窩等,通常格子的生成有專門的格子生成方式grid generat
13、ion1.2.6 離散方程的求解方法離散化產(chǎn)生一個(gè)大的非線性代數(shù)方程系統(tǒng)。求解方法取決于問題本身。· 非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)問題:使用求解初值問題的方法marching in time時(shí)間步進(jìn),在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上,求解一個(gè)橢圓問題。· 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)問題:- 準(zhǔn)時(shí)間步進(jìn)pseudo-time marching法- 等效迭代方法由于方程是非線性的,通常需要迭代。這些方法對(duì)方程使用逐次線性化,產(chǎn)生的線性系統(tǒng)幾乎都是采用迭代技術(shù)來(lái)求解。提示:非線性方程系統(tǒng)、求解方法、問題本身、非穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài)1.2.7 收斂準(zhǔn)那么- 內(nèi)迭代:求解線性方程- 外迭代:處理非線性項(xiàng),和使方程耦合。何時(shí)停頓某個(gè)迭代從精度和效
14、率來(lái)說都是非常重要的。1.2.8 數(shù)值求解方法的特性提示:有解、解有界、計(jì)算收斂1. 相容性consistency 當(dāng)網(wǎng)格跨度趨近于零時(shí),離散差分方程接近微分方程。截?cái)嗾`差逐漸為零。2. 穩(wěn)定性stability à不穩(wěn)定: instability, 任何誤差不會(huì)放大。- 暫態(tài)問題:只要真正解有解,數(shù)值解也有界。- 迭代方法:計(jì)算不發(fā)散穩(wěn)定性很難判斷,最常用的方法為 von Neumann方法。但是,在求解復(fù)雜的非線性的耦合方程的,并具有復(fù)雜邊界條件的方法往往是很難得到穩(wěn)定的結(jié)果,而需要經(jīng)歷和本能。許多求解方法需要限制時(shí)間步長(zhǎng),和采用低松弛。3. 收斂性convergence
15、4;divergence ; 收斂性ß 相容性+穩(wěn)定性當(dāng)網(wǎng)格跨度趨近于零時(shí),離散差分方程的解接近微分方程的解。收斂與穩(wěn)定同樣很難判斷,往往采用數(shù)值實(shí)驗(yàn):逐步精化網(wǎng)格,如方法是穩(wěn)定而且收斂的,那么結(jié)果將收斂到一個(gè)與網(wǎng)格大小無(wú)關(guān)的解。4. 守恒性conservationànon-conservation由于求解的方程都是守恒方程,數(shù)值結(jié)果也應(yīng)是守恒的。這不僅要保證部分的守恒,也要保證總體的守恒。使用有限體積法或基于嚴(yán)格的守恒形式進(jìn)展的離散,那么可保證每個(gè)控制體的守恒。其它離散方法那么要充分注意守恒問題。守恒問題在求解方法中是非常重要的特性。非守恒方法會(huì)導(dǎo)致人工源阱的產(chǎn)生。但非守
16、恒方法有時(shí)如采用極小的網(wǎng)格能保證相容性和穩(wěn)定性,而產(chǎn)生正確的解。但一般因采用粗的網(wǎng)格,故建議使用守恒形式。5. 真實(shí)性realizibility對(duì)于特別復(fù)雜的情況,如湍流、燃燒、多相流動(dòng),要考慮能保證求得物理上現(xiàn)實(shí)的解。這不一定是數(shù)值的問題,可能是模型的問題,是否能真正的描繪物理現(xiàn)象。模型的問題也可能導(dǎo)致非物理的解或是數(shù)值方法發(fā)散。6. 精度accuracy誤差分為:· 模型誤差· 離散誤差· 收斂誤差1.2.9 流動(dòng)根本方程式1. 流動(dòng)守恒定理Conservation Lawsi. 連續(xù)性方程質(zhì)量守恒方程, continuity equation 12 單位體積
17、的質(zhì)量流束的散度凈量為內(nèi)部密度的增加速度。用全導(dǎo)數(shù)表示: 13 對(duì)于不可壓縮流體, 。ii. 動(dòng)量守恒方程momentum equation守恒形式: 14 左邊:運(yùn)動(dòng)量的增加速度右邊:?jiǎn)挝惑w積內(nèi)對(duì)流引起的動(dòng)量變化、壓力差作的功、粘性引起的動(dòng)量變化、外力應(yīng)用連續(xù)性方程,生成:非守恒形式: 15 為控制體積受到的加速度。對(duì)于Newton流體,x方向速度在y方向的變化 16 17 18 19 110 111 iii. 能量守恒方程energy equation流體總能量=內(nèi)能+動(dòng)能+勢(shì)能 112 該形式用起來(lái)不方便,通常消去動(dòng)能。將動(dòng)量方程式乘于速度的矢量,為: 113 改變上式成為: 114 用
18、此式消去能量方程的動(dòng)能項(xiàng),使能量方程成為 115 此式表示內(nèi)能的變化。可以寫成溫度的形式,由: 116 使用Maxwell函數(shù),使能量方程成為: 117 q用Fourier公式: 118 對(duì)牛頓流體而言為粘性系數(shù)和耗散系數(shù)的積,耗散系數(shù)為: 119 高速氣體流動(dòng)時(shí)膨脹效果變的重要時(shí)、產(chǎn)生很大的速度梯度情況下,需考慮此0項(xiàng)。一般不考慮。能量方程的特殊形式:· 理想氣體 120 壓力一定,密度一定 連續(xù)性方程 121 · 焓的表示 à 122 · 熱傳導(dǎo)方程 123 2. Euler 方程式,Navier-Stokes 方程式通常有將包含連續(xù)方程和能量方程的
19、守恒方程式的矢量形式全體統(tǒng)稱為Euler無(wú)粘性或 Navier-Stokes Equation的。i. 三維流動(dòng)守恒方程的一般表達(dá)式 124 125 126 127 l:第二粘性系數(shù), m:粘性系數(shù) c:體積粘性系數(shù) 128 Stokes假定: 129 上式為可壓縮流體的NS方程式的積分系形式。 不計(jì)粘性時(shí)為Euler方程式。ii. 守恒方程的微分形式 130 131 132 133 134 135 136 137 對(duì)于壓縮性流體,理想氣體的音速a為 138 iii. 守恒方程的積分形式 139 140 iv. 勢(shì)方程Potential Equation對(duì)于超音速或低速流動(dòng)流動(dòng),常使用勢(shì)方程。
20、對(duì)于不存在渦流的非沖擊波流動(dòng),渦度為零。可定義一個(gè)勢(shì)函數(shù)F,滿足: 141 v. 初值問題的特征initial value problem開展型方程:evolution equationvi. 沖擊波Shock wave1.2.10 守恒方程式的守恒形式和非守恒形式1. 守恒形式 142 2. 非守恒形式 143 1.2.11 典型偏微分方程形式1. 波動(dòng)方程雙曲型方程雙曲型方程有初值問題和初邊值問題。一維非線性波動(dòng)方程為最典型的2階雙曲型方程 144 線性波動(dòng)方程為1階線性雙曲型方程 145 2. 擴(kuò)散方程拋物線型方程一維形式: 146 3. 穩(wěn)態(tài)方程橢圓型方程,Laplance方程,拋物線
21、性的穩(wěn)態(tài)問題邊值問題: 147 橢圓型方程為滿足適宜性條件,必須給出所有邊界的邊界條件。1.2.12 數(shù)值流體力學(xué)的根本分類1. 不可壓縮流體壓力差主導(dǎo)的流動(dòng)問題。渦流法、MAC法、擬壓縮法、SIMPLE方法,有限元、邊界元法。2. 可壓縮流體密度波主導(dǎo)的流動(dòng)問題。速度主導(dǎo)。勢(shì)方程,微小擾動(dòng)的勢(shì)方程,波動(dòng)問題,超音速流動(dòng)問題,沖擊波問題TVD方法, 有限元方法3. 湍流流動(dòng)湍流主導(dǎo)問題。湍流模型:0方程1方程模型,k-e方程,壁面函數(shù)法4. 多相流流動(dòng)多界面和部分平均化問題。燃燒、稀薄流、多相流、電磁流體問題。空泡率,滑速比,均勻流、2流體模型,構(gòu)造方程,相間輸運(yùn),狀態(tài)方程、多相流動(dòng),拉格朗日
22、坐標(biāo)系5. 挪動(dòng)界面的流動(dòng)具有明顯連續(xù)挪動(dòng)界面問題。自由外表,外表張力,網(wǎng)格系統(tǒng)和挪動(dòng)的耦合,適體網(wǎng)格,波,數(shù)值波Eular法、VOF法Volume of Fluid,有限元法6. 微觀模型解析詳細(xì)解釋微小尺度上的流動(dòng)問題。粒子模型,分子模型,大渦法,格子模型7. 格式形成法復(fù)雜幾何形狀的問題。適體網(wǎng)格、坐標(biāo)變換、構(gòu)造網(wǎng)格,非構(gòu)造網(wǎng)格的形成,適宜解形式的網(wǎng)格,復(fù)雜形狀的網(wǎng)格建立1.2.13 坐標(biāo)系1. 根本坐標(biāo)系- 直角坐標(biāo)- 圓筒坐標(biāo)- 球坐標(biāo)坐標(biāo)系連 續(xù) 性 方 程直角坐標(biāo) 圓筒坐標(biāo)球坐標(biāo)2. BFC適體坐標(biāo)Boundary-Fitted Coordinate. 為沿著邊界形狀的曲線坐標(biāo)系。它是通過坐標(biāo)變換,將實(shí)空間上的復(fù)雜形狀變換成其它空間上的簡(jiǎn)單直交坐標(biāo)。一般,生成曲線坐標(biāo)格子的方法有:· 利用復(fù)數(shù)變換的傳統(tǒng)方法zàgz, z=gz, z =x+iy, z=x+ih, z平面的圖形在z平面上的等角投影的坐標(biāo)變換。· 利用內(nèi)插函數(shù)的代數(shù)方法利用例如Lagrange等的內(nèi)插多項(xiàng)式,求出通過所涉及的格子的曲線或與曲面垂直的曲線,將解析領(lǐng)域內(nèi)部的格子點(diǎn)進(jìn)展補(bǔ)正。這種方法對(duì)于三維問題很難。復(fù)雜領(lǐng)域內(nèi)的,不實(shí)用。
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