1、韶關學院第十四屆數學建模競賽題參考解答一、原料采購某工廠正常情況下每天需要消耗某種原材料4噸，因此每隔一段時間需要購置一次原材料，原材料的價格為 2000元/噸，原材料的保管費用每天2元/噸，每次購置原材料需要支付運費1600元.為了保證每天都有原材料供應生產，請給出最優的原材料采購方案解：設每隔t天購置一次原材料，那么總的保管費用為2 (4 14 24 t)4t(t 1)10 分支付的總費用為：Q(t) 4t(t 1)1600 4t 2000那么平均每天支付的費用為Q(t)4(t1)16004 20004t 16008004-20 分ttt從而當組罟，即t=20時平均每天的支付費用最少.于是

2、應該20天采購一次原材料一 25 分二、運輸本錢某運輸公司接受了向抗洪搶險地區每天至少送180tt的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員；每輛卡車每天往返的次數為A型卡車4次，B型卡車3次；每輛卡車每天往返的本錢費A型車為320元，B型車為504元請為該公司安排一下應該如何調配車輛，才能使公司所花的本錢費最低？解：根據題意可得：A型車B型車物資限制載重t610共180車輛數84岀車次數43每車每天運輸本錢元320504設每天調出A型車x輛、B型車y輛，公司所花的本錢為 z元，那么最低本錢費數學模型為min z 320x 504 y0x8,S.t.0 y 4,x y 10(106

3、 4x 10 3y 180x, y Z這是一個整線性規劃問題，現用圖解法進行求解可行域如上圖為：由直線 11 : x+y=10, l2 :4x+5y = 30以及x=8,y=4組成的凸四邊形區域.直線I : 320x+504y=c在可行域內平行移動 17分易知：當I過y=0與J的交點時，z取最小值y 0x 7.5由解得4x 5y 30y 0取最近的整點8, 0，即只調配A型卡車8輛，所花本錢費最低zmin =320X 8=2560元25分三、最短路徑如以下圖，圖中箭頭方向表示可以進行移動，箭頭上數字表示行走的距離單位：km,如6號位置能夠前進到 7號位置，距離為 4km ;而7號無法前往6號現

4、我們所處1號位 置，因為行程需要前往 8號位置，求最少需要走多少路程能夠到達，并且寫出具體路線解：1列舉法略2利用迪杰斯特拉算法：X表示行進過的區域，X=1,第一步:min d i2,di4,di6=min 0+2,0+1,0+3=min 2,1,3=1X=1,4, p 4=1- 5 分第二步：min d i2,di6,d42,d47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4, p2=2第三步：min d i6,d23,d25,d47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3X=1,2,4,6, p6=3第四步：min d

5、23,d25,C47,d67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3X=1,2,4,6,7, p7=3- 12 分第五步：min d 23,d25,d75,d78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6X=1,2,4,5,6,7, p5=6第六步：min d 23,d53,d58,d78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7, p3=8一 20 分第七步：min d 38,d58,d78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5

6、,6,7,8, p8=101到8的最短路徑為1，4，7，5，8，長度為10km.-25分四、隔熱厚度為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造本錢為6萬元該建筑物每年的能源消消耗用 C單位：萬元與隔熱層厚度 x單位：cm滿足關系：kC(x)(0 x 10) k為一未知待定系數，假設不建隔熱層，每年能源消消耗用3x 5為8萬元設f (x)為隔熱層建造費用與 20年的能源消消耗用之和.I求k的值及f (x)的表達式；n隔熱層修建多厚時，總費用f (x)到達最小，并求最小值.解：(I )設隔熱層厚度為 xcm ,由

7、題設，每年能源消消耗用為C(x)再由 C(0)=8，得 k=40，因此 C(x)k (03x 5403x 5，x 10),5分而建造費用為Ci (x)=6x ,最后得隔熱層建造費用與20年的能源消消耗用之和為f (x)20C(x) Ci(x)20*- 6x -80 6x(03x 53x 5x 10)-12 分(n ) f'(x)24002(3x 5)2400令 f' (x)=0 ,即 2400 26，解得 x 5,x(3x 5)235舍去，17 分當 0v x v 5 時，f ' (x) v 0，當 5v xv 10 時，f ' (x) > 0,故x=5是

8、f(x)的最小值點，對應的最小值為地f (5) 6*5 蟲也=70 25分15 5五、車間通風某車間體積為12000立方米，開始時空氣中含有0.1%的CO2,為了降低車間內空氣中CO2的含量，用一臺風量為每分鐘2000立方米的鼓風機通入含 0.03%的CO2的新鮮空氣同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出，問鼓風機開動6分鐘后，車間內CO2的百分比降低到多少？解：設鼓風機開動后t時刻co2的含量為x t %在t, t dt內，氣量變化關系為：CO2的通入量 2000 dt 0.03 ； CO2的排出量 2000 dt x(t)；CO2的改變量 CO?的通入量CO?的排出量故可得到：12000dx

9、2000 dt 0.03 2000 dt x(t) ,- 10 分dx1進一步有：巴l(xdt60.03，-15 分求解以上微分方程得到：x 0.03ItCe 6，結合初值條件：x |t 00.1，得到：C 0.07，故有：x 0.031t0.07e 6，計算在6分鐘后，有 xL6 0.030.07e 10.056,于是，鼓風機開動 6分鐘后，車間內CO2的百分比降低到0.056% .-25分六、最大面積工廠里有一塊半圓形鐵板，其半徑為R.半圓的一局部有破損，破損位置如以下圖，其中BC=R/2，并且破損位置在以 B所在的水平線右側.現要在半圓鐵板剩余的局部上切割出一個直角三角形，如圖甲乙兩個方

10、案：甲方案是以半圓的直徑所在邊作為斜邊，乙方案是選取半圓的直徑所在邊為直角邊哪種方案所切割的直角三角形最大？并說明理由解：我們根據甲、乙的方案，分別求出兩種方案所能切割出直角三角形的最大面積對于甲方案，以AB或者比AB短的線段作為直徑的半圓內接三角形顯然，選取AB作為直徑時能夠保證三角形盡量的大，此時內接半圓的半徑為，即 - 5分£ 以D點的坐標為那么三角形的面積1 = - X X COE0 =丄TJFfii±£>4cose-15 分關于'求導后可知，當：占 ；防時，現'一-對于乙方案，以 0為圓心，00,0.設D點的坐標為趙晶級怨曲農.士衛監那么三角形的面積-*2'2關于求導，i?工S； = -r- Cc-as9)cQ-50(14 sin0)