1、2013 年全國高考理科數學試題分類匯編7:立體幾何、選擇題1.1.（ 20132013 年高考新課標 1 1（理）如圖, ,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為2 2 . （20132013 年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純WORDWORD 版）設m，n是兩條不同的直線，-是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A.若口丄 P，mua，n= P，則m丄nB.若 口 P，mua，n=P，則m/nC 若m丄n,muo（,n 匚卩，則口丄 P .若m丄a, m/

2、n, n / P ,則。丄卩【答案】D3 3 . （ 20132013 年上海市春季高考數學試卷（含答案）若兩個球的表面積之比為1：4,則這兩個球的體積之比為（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】C4 4 . （20132013 年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORDWORD 版含答案（已校對）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于2A.-500二3A.cm3【答案】Ar 866兀3B.cm3( )1372二320483c.cmD.cm33D.3【答案】A5 5 . （ 20132013 年高考新課標 1 1 （理

3、）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為【答案】C則該正方體的正視圖的面積不可能等于【答案】C8 8 . （ 20132013 年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純A.16 8二B.8 8二C.16 16二D.8 16二【答案】A6 6 . （ 20132013 年高考湖北卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1,V2,V3,V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉體兩個簡單幾何體均為多面體，則有A.V|: V2: V4: V3B.V1: V3: V2: V4面( )C. V2：7、V3:WWW7 7 . （20132013 年高考

4、湖南卷（理）已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個面積為1 的正方形,A.1D.、2+12WORDWORD 版）某四棱臺的三1010視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是第5題圖A.4【答案】B14B.316C.3D.6（20132013 年普通咼等學校招生統一考試新課標n卷數學（理）（純WORD版含答案）已知m,n為異面直線,m _平面，n_平面-.直線丨滿足丨_m,丨_n,丨二：，丨二-,則（）A.】II -，且丨/：C.：與：相交，且交線垂直于丨【答案】DD.與：相交，且交線平行于丨（20132013 年普通高等學校招生統一考試山東數學（理）試題（含答案）ABC - ABC的側棱與底面垂直9，

5、體積為4，底面是邊長為面A1。的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為5二二二A.12B.3C.4【答案】B（20132013 年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案）題5圖所示，則該幾何體的體積為A.560B.580C. 200）已知三棱柱3的正三角形若P為底（ ）兀D.6）某幾何體的三視圖如（ ）D.240【答案】CABC -ABG的 6 個頂點都在球OAB = 3, AC= = 4,4,AB _ AC,AA 12,則球O的半徑為B.2.2.1010【答案】C（20132013 年高考江西卷（理）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面正主）視四Ay左）視圖1212.（2

6、0132013 年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（WORDWORD 版)已知三棱柱D.3 101313.1414.AB LI CD,正方體的六個面所在的平面與直線ACE,EF 相交的平面個數分別記為（20132013 年普通高等學校招生統一考試新課標H卷數學（理）（純 WORDWORD 版含答案）m,n,那）一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為15.15.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試安徽數學（理）試題不是公理的是（）A平行于

7、同一個平面的兩個平面相互平行B. 過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么他們有且只有一條過該點的公共直線【答案】A16.16.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純點A作平面二的垂線，垂足為B，記B = L（A）.設。B 是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q1二f：f：.（P），Q f： f l（P），恒有PQ1=PQ2,則（）A.平面:-與平面 1 垂直B.平面與平面一：所成的（銳）二面角為45C.平面:-與平面一：平行D.平面與平面一：所成

8、的（銳）二面角為60【答案】A1717. （ 20132013 年高考四川卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是【答案】A【答案】D（純WORDWORD 版）在下列命題中WORDWORD 版）在空間中, ,過、填空題 1818. （20132013 年高考上海卷（理）在xOy平面上，將兩個半圓弧（x-1）2 y2=1（x_1）和2 2（x -3） y =1（x_3）、兩條直線y =1和y=1圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰影部分.記 D 繞 y 軸旋轉一周而成的幾何體為門，過（0, y）（| y怛1）作門的水平截面，所得截面面積為4二1 - y28-,試利用祖暅原理、一個

9、平放的圓柱和一個長方體，得出1的體積值為_【答案】2兀2+16兀.1919.（ 20132013 年高考陜西卷（理）某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為 3【答案】一320.20.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORDWORD 版含答案（已校對）已知3圓0和圓K是球0的大圓和小圓，其公共弦長等于球0的半徑，0K,且圓0與圓2K所在的平面所成的一個二面角為60,則球0的表面積等于 _.【答案】16：21.21.（20132013 年高考北京卷（理）如圖，在棱長為 2 的正方體ABCDAB1C1D中，E為BC的中點，點P在線段DE上，點P到直線CC的距離的最小值為

10、 _ .22.22.（ 20132013 年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷（數學）（已校對純 WORDWORD 版含附加題）如圖，在三棱柱AiBiCi- ABC中，D，E, F分別是AB，AC，AAi的中點，設三 棱錐F- AD E的體積為y,三棱柱A1B1C A B C的體積為V2,貝V Vi: V2 =.【答案】i:2423.23.（ 20i320i3 年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純WORDWORD 版）若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于 _cm2.正視圖側視圖【答案】2 2、553:2-3:2-3 3V V俯視圖（第i2i2題圖）【答

11、案】2424.24.（ 20i320i3 年普通高等學校招生統一考試安徽數學（理）試題（純WORDWORD 版）如圖，正方體ABCD -AiBQDi的棱長為 1,P 為 BC 的中點,Q 為線段CCi上的動點, ,過點 A,P,Q 的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_ （寫出所有正確命題的編號）.113當 O：；CQ：時,S 為四邊形；當CQ時,S 為等腰梯形；當CQ時,S 與22413C1D1的交點 R 滿足C1R|;當CQ : 1時,S 為六邊形；當CQ=1 時,S 的面積134為主2【答案】25.25.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（

12、圖如圖所示,則該幾何體的體積是_26.26.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試福建數學（理）試題（純WORDWORD 版）已知某一多面體內接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖測試圖俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為 2 的正方形，則該球的表面積是 _WORDWORD 版）某幾何體的三視【答案】【答案】12 :2727. （20132013 年上海市春季高考數學試卷（含答案）在如圖所示的正方體ABCD - ABQQ!中,異面直線AB與BiC所成角的大小為 _三、解答題2828.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（直徑,PA 垂直圓所在的平面

13、，C 是圓上的點.（I）求證：平面PAC_平面PBC;n n【答案】一3(II)若AB =2,AC =1,PA =1,求證:面角C - PB - A的余弦值.CWORDWORD 版）如圖,AB 是圓的ABAB是圓的直徑得人C丄 BC.BC.ill PA丄平面ABC.ABC. BCBCc半面ABCABC得PAPA LBCLBC 乂PAQACPAQAC = = A.A. PAPAc平而PAC.PAC. ACAC u uf iftjPAC.PAC.所以BC丄半而PM.內為3Cu半血PBC.所以Y WlPBCPBC丄平幣IPAC.PAC.“分(n)(解法一)過CfVCM力/WI|CMlinARCCMl

14、inARC如圖.以點C為坐標原點分別以也線CB.CB. CA.CA.CM為X軸.y軸.2 2軸建工空間l*L 因為ABAB = = 2.2. AC=AC=1,所以BCBC = = y/3y/3 因為PAPA= 1,所以4(0.10). 8(苗.0.0). P(O.l.l).故CB=CB=(V5.U.O) CP = (0.E1).設平:血BCP的法洵簾:為叭；=MN,(CB(CB心=() 一則所以A( (CPCP心=0(y + z = 0不妨令y = 1.則心=(01 1)|卻為麗=o.o.l ) ABAB = =( 7?；-匚處丄設tnABPtnABP的法向h；為巾=(x-y-z)-z = 0

15、所以廠y/3xy/3x一y = 0站妨令x = 1 則心=(1箱0)于是cos= = J6所以山題意們 S 角C + i的余弦值為12分【答案】HeHe11CMCM k k AUAUTM M - -Mh h PAPALf fCMCMc T面ABC.ABC.rlZPAPA CMCM. .故CM |半酣PAU.PAU.:J Af II M.V IPHPH-JV.連垃NGNGm肅紳常評挪CN1CN1 PR*PR*pffnCNM Xi iii ffrCPH-Afr!i i浙佩A RlA/?r中.Il AN =2.2. ACAC = = . .itictic= V3CMCM =寸在屮.iUAIiiUAI

16、i= 2.= 1.PBPB = =M MRt珀fN網屮*GV=甞l故aiszCTM =罟29.29.（ 20132013 年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案）如圖，四棱錐P - ABCD亠宀十兀中, ,PA_底面ABCD,BC二CD =2,AC =4, ACB = ACD,F為PC的中3點，AF _ PB.求二面角B - AF - D的正弦值鳳力RtAff/VM丹R3沖P所以c - M*的金張i為冷.(1)求PA的長;(2)題（圖【解析】 I卷 連接HDHD ACAC于O.因劉 R R = = CACA即諾 CDCD為等腰三角版ZACAC分ZBCDZBCD,故ACAC丄SO.

17、以O為坐標原此O O4P4P的有向分別為工軸 t 軸,二軸的正方向,建疋空間4角坐標系|則O=QZio農-TrtijACAC - -4 JUA A Q=Q= A A O O 0(=0(=3 ,又OD = CDsin-忑.故/( Or 3.仁 肌苗00八C(OJ.O)D D = = (-(-f fM).M).因PAX.PAX.底山仙CD可設円0.王二）t由F F為PC邊中點,F（0-l.-）.乂喬叫02和面叫辰WXFXPff &XF Pfi*O l6-y0t;23 /7A 23，叫聞2jTUH lb 1#3.o) )tASAS (yp(yp. AFAF(O.2.J5HF【fn打D7

18、 A A V ff|(K可解潯曲沱2.F l血匚1 tiin2222SYAliJtOC -(邁 +l)h.r2r2 1OfOfJ3hJ3h廠莊RtZOfF中.xisZ(Z( ()r()r廠- -一=- SL.X_=h=,即直線 BC 到平面 DAC 的距離為一323335 5.(20132013 年高考湖北卷(理)如圖，AB是圓0的直徑，點C是圓0上異于A,B的點，直線PC_平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(I)記平面BEF與平面ABC的交線為丨，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加 以證明；1(II) 設(I)中的直線I與圓0的另一個交點為D,且點Q滿足DQ CP.記直線PQ2與

19、平面ABC所成的角為二,異面直線PQ與EF所成的角為，二面角E - I - C的大小為 ：，求證：sin- sinsin :.1ftA AB B第 19 題圖【答案】解:(1)EF _ AC,AC平面ABC,EF平面ABC.EFLI平面ABC又EF匚平面BEF.EF LJI.山平面PAC(II)連接 DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快，向量的方法很(I)酚：辛面忌C,證明如下：連揆EC因為S* F分別是人 疋的中點所以S5 /7 JC-又壬才二平面貯 G 且垃二平面曲匚所以7平面貯?一 而寸二平面戀廠且平面笠廠乎面一所以莊蔣：、因為；二平面?AC -三二平面出 G 斯以

20、宜線：#平亜(II)(堞舍法)如圖b連接由C I )可知交錢瑯為直線3亠且M.C因為.泊是：。的直徑，所以乂-阮，干是f-孔己知貝F面朋 G 而 y 平面朋 G 所以.吃亠.而PCPC 3C=C,3C=C,所以一平面凸(？連接空，ST,因為芳二平面P3C,P3C,所以：_寶匚故一CM匸就是二面弗 E-E-： C C的平面筋W W C37C37- 5第19題解睜圖1第 2 題解答圖：.連接疋則押Q*0可得于是cos所以可得an &從而4LT.從而曲GP作丸6 且= 2匸二35WORDWORD 版）如圖 1,在等腰設平面盒吁的一H*向就為直角三角形ABC中, , A =90,BC=6,D,E分別是

21、AC A上的6 6. （ 20132013 年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純干是5Z以點為匣點、向ar ci矛所在宜線分別為;一建交如圖所示的空間直所以兀龍，詰，5二由（I 1可知交線即為直繞SS從而sin丸-yb-re?連接PQPQ 二5 因為是CC的中點從而四邊琢囚耳匸是平行四邊飛，?0/?0/連接園為比-平面所以是 P 在平面門C內時射彩,菽就是直建吃與干面弄艾所成的勲 即又 2 一平面?SC有那M廠知防為魏和故S S 二 W為異面直線 電與三所成的劎 即/矣m干A3Gr RtAZS*- A3C*中哀分別可得.4 Gr $衣 .旨O泗 h 7 * sin jf ：i si

22、n c iDrDr督 r(0.;點，CD二BE-.2,0為BC的中點將ADE沿DE折起, ,得到如圖 2 所示的四棱錐xn）求二面角A - CD _ B的平面角的余弦【答案】（I） 在圖 1 中，易得OC =3,AC =3、 .2,AD =2.2OD二OC2CD2-2OC CDcos45 = 5由翻折不變性可知A D = 22,2 2 2所以AO OD -AD,所以AO_OD,理可證AO _ OE,又OD “OE =0,所以A0_平面BCDE.（n）傳統法：過O作OH _ CD交CD的延長線于H,連結A H, 因為AO_平面BCDE,所以AH CD,所以.A HO為二面角ACD -B的平面角O

23、H 15,所以二面角A -CD -B的平面角的余弦值為 丄丄5Z Z5+A向量法：以O點為原點，建立空間直角坐標系O - xyz如圖所示,則A A0,0八3,C 0,-3,0,D 1,一2,0向量法圖結合圖 1 可知，H為AC中點，故0H二3,從而A H = OH2OA2二2、.302所以cos A HO =.A H 5A BCDE,其中AO=；3.(I)證明：AO_ 平面BCDE;( 值CABDE連結OD,OE,在OCD中，由余弦定理可得所以CA 0,3, , 3,DA 12、3設n = x, y,z為平面A CD的法向量，則n CA =0刨3y、一3z =0” y y = =-x彳耳,即

24、$,解侍 =AC *m4ACm2x3平面ADCi與ABAi所成二面角的正弦值為 3（20132013 年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORDWORD 版含答案（已校對）如圖, ,四棱錐PABCD中，.ABC二.BAD =90,BC =2AD, .：PAB與：PAD都是等邊三角形(I)證明：PB _ CD ;(II) 求二面角A - PD -C的大小.=?,得sin八垃33【答案】.5廿14此二面煩A FD一匚附大小為*arc1212井斫俅cosZFC；-FGFG1 1+AF - AG1ZXFGXAF西亍解穗二冷N I）知4（?扒OP兩胡變ft.方問為工軸的11力向建之獄IW爭水的空

25、陽1（1角墮犧系。-丄，匚Bi I= 2期A（-血*（h（D EWl找衛）c（?圧yso叭pw.s_ _ .” 一PC2 2 4Z*4Z* 底 l 崔、7 PD t7） -5*Q5*Q 血=Q.=Q.- -|to小AT=（y?ty?,o）p.町得m-rg= Q,n） p = 0t取唧網p-hy匕一！*林m =（l j I）.由于5|上門算丁二（fi角A_PD_C的平it；角新現二向角A_PD-g的大水為擰_CC3iU E八、（20132013 年普通高等學校招生統一考試山東數學（理）試題（含答案）如圖所示，在三棱錐P-ABQ中, ,PB_平面ABQ,BA = BP = BQ,D,C,E, F分

26、 別 是A Q B ,QA的中點pAQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.F cosni iA；）brtTTinji1414（i）求證：ABLIGH； （n）求二面角D-GH-E的余弦值【答案】解:（I）證明：因為D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點，所以EF/AB,DC/AB,所以EF/DC,又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF/平面PCD,又EF二平面EFQ,平面EFQPl平面PCD =GH,所以EF/GH,又EF/AB,所以AB/GH.（n）解法一：在ABQ中，AQ=2BD,AD二DQ,所以.ABQ=90,即AB _ BQ,因為pB _平面ABQ

27、,所以AB _ PB,又BPPlBQ =B,所以AB平面PBQ,由（I）知AB/GH,所以GH_平面PBQ,又FH平面PBQ,所以GH _ FH,同理可得GH _ HC, 所以.FHC為二面角D _GH_ E的平面角，設BA = BQ = BP = 2,連接PC, 在RtFBC中，由勾股定理得，FC八2,在RtPBC中，由勾股定理得，PC 5,即二面角D -GH -E的余弦值為5.解法二：在ABQ中，AQ = 2BD,AD = DQ,所以.ABQ =90,又PB_平面ABQ,所以BA, BQ,BP兩兩垂直，以B為坐標原點，分別以BA, BQ, BP所在直線為x軸，y軸，z軸,建立如圖所示的空間

28、直角坐標系，設BA二BQ二BP = 2,則E(1,0,1),F (0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0) P(0,0,2),所 以TTTTEQ =( 1 2 , FQ =(0,2, 1) DP=(1,1,2) CP=(0, 1,2)5555設平面EFQ的一個法向量為m= (%, %,乙),由m EQ =0 m FQ =0由,-X12%-乙=0得2%-乙=0取y1=1,得m珂0,1,2).4設平面PDC的一個法向量為門=(x2,y2,z2)4呻 T由n DP = 0,n CP = 0,X2- y2+2Z2 =0得-y22Z2 =0.5FH同理cos/FHC =2 59

29、在厶FHC中，由余弦定理得取勺=1,得n =（，2,1）.所以4因為二面角D -GH - E為鈍角, ,所以二面角D -GH - E的余弦值為5.ABCDABiGD中，AD/BC,. BAD =90,AC _ BD,BC=1,AD = AA,= 3.（I）證明：AC _ BD；（II） 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【答案】解：（I）ABCD -ABGD1是直棱柱.BR_ 面ABCD ,且BD面ABCD = BB _ AC又AC_BD,且BD一BB1= B, AC_ 面BDB。B1D面BDB1rAC _ BQ.（證畢）（n）BQBCAD,.直線B1C1與平面ACD-的夾角即直線A

30、D與平面ACD1的夾角二建立直角坐標系，用向 量解題。設原點在A點，AB為Y軸正半軸，AD為X軸正半軸設A0,0,0,D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0),則AC = (1,y,0),BD = (3廠y,0), AC BDAC BD = 0二3 - y20 =0, y 0= y= 3. AC二(1, 3,0), AD二(3,0,3).cos m, n1515.（20132013 年高考湖南卷（理）如圖 5,在直棱柱- n，AC = 0- -設平面ACD1的法向量為n,則_ _ 二平面ACD1的一個法向量n=(-丿3,1,3), AD=(3,0,3)、n AD

31、1= 03 321.平面ACDiACDi的一個法向量n(-.3,1,3),AD(3,0,0)=si nv -| cos：n,AD7 37所以BD,與平面ACD,夾角的正弦值為1616. ( 20132013 年普通高等學校招生統一考試福建數學(理)試題(純柱ABCD-AB1C1D1中，側棱AA _ 底面 ABCDAB/DC,AA =1,AB =3k,AD =4k,BC = 5k,DC = 6k(k 0).(1) 求證：CD _平面 ADDA(2) 若直線AA與平面AB,C所成角的正弦值為 7 ,求k的值；(3) 現將與四棱柱ABCD - AB1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的棱柱，規定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案問:共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f (k),寫出【答案】解:(I)取CD中點E,連接BEQAB/DE,AB二DE =3k四邊形ABED為平行四邊形BE/AD且BE二AD =4k在VBCE中，Q BE =4k,CE =3k, BC =5kf (k)的表達式(直接寫出答案，不必要說明理由)W