1、會計學1蘇教高三數學復習蘇教高三數學復習(fx)橢圓橢圓第一頁，共47頁。3在解析幾何與向量的交匯處設計(shj)高考題，是近年來高考中一個 新的亮點，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以 解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設條件中4利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次 方程，利用判別式、根與系數關系來求解或證明直線與圓錐曲 線的位置關系問題 第2頁/共47頁第二頁，共47頁?！緫?yngsh)對策】 率e確定橢圓的形狀，焦點到對應準線的距離p確定橢圓的大小注意焦點在x軸和y軸上對應的橢圓方程的區別和聯系涉及橢圓上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第

2、一定義(dngy)，而涉及橢圓上的點到某一焦點的距離，常常用橢圓的第二定義(dngy)對于后者，需要注意的是焦點與準線的正確對應，不能弄錯1在運用橢圓的兩種定義解題時，一定要注意隱含(yn hn)條件ac，離心第3頁/共47頁第三頁，共47頁。問題；準確(zhnqu)把握橢圓標準方程的結構特征以及“標準”的含義；要能從橢圓標準方程中讀出幾何性質，能夠利用標準方程解決問題橢圓的幾何性質是需要重點掌握的內容，要能夠熟練運用其幾何性質來分析和解決問題特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質之一，是高考的熱點 2考綱要求掌握橢圓的定義和標準方程(fngchng)，靈活運用橢圓的定義來解決第4頁/共47頁

3、第四頁，共47頁。得到一個關于x(或y)的一元二次方程，再求判別式或應用根與系數關系解題由判別式可以得到字母關系的范圍；利用根與系數關系、數形結合(jih)的思想和“設而不求”的方法可以解決中點弦或弦的垂直等問題橢圓在解答題的考查中計算量比較大，要有簡化運算的意識：可先運算字母關系，最后代入數值，這樣做可減少運算錯誤，提高運算的準確性3解決(jiju)直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯立、消元，4由于平面(pngmin)向量具有“雙重性”，與平面(pngmin)解析幾何在本質上有密切的聯，因此，在解答此類問題時，要充分抓住垂直、平行、長度、夾角的關系，將向量的表達形式轉化為坐標形式第

4、5頁/共47頁第五頁，共47頁?！局R(zh shi)拓展】 焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成(guchng)的三角形PF1F2稱作焦點三角形，如圖，F1PF2. (1)=arccos 當r1=r2時，即P為短軸端點時，最大，且max=arccos(2) 當|y0|b，即P為短軸端點時，SPF1F2最大，且最大值為bc. 第6頁/共47頁第六頁，共47頁。2焦點弦(過焦點的弦)AB為橢圓(tuyun) (abc)的焦點弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)則弦長l2ae(x1x2)2a2ex0, 通徑最短lmin 第7頁/共47頁第七頁，共47頁。1橢圓

5、的定義 (1)平面內的動點的軌跡是橢圓必須滿足的兩個條件：到兩個定點(dn din)F1、F2的距離的 等于常數2a(a0)2a F1F2. (2)上述橢圓的焦點是 ，橢圓的焦距是 . 思考：當2aF1F2時動點的軌跡是什么圖形？ 提示：當2aF1F2時，動點的軌跡是線段F1F2. 和F1、F2F1F2第8頁/共47頁第八頁，共47頁。2橢圓的標準方程(fngchng)和幾何性質標準方程 1(ab0) 1(ab0)圖形第9頁/共47頁第九頁，共47頁。性質范圍 x ， y x ， y 對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1 ，A2 B1 B2A1 ，A2B1 ，B2焦距|F1F2|離心率

6、e準線方程xya，b，c的關系c2abababba(a,0)(a,0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b,0)(b,0)2c(0,1)a2b2第10頁/共47頁第十頁，共47頁。探究：橢圓的離心率(xn l)的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？提示：離心率(xn l)越接近1，橢圓越扁，離心率(xn l)越接近0，橢圓就越接近于圓 第11頁/共47頁第十一頁，共47頁。 0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率(xn l)的取值范圍是_答案： 1(2010東臺中學高三診斷(zhndun)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足第12頁/共47頁第十二頁，共47頁。2已知橢圓的方程是 1(a5)

7、，它的兩個焦點(jiodin)分別為F1、F2，且F1F28，弦AB過F1，則ABF2的周長為_ 解析：a5，橢圓的焦點(jiodin)在x軸上a22542，a . 由橢圓的定義知ABF2的周長為4a4 答案：4 第13頁/共47頁第十三頁，共47頁。3中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個(lin )焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓(tuyun)的方程是_解析：2a18,2c 2a6，a9，c3，b281972. 答案： 第14頁/共47頁第十四頁，共47頁。4(揚州市高三期末(q m)調研)已知F1 、F2是橢圓 的左、右焦點(jiodin)，弦AB過F1，若ABF2的周長為8，則

8、橢圓的離心率為_ 解析：由題意知，ABF2的周長為8，根據橢圓定義得4a8，即a2.又c2a2b21，所以橢圓的離心率e 答案： 第15頁/共47頁第十五頁，共47頁。5橢圓 上有一點P到左準線的距離(jl)為 那么P到右焦點的距離(jl)為 _ 解析(ji x)：a5，b3，c4，e 答案：8 PF21028.第16頁/共47頁第十六頁，共47頁。求橢圓的標準方程主要有定義法、待定系數法，有時(yush)還可根據條件用代入法用待定系數法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有能(2)設方程：根據上述判斷設方程 (ab0)或 (ab

9、0) 或mx2ny21.(3)找關系：根據已知條件，建立關于a、b、c的方程組(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求 第17頁/共47頁第十七頁，共47頁。【例1】 (江蘇南通調研題)一動圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓 O2：(x3)2y281內切，試求動圓圓心的軌跡方程 思路(sl)點撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關，據此可以找到動圓圓心滿足的條件 解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設條件，可知MO11R，MO29R.MO1MO210.由橢圓的定義(dngy)知：M在以

10、O1、O2為焦點的橢圓上，且a5，c3，b2a2c225916.故動圓圓心的軌跡方程為 第18頁/共47頁第十八頁，共47頁。變式1：已知圓A：(x3)2y2100，圓A內一定點B(3,0)，動圓P 過B點且與圓A內切，求圓心(yunxn)P的軌跡方程. 解：設|PB|r.圓P與圓A內切，圓A的半徑為10，兩圓的圓心(yunxn)距PA10r，即PAPB10(大于AB)點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓2a10,2cAB6.a5，c3.b2a2c225916，即點P的軌跡方程為 第19頁/共47頁第十九頁，共47頁。1橢圓的性質常涉及一些不等關系(gun x)，例如對橢圓 (ab0)， 有a

11、xa，byb,0e1等，在求與橢圓有關的一些(yxi)量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時，經常用到這些不等關系 2求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形當涉及(shj)到頂點、焦點、準線、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系 關系構造出關于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍離心率e與a、b的關系： 3 求橢圓離心率問題，應先將e用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些第20頁/共47頁第二十頁，共47頁。的兩焦點(jiodin)為F1、 F2 , P是橢圓(tuyun)上一點且 =0，試求該橢圓(tuy

12、un)的離心率e的取值范圍思路點撥：利用0 x2a2建立關于a與c的不等式 【例2】第21頁/共47頁第二十一頁，共47頁。即 又 聯立消去(xio q)y得：e2x c2b2，又c2a2b2，e2 2c2a2. 據題意，P點在橢圓上，但不在x軸上，0 于是02c2a2b0)上任意一點(y din)，F1為其左焦點 (1)求|PF1|的最小值和最大值； (2)在橢圓(tuyun) 上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直 思路點撥：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1與x0，a，e之間的關系求最值；(2)用PF1、PF2與x0，a，e之間的關系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x

13、0. 第24頁/共47頁第二十四頁，共47頁。解：(1)對應(duyng)于F1的準線方程為x PF1aex0.又ax0a， 當x0a時，PF1mina 當x0a時，PF1maxa(2)a225，b25，c220，e2 (aex0)2(aex0)24c2.將數據代入得25 代入橢圓方程得P點的坐標為 第25頁/共47頁第二十五頁，共47頁。變式3：已知點P在橢圓(tuyun) 1(ab0)上， F1、F2為橢圓(tuyun)的兩個焦點， 求PF1PF2的取值范圍 解：設P(x0，y0)，橢圓(tuyun)的準線方程為y 不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點，則 PF2a PF1PF2 當y00

14、時，PF1PF2最大，最大值為a2；當y0a時，PF1PF2最小，最小值為a2c2b2.因此，PF1PF2的取值范圍是b2，a2 y0a，ay0a， 第26頁/共47頁第二十六頁，共47頁。1直線與橢圓位置關系的判定 把橢圓方程(fngchng) 1(ab0)與直線方程(fngchng)ykxb聯立消去y，整理 成形如Ax2BxC0的形式，對此一元二次方程(fngchng)有：(1)0，直線與橢圓相交，有兩個公共點(2)0，直線與橢圓相切，有一個公共點(3)b0)的兩個(lin )焦點為F1，F2， 點P在橢圓C上，且PF1F1F2，PF1 (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l過圓x2y24

15、x2y0的圓心M，交橢圓C于A，B兩 點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程 第28頁/共47頁第二十八頁，共47頁。思路點撥：(1)可根據橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設斜率為k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系及中點坐標(zubio)公式求解；解法二：設出A、B兩點坐標(zubio)，代入橢圓方程，作差變形，利用中點坐標(zubio)公式及斜率求解(即點差法) 第29頁/共47頁第二十九頁，共47頁。解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2aPF1PF26，a3. 在RtPF1F2中，F1F2 故橢圓的半焦距c 從而b2a2c24，所以橢圓C的方程為 (2)設點A

16、，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)已知圓的方程為(x2)2(y 1)25，所以圓心(yunxn)M的坐標為(2,1)，從而可設直線l的方程為：yk(x 2)1，代入橢圓C的方程得：(49k2)x2(36k218k)x36k236k270. 因為A，B關于點M對稱，所以 2，解得k 所以直線l的方程為y (x2)1，即8x9y250.(經檢驗(jinyn)，所求直線方程符合題意)第30頁/共47頁第三十頁，共47頁。變式4：斜率(xil)為1的直線l與橢圓 y21相交于A、B兩點，則 AB的最大值為_解析：設橢圓(tuyun)截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由 消去y

17、，得5x28tx4(t21)0.則有x1x2 t，x1x2 .AB |x1x2| ，當t0時，|AB|max 第31頁/共47頁第三十一頁，共47頁。2(1)如果已知橢圓 1(ab0)上一點P，需要解決有關 PF1F2的問題，由于在PF1F2中已知F1F22c， PF1PF22a，如果再給出一個條件，PF1F2可 解(2)當然如果涉及到橢圓上點到焦點的距離，也可 考慮由 和方程(fngchng)推出的結論焦半徑公式 PF1aex0，PF2aex0.【規律方法(fngf)總結】1求橢圓方程：(1)可通過對條件的“量化”根據(gnj)兩個條件利用待 定系數法求橢圓的標準方程；(2)可利用求軌跡方程

18、的方法求橢圓方程第32頁/共47頁第三十二頁，共47頁。3在掌握橢圓簡單幾何性質的基礎上，能對橢圓性質有更多的了 解，如(1)ac與ac分別為橢圓上點到焦點距離(jl)的最大值和最小 值；(2)橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長 ，是過橢圓焦 點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等4求橢圓的離心率e ，可根據已知條件列出一個(y )關于a、b、c 的齊次等式，再結合a2b2c2可得關于e的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標準方程相比較，比求橢圓的標準方程少一個(y )條件. 第33頁/共47頁第三十三頁，共47頁?！纠?】 (2009重慶卷)已知橢圓 1(ab0)的左、右焦點分別 為F1(c

19、,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在(cnzi)點P使 ，則該橢圓的離心率的取值范圍為_分析：在PF1F2中根據正弦定理建立(jinl)關系式和已知條件比較尋找關于離心率e的不等式【高考(o ko)真題】第34頁/共47頁第三十四頁，共47頁。規范解答：根據已知條件PF1F2，PF2F1都不等于0，即點P不是橢圓的左、右頂點，故P，F1，F2構成(guchng)三角形在PF1F2中，由正弦定理得 ，則由已知得 ，即aPF1cPF2.設點P(x0，y0)，由焦點半徑公式，得PF1aex0，PF2aex0，則a(aex0)c(aex0)得x0 ，由橢圓的幾何性質知x0a，則 a，第35頁/共47頁

20、第三十五頁，共47頁。 整理得e22e10， 解得e 1. 又e(0,1)，故橢圓的離心率(xn l)e( 1,1) 故填( 1,1) 答案：( 1, 1) 第36頁/共47頁第三十六頁，共47頁。【全解密(ji m)】本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質、正弦定理等基礎知識，但試題的核心考查點是分析(fnx)問題、解決問題的能力，試題給出的 實際上是給出了這個橢圓上點P到左、右焦點的兩條焦半徑之間的一個等量關系，要求考生根據這個等量關系建立關于離心率的不等式，對能力有較高的要求試題設計新穎，是一道值得仔細品味的試題【命題(mng t)探究】第37頁/共47頁第三十七頁，共47頁。橢圓的焦點

21、(jiodin)半徑果在橢圓C： 1(ab0)中，點P(x0，y0)，F1，F2分別為左、右焦點，則PF1aex0，PF2aex0，F1F22c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于(yuy) 1，故 ，根據兩點間的距離公式PF1 =又由于(yuy)ax0a，所以0ca x0aca，故PF1 x0aaex0；根據橢圓定義PF22aPF12a(aex0)aex0，F1F22c.【知識(zh shi)鏈接】 第38頁/共47頁第三十八頁，共47頁。注：(1)通常把PF1、PF2稱為該橢圓的左、右焦點半徑，從這個規律可以(ky)看出焦點在x軸上的橢圓的焦點半徑只與點P的橫坐標有關，同理可以(ky)

22、寫出焦點在y軸上的橢圓的焦點半徑(2)由PF1aex0知當x0a時，PF1最小，當x0a時，PF1最大(雖然這時F1，F2已經不能構成三角形，但我們上面的推導并沒有用到P，F1，F2構成三角形這個條 件) 第39頁/共47頁第三十九頁，共47頁。橢圓離心率范圍問題基本分析思路：求解橢圓的離心率實際上就是建立一個關于離心率的不等式，這個不等式可以通過建立a，b，c的不等式達到目的，在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑(tjng)：一是橢圓幾何性質，如根據橢圓上點的坐標的范圍與已知條件建立不等式；二是涉及直線與橢圓相交時，直線方程與橢圓方程聯立消元后所得到的一元二次方程的判別式大于零；三是題目中給

23、出的或能夠根據已知條件得出的不等關系式【方法(fngf)探究】 【技巧(jqio)點撥】 在橢圓中，當橢圓上的點不是其長軸的兩個端點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構成一個三角形，這個三角形中一個邊長等于焦距，另兩個邊長之和等于長軸的長，在這個三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些問題第40頁/共47頁第四十頁，共47頁。【發散(fsn)思維】本題也可以按如下方法解答(jid)：據“規范解答(jid)”知PF1 PF2，由橢圓的定義知PF1PF22a，則 PF2PF22a，即PF2 .由橢圓的幾何性質知PF2ac，則 0，所以e22e10，從而可求出離心率e的范圍【誤點(w din)警示】 本

24、題易出現的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“PF1F2，PF2F1都不能等于0”，這樣會導致在最后的答案中含有離心率等于 1.解答數學題目要注意對隱含條件的挖掘，確保答案準確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此. 第41頁/共47頁第四十一頁，共47頁。1已知橢圓x2 1和直線y2xm恒有兩個不同的交點，求兩交點連線的 中點軌跡(guj)方程分析：解決直線與圓錐曲線的關系問題，除利用根與系數(xsh)關系外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法解：設直線與橢圓的兩個交點(jiodin)的坐標為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有 第42頁/共47頁第四十二頁，共47頁。設