1、人教版高中數學選修2-2 教案全集第一章 導數及其應用§變化率問題教學目標：1 理解平均變化率的概念；2 了解平均變化率的幾何意義；3 會求函數在某點處附近的平均變化率教學重點：平均變化率的概念、函數在某點處附近的平均變化率；教學難點：平均變化率的概念教學過程：一創設情景為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象，在數學中引入了函數，隨著對函數的研究，產生了微積分，微積分的創立以自然科學中四類問題的處理直接相關：一、已知物體運動的路程作為時間的函數, 求物體在任意時刻的速度與加速度等二、求曲線的切線;三、求已知函數的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導數是微積分的核心概

2、念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。導數 研究的問題即 變化率問題 ： 研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度二新課講授（一）問題提出問題 1 氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度，如何描述這種現象呢？氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm之間的函數關系是V(r) 如果將半徑r表示為體積V的函數，那么r(V) 3：3V4 4分析:3V r(V),廠， 當V從0增加到1時，氣球半徑增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)氣球的平均膨脹率為r 0.62(dm/L) 1

3、 0當V從1增加到2時，氣球半徑增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)氣球的平均膨脹率為r(2)0.16(dm/L) 2 1可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸思考：當空氣容量從 V增加到V2時，氣球的平均膨脹率")r(V1)V2 V1問題2高臺跳水在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度 h(單位:存在函數關系h(t尸+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速V度粗略地描述其運動狀 態？ 思考計算：0 t 0.5和1 t 2的平均速度v在 0 t 0.5這段時間里，V h(0.5) h(0) 4.05(m/s)；0.5 0在1 t 2這段時間里，V h(2) h

4、8.2(m/s)2 1探究：計算運動員在0 t 65這段時間里的平均速度，并思考以下問題:49運動員在這段時間內使靜止的嗎？ 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎? 探究過程：如圖是函數h(t)=+10的圖像，結合圖形可知，h(65) h(0),4965_ h(左)h(0)所以 v 49 0(s/m),65八049雖然運動員在0 t 65這段時間里的平均速度為 0(s/m),但實際情況是運動員仍然運動, 49并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態.(二)平均變化率概念：1 .上述問題中的變化率可用式子f(x2) f(xi)表示,稱為函數f(x)從X1到X2的平均變

5、化X2 Xi率2 .若設XX2X1,ff (x2)f(X1)(這里X看作是對于Xi的一個“增量”可用Xi+X代替 X2,同樣 f yf(X2) f (Xi)3 , 則平均變化率為 -y 工(f 工(X)一 XXX2 XiX思考：觀察函數f(X)的圖象平均變化率 f(X2) f(Xi)表示什么？ 上三.典例分析例i.已知函數f(X)= X2 X的圖象上的一點A( i, 2)及臨近一點B( i x, 2 y),則解：2 y (1x)2 ( 1 x),2-. y ( 1 x) ( 1 x) 2, 3 xxx例2.求y x2在x xo附近的平均變化率。解：y (xox)2 x。2,所以，30x)2 J

6、xx所以y x2在x xo附近的平均變化率為2xox 四.課堂練習1 .質點運動規律為s t2 3,則在時間(3,3 t)中相應的平均速度為 2 .物體按照s( t尸3t 2+t +4的規律作直線運動，求在4s附近25平3勻幻化率.x二時割3 .過曲線y=f(x)=x3上兩點P (1, 1)和Q(1+ Ax,1+Ay)作曲線的割線，求出當線的斜率.五.回顧總結1 .平均變化率的概念2 .函數在某點處附近的平均變化率六.教后反思：§導數的概念教學目標：1 . 了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2 .理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵;3 .會求函數在某點的導數

7、教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念；教學難點：導數的概念.教學過程：一.創設情景(一)平均變化率(二)探究：計算運動員在0 t空這段時間里的平均速度，并思考以下問題: 49運動員在這段時間內使靜止的嗎？ 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?探究過程：如圖是函數h(t)=+10的圖像，結合圖形可知，h(竺)h(0),49所以v65h(右)h(0)4965 0490(s/m),雖然運動員在0 t65這段時間里的平均速度為49際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均描述運動員的運動狀態.0(s/m),但實速度不能精確二.新課講授1.瞬時速度我們把物體在某一時刻的速

8、度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一& 時，在2+&,2這段時間內，AeaO時，在2,2+拉這段時間內一- 斌 2) AQ + &) 4JA?+13.1A£- -4,9A? -13 1AZ-2-Q + &)-&/= T9&-13.1(2+竭-2AE寸=-49&-13當4 =-001時,上=1W.05L 爐當 A2= 0 01 時，Az = -13.051s1當& =-0.001 時,4 =-13.0951：/當 Af = O.Q(H時.hi = -13.0951 r .當& = 0 001 時，Ax

9、=-13,09951； 一當 4 = 0.001 時，Az =-13.0995b Q當& =-0.0001時，=-13.099951, q當人金=。一。001 時，Af = -13.099951； /當& = -0,00001 時，4 = -13。箕95L 當4 = 0.00。01時,4 =-13.099951； V I I » J時刻的瞬時 速度，那么，如何求運動 員的瞬時速 度呢？比如，t 2時的瞬 時速度是多少？考察t 2附近的情況：思考：當t趨近于0時，平均速度V有什么樣的變化趨勢？結論：當t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于 2的一邊趨近于2時,

10、平均速度v都趨近于一個確定的值13.1.從物理的角度看，時間t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度，因止匕，運動員在t 2時的瞬時速度是 13.1m/s為了表述方便，我們用lim h(2(2)13.1t 0t表示“當t 2, t趨近于0時，平均速度V趨近于定值13.1”小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2導數的概念從函數y=f (x)在x=x0處的瞬時變化率是：我們稱它為函數y f(x)在x x0出的導數，記作f'(%)或y 1%,即說明：(1)導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 x

11、x x0,當 x 。時，x x0,所以 f(x0)lim0f(xx x0(xo)例1. (1)求函數y=3x2在x=1處的導數.分析：先求 f=Ay=f( 1 + A x)- f( 1 )=6 Ax+( Ax)2再求6 x再求lim 6 xx 0 x解：法一定義法(略)一 2 一 2_ 223x2 3 123(x2 12)法一：y|x1 lim lim -) lim3( x 1) 6x 1 x 1 x 1 x 1 x 1(2)求函數f(x)= x2 x在x 1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數.2-解：( 1 x) ( 1 x) 2 3 xxx例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠

12、等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度(單位：°C)為f(x) x2 7x 15(0 x 8),計算第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是 f'(2)和f'(6)根據導數定義， f(2x) f(x0) xx所以 f (2) lim。 lim( x 3)3同理可得：f (6) 5在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為3和5,說明在2h附近，原油溫度大約以3oC/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5oC/h的速率上升.注：一般地，f'(%)反映了原

13、油溫度在時刻xo附近的變化情況.四.課堂練習1 .質點運動規律為s t2 3,求質點在t 3的瞬時速度為.2 .求曲線丫="乂)=乂3在乂 1時的導數.3 .例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.五.回顧總結1 .瞬時速度、瞬時變化率的概念2 .導數的概念六.教后反思：§導數的幾何意義教學目標：1 . 了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2 .理解曲線的切線的概念；3 .通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義，并會用導數的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義；教學難點：導數的幾何意義.教學過程：一.創設情景(

14、一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時速度、導數我們知道，導數表示函數 y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數y=f(x)在x=xo附近的變化情況，導數f (%)的幾何意義是什么呢？二.新課講授(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖，當pn(xn，f(xn)(n 1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點P(X0, f(X0)時，割線PPn的變化趨勢是什么？切線PT的斜率k為多少?容易知道，割線PPn的斜率是kf(Xn) f(Xo),當點r沿著曲線無限接近點 p時，心無XnXo限趨近于切線PT的斜率k ,即k limX 0f(X0X) f (X0)f (X0)X說明：(1)設切線的傾斜角為

15、a,那么當 Xf0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念：提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法切線斜率的本質一函數在X X0處的導數.(2)曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關；2)要根據割線是否有極限位置來判斷 與求解.如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；3)曲線 的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.(二)導數的幾何意義：函數y=f (x)在x=xo處的導數等于在該點(x0, f(x0)處的切線的斜率，即 f(x0) lim x-x) f(Xo) k x 0x說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟：求

16、出P點的坐標；求出函數在點x。處的變化率f (x。)lim Uxx) f(x0) k ，得到曲線在點 x 0x(x0, f(x0)的切線的斜率；利用點斜式求切線方程.(二)導函數：由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到，當時，f (x0)是一個確定的數，那么，當x 變化時，便是x的一個函數，我們叫它為f(x)的導函數.記作：口*)或丫， f (x x) f (x)： f (x) y lim x 0x注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數.(三)函數f(x)在點x0處的導數f(x0)、導函數f(x)、導數 之間的區別與聯系。(1)函數在一點處的導數 f(x0),就是在該點的函數的改變量與

17、自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。(2)函數的導數，是指某一區間內任意點x而言的，就是函數f(x)的導函數(3)函數f(x)在點x0處的導數 r(%)就是導函數f (x)在x %處的函數值，這也是 求函數 在點x0處的導數的方法之一。三.典例分析例1: (1)求曲線y=f(x)=x2+1在點P1,2)處的切線方程.(2)求函數y=3x2在點(1,3)處的導數.(ix)2 i (i2 i) 2 xx2斛.(1)y |x i|xm0x lxm0(2)因為y |xi |而吃 x 1 x 1limqm i)x i x i x i2,y 2 2(x i)即 2x y 0所以，所求切線的斜

18、率為6,因此，所求的切線方程為y 3 6(x i)即 6x y 3 0(2)求函數 f (x)= x2x在x i附近的平均變化率,并求出在該點處的導數.所以，所求切線的斜率為 2,因此，所求的切線方程為i x) 23 xh(x) 4.9x2 6.5x i0,根據圖像，請描述、在t。、ti、t2附近的變化情況.解：我們用曲線h(t)在t0、tt2處的線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況.(1)當t to時，曲線h(t)在to處的切線lox軸，所以，在t to附近曲線比較平切線，刻畫曲比較曲線h(t)平行于坦，幾2,解：工 (1x)(xx例2.(課本例2)如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函

19、數乎沒有升降.(2)ti時,曲線h(t)在ti處的切線li的斜率h(ti) 0,所以，在t ti附近曲線下降，即函數h(x)4.9x2 6.5x 10在t ti附近單調遞減.(3)t2時,曲線h(t)在t2處的切線12的斜率h(t2) 0,所以，在t t2附近曲線下降，即函數h(x)4.9x2 6.5x i0在t t2附近單調遞減.從圖可以看出，直線li的傾斜程度小于直線12的傾斜程度，這說明曲線在 ti附近比在t2附 近下降的緩慢.例3.(課本例3)如圖，它表示人體血管中藥物濃度 c f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化的圖象.根據圖像，估計t 0.2,0.4,0.6,0

20、.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).解：血管中某 一時刻藥物濃 度的瞬時變化 率，就是藥物濃 度f(t)在此時 刻的導數，從圖 像上看，它表示曲線f(t)在此點處的切線的斜率.如圖，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥 物濃度瞬時變化率的近似值.作t 0.8處的切線，并在切線上去兩點，如 (0.7,0.91) , (1.0,0.48),則它的斜率為:,0.48 0.91, ,k 1.41.0 0.7所以 f (0.8)1.4F表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:藥物濃度瞬時變化率f'(t)0四.課堂練習1 .求曲線y=f(x)=x3在點(

21、1,1)處的切線;2 .求曲線y 五在點(4,2)處的切線.五.回顧總結1 .曲線的切線及切線的斜率；2 .導數的幾何意義六.教后反思:§幾個常用函數的導數教學目標:1 .使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y c、y x、y x2、y的x導數公式；2 .掌握并能運用這四個公式正確求函數的導數.教學重點：四種常見函數 y c、y x、y x2、y 1的導數公式及應用x教學難點：四種常見函數y c、y x、y x2、y 1的導數公式x教學過程：一.創設情景我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.那么，對于函數y f(x),

22、如何求它的導數呢？由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所 以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某 些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函 數的導數.二.新課講授1 .函數y f (x) c的導數根據導數定義，因為段一x) f(x) X o xxx所以y則+ lxm0 0 0函數導數y 0表示函數y c圖像(圖)上每一點處的切線的斜率都為 0.若y c表示路程關于時間的函數，則y 0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為 0,即物體一直處于靜止狀態.2 .函數y f(x) x的導數因為H

23、xx) f(x)x x 1所以 y lim ylim1 1x 0x 0x函數導數y 1表示函數y x圖像（圖）上每一點處的切線的斜率都為1.若y x表示路程關于時間的函數，則y 1可以解釋為某物體做瞬時速度為 1的勻速運動.3.函數y f (x) x2的導數22f(x x) f (x) (x x) x所以y函數導數ylim lim(2 x x) 2x x 0 x x 0y 2x表示函數y x2圖像（圖）上點（x,y）處的切線的斜率都為2x ,說明隨著x的變化,切線的斜率也在變化.另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當x 0時，隨著x的增加，函數y x2減少得越來越慢；當x 0

24、時，隨著x的增加，函數y x2增加得越來越快.若y x2表示路程關于時間的函數，則y 2x可以解釋為某物體做變速運動,它在時刻x的瞬時速度為2x.4.函數1 一y f(x) 1的導數x因為上 x所以yf (x x) f(x)xlim y lim(x 0 x x 01)-12)2x x x x5.函數因為yf(x x) f(x) x X Xxxx函數導數11lim .= =x 0、x x . x 2.x(2)推廣：若 y f(x) xn(n Q),則 f (x) nxn 1所以 ylixmo-x1 .課本P13探究12 .課本P13探究2四.回顧總結函數導數五.教后反思：§教學目標：1

25、 .熟練掌握基本初等函數的導數公式；2 .掌握導數的四則運算法則；3 .能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.教學重點：基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則教學難點： 基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則的應用教學過程:五種常見函數y c、y x、y x2的導數公函數導數式及應用二.新課講授（一）基本-初等函數的導數公式表（二）導數函數導數一.創設情景導數運算法則、y的運算法則-、y>/xx1. f(x) g(x) f'(x) g'(x)'2. f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g(x) ,f (x) f

26、 (x)g(x) f (x)g (x)3. -2(g(x) 0)g(x)g(x)(2)推論：cf (x) cf (x)（常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數）例1 .假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為 5% ,物價p （單位：元）與時間t （單位：年)有如下函數關系p(t) Po(1 5%)t ,其中p0為t 0時的物價.假定某種商品的p0那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到)？解：根據基本初等函數導數公式表，有p'(t) 1.05tln1.05所以 p(10) 1.05101n1.05 0.08 (元/年)因此,例2.在第10個年頭，這種商品的價

27、格約為元/年的速度上漲.根據基本初等函數的導數公式和導數運算法則，求下列函數的導數.x x 4) e(1)x3 2x 3(2)(3)x sin x In x ;(4)x不；(5)1ln x1ln x(6)(2x2 5x 1)ex；(7)sin x xcosx cosx xsin x解：(1)'/ 3y (x2x 3)(x3) (2x) (3)3x2 2 ,' c 2y 3x2。(2)(3)(x sin xIn x) (x In x) sin x(4)x 4x x (4x)(4x)21 4x x 4xln 4(4x)21 xln 44xxln 4-o4x(5)(1 lnx),1

28、ln xx(1 ln x)22x(1 ln x)2(6)(2x2 5x' x21) e (2x5x 1) (ex)(4x5)ex (2 x2x5x 1) e (22'2xy (2 x x 4) e o/-7、/sinx xcosx、，y ()cosx xsin x2 x2_30(cosx xsin x)【點評】 求導數是在定義域內實行的. 求較復雜的函數積、商的導數，必須細心、耐心.例3日常生活中的飲水通常是經過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：(1) 90%(

29、2) 98%解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數.(1) 因為c(90)5284 2 52.84,所以，純凈度為90%時，費用的瞬時變化率是元(100 90)2/噸.(2) 因為c(98)5284 2 1321,所以，純凈度為98%時，費用的瞬時變化率是1321(100 90)2元/噸.函數f(x)在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢.由上述計算可知，c(98) 25c(90).它表示純凈度為98%左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為90%左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快.四.課堂練習1 .

30、課本P92練習2 .已知曲線C: y =3 x 4-2 x39 x2+4,求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；五.回顧總結(1)基本初等函數的導數公式表(2)導數的運算法則六.教后反思：教學目標 理解并掌握復合函數的求導法則.教學重點復合函數的求導方法：復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數之積.教學難點正確分解復合函數的復合過程，做到不漏，不重，熟練，正確.一.創設情景導數運算法則1. f(x) g(x) f'(x) g'(x)f(x)g(x)2. f(x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)f (x)g(x) f (x

31、)g (x)2(g(x) 0) g(x)(2)推論：cf (x) cf (x)(常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數)二.新課講授復合函數的概念一般地，對于兩個函數y f(u)和u g(x),如果通過變量u, y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數 y f(u)和u g(x)的復合函數，記作y f g(x)。復合函數的導數復合函數y f g(x)的導數和函數y f(u)和u g(x)的導數間的關 系為yx yu ux ,即y又"t x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.若 y f g(x),則 y f g(x) f g(x) g (x)三.典例分析例1 (課本例4)

32、求下列函數的導數：(1) y (2x 3)2； y e 0.05x 1 ；(3) y sin( x )(其中，均為常數).解：(1)函數y (2x 3)2可以看作函數y u2和u 2x 3的復合函數。根據復合函數求導法則有,2、''Vx Vu ux =(u )(2x 3) 4u 8x 12。(2)函數y e 0.05x1可以看作函數y eu和u0.05x 1的復合函數。根據復合函數求導法則有,u、''u0.05x 1yx Vu ux =(e ) ( 0.05x 1)0.005e0.005e。(3)函數y sin( x )可以看作函數y sinu和u x 的復合函

33、數。根據復合函數求導法則有VxVu Ux=(sinu)( x )cosucos( x例2求y sin(tan x2)的導數.立力 (2、.'，2、2 , 2、 一用牛： y sin(tan x ) cos(tanx ) sec (x ) 2x【點評】求復合函數的導數，關鍵在于搞清楚復合函數的結構，明確復合次數，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導，同時應注意不能遺漏求導環節并及時化簡計算結果.例3求y 廣a的導數.,x2 2ax1 , x2 2ax (x a) -2x_2a解：y' 22x2 2axx 2axa2a2 4 x2 2axx2 2ax x2 2ax(x2 2ax

34、p【點評】本題練習商的導數和復合函數的導數.求導數后要予以化簡整理.例4求y =sin 4x + cos 4x的導數.【解法一】 y =sin 4x + cos 4x=(sin 2x +cos2x)2 2sin 2cos2x= 1 - - sin 22 x2=11 (1 cos 4 x) = - + 1 cos 4 x. y，= sin 4 x. 444【解法二】 y' = (sin 4 x)'+(cos 4 x) ' =4 sin 3 x(sin x)'+ 4 cos 3x (cos x)'=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x ( s

35、in x)=4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)=2 sin 2 x cos 2 x= sin 4 x【點評】解法一是先化簡變形，簡化求導數運算，要注意變形準確.解法二是利用復合函數求 導數，應注意不漏步.例5曲線y =x (x +1) (2-x)有兩條平行于直線 y =x的切線，求此二切線之間 的距離.【解】y = x 3 +x 2 +2 x v =3 x 2+2 x +2令 y' = 1 即 3 x22 x 1 = 0,解得 x = 1或 x = 1. 3于是切點為 P (1, 2), Q(1, 14), 327過點P的切線方程為，y 2 = x -1即

36、x -y +1 = 0.顯然兩切線間的距離等于點 Q到此切線的距離，故所求距離為143 2721|27四.課堂練習2)1 .求下列函數的導數 (1) y =sin x3+sin 33x； y sin2x ；(3) loga (x2 2x 12 .求ln(2x2 3x 1)的導數五.回顧總結六.教后反思：教學目標：1 . 了解可導函數的單調性與其導數的關系;2 .能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間，對多項式函數一般不超過三次;教學重點：利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間教學難點： 利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間教學過程：一.

37、創設情景 函數是客觀描述世界變化規律的重要數學模型，研究函數時，了解函數的贈與減、增減的 快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的.通過研究函數的這些性質，我們 可以對數量的變化規律有一個基本的了解.下面，我們運用導數研究函數的性質，從中體 會導數在研究函數中的作用.二.新課講授1 .問題：圖(1),它表示跳水運動中高度h隨時間t變化的函數h(t)4.9t2 6.5t 10的圖像，圖(2)表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數v(t) h'(t)9.8t 6.5 的圖像.運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？通過觀察圖像，我們可以發現：(

38、1)運動員從起點到最高點，離水面的高度 h隨時間t的增加而增加，即h(t)是增函 數.相應地，v(t) h'(t) 0.(2)從最高點到入水，運動員離水面的高度 h隨時間t的增加而減少，即h(t)是減函 數.相應地，v(t) h'(t) 0 .2 .函數的單調性與導數的關系 觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系.如圖，導數 六孔)表示函數f(x)在點(。，丫0)處的切線的斜率.在x %處，f'(x。)0,切線是“左下右上”式的，這時，函數f(x)在x°附近單調遞增;在x X處，f'(x。)0,切線是“左上右下”式的，這時，函數 f(x

39、)在X附近單調遞減. 結論：函數的單調性與導數的關系在某個區間(a,b)內，如果f'(x) 0,那么函數y f(x)在這個區間內單調遞增；如果 f'(x) 0,那么函數y f(x)在這個區間內單調遞減.說明：(1)特別的，如果f'(x) 0,那么函數y f(x)在這個區間內是常函數.3 .求解函數y f(x)單調區間的步驟：(1)確定函數y f(x)的定義域；(2)求導數 y' f'(x);(3)解不等式f'(x) 0,解集在定義域內的部分為增區間；(4)解不等式f'(x) 0,解集在定義域內的部分為減區間.三.典例分析例1.已知導函數f

40、'(x)的下列信息:當 1 x 4 時，f'(x) 0；當 x 4 ,或 x 1 時，f '(x) 0 ;當 x 4 ,或 x 1 時，f '(x) 0試畫出函數y f(x)圖像的大致形狀.解：當1 x 4時，f'(x) 0,可知y f(x)在此區間內單調遞增；當x 4,或x 1時，f'(x) 0；可知y f(x)在此區間內單調遞減；當x 4,或x 1時，f'(x) 0,這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”綜上，函數y f(x)圖像的大致形狀如圖所示.例2.判斷下列函數的單調性，并求出單調區間.(1) f(x) x3 3x;(2) f

41、(x) x2 2x 3(3) f (x) sin x x x (0, )；(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1解：(1)因為f (x) x3 3x,所以，因此，f(x) x3 3x在R上單調遞增，如圖(1)所示.(2)因為 f(x) x2 2x 3 ,所以， f'(x) 2x 2 2 x 1當f'(x) 0,即x 1時，函數f (x) x2 2x 3單調遞增；當f'(x) 0,即x 1時，函數f (x) x2 2x 3單調遞減；函數f (x) x2 2x 3的圖像如圖(2)所示.(3)因為 f (x) sin x x x (0,),所以，f'(x) c

42、osx 1 0因此，函數f(x) sinx x在(0,)單調遞減，如圖(3)所示.(4)因為 f (x) 2x3 3x2 24x 1,所以.當 f'(x) 0,即 時，函數 f(x) x2 2x 3；當 f'(x) 0,即 時，函數 f(x) x2 2x 3;函數f (x) 2x3 3x2 24x 1的圖像如圖(4)所示.注:(3)、(4)生練例3.如圖，水以常速(即單位時間內注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖像.分析：以容器(2)為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加

43、得越來越快.反映在圖像上，(A)符合上述變化情況.同理可知其它三種容器的情況.解：1 B , 2 A , 3 D , 4 C思考：例3表明，通過函數圖像，不僅可以看出函數的增減，還可以看出其變化的快慢.結合圖像，你能從導數的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩” 一些.如圖所示，函數y f(x)在0,b或a,0內的圖像“陡峭”，在b, 或 ,a內的圖像“平緩”.例4.求證：函數y 2x3 3x2 12x 1在區間 2,1內是減函數.證明：因為 y' 6x2 6x

44、 12 6 x2 x 2 6 x 1 x2當x 2,1即2 x 1時，y' 0,所以函數y 2x3 3x2 12x 1在區間 2,1內是減函 數.說明：證明可導函數 f x在a,b內的單調性步驟：(1)求導函數f' x ;(2)判斷f' x在a,b內的符號；(3)做出結論：f' x 0為增函數，f' x 0為減函數.例5.已知函數f(x) 4x ax2 |x3 (x R)在區間1,1上是增函數，求實數a的取值范圍.解：f'(x) 4 2ax 2x2 ,因為f x在區間 1,1上是增函數,成立，即x2 ax 2 0對x 1,1恒成立，解之得：1 a

45、 1所以實數a的取值范圍為1,1 .說明：已知函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型,所以f(x) 0對x 1,1恒常利用導數與函數單則f'(x) 0”來求解，注調性關系：即“若函數單調遞增，則f'(x) 0;若函數單調遞減, 意此時公式中的等號不能省略，否則漏解. 1例6.已知函數y=x+-,試討論出此函數的單調區間 x1解：V' =(x+1)'x22 x=-x1 (x 1)(x 1)=11- x令(x 吁 1)>0. x2解得x>1或xv 1.1 ， y=x+的單調增區間是(一°°, 1)和(1 , +°

46、76;).令(x_l)(_x_1)0,解得1乂0或0乂1. x1 一，y=x+的單調堿區間是(一1, 0)和(0, 1).四.課堂練習1 .求下列函數的單調區間4. y=xlnx321(x)=2x 6x+7 ( x)= +2x 3. f (x)=sin x , x 0,2 x2 .課本 練習五.回顧總結(1)函數的單調性與導數的關系(2)求解函數y f(x)單調區間(3)證明可導函數f x在a,b內的單調性六.教后反思：§教學目標：1 .理解極大值、極小值的概念；2 .能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值；3 .掌握求可導函數的極值的步驟；教學重點：極大、極小值的概念和判別

47、方法，以及求可導函數的極值的步驟教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數的極值的步驟教學過程：一.創設情景觀察圖，我們發現，t a時，高臺跳水運動員距水面高度最大.那么，函數 h(t)在此點 的導數是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數的符號有什么變化規律？放大t a附近函數h(t)的圖像，如圖.可以看出h(a);在t a,當t a時，函數h(t)單 調遞增，h(t) 0;當t a時，函數h(t)單調遞減，h(t) 0;這就說明，在t a附近，函數 值先增(t a, h(t) 0)后減(t a, h(t) 0 ).這樣，當t在a的附近從小到大經過a時, h(t)先正后負，且 h

48、(t)連續變化，于是有 h (a) 0.對于一般的函數y f x ,是否也有這樣的性質呢？附：對極大、極小值概念的理解，可以結合圖象進行說明.并且要說明函數的極值是就函數在某一點附近的小區間而言的.從圖象觀察得出，判別極大、極小值白方法.判斷極值 點的關鍵是這點兩側的導數異號 .二新課講授1 問題： 圖( 1) ，它表示跳水運動中高度h 隨時間 t 變化的函數h(t)4.9t2 6.5t 10 的圖像，圖(2)表示高臺跳水運動員的速度v 隨時間 t 變化的函數v(t) h'(t)9.8t 6.5 的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？通過觀察圖像

49、，我們可以發現：(3)運動員從起點到最高點，離水面的高度 h隨時間t的增加而增加，即h(t)是增函 數相應地，v(t) h'(t) 0 (4)從最高點到入水，運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少，即h(t)是減函數相應地，v(t) h'(t) 0 2 函數的單調性與導數的關系觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系如圖，導數f'(xo)表示函數f (x)在點(xo, yo)處的切線的斜率.在x Xo處，f'(xo) 0,切線 是“左下右上”式的，這時，函數 f(x)在x。附近單調遞增；在x為處，f'(xo) 0,切線是 “左上右下”式的

50、，這時，函數f (x) 在 x1 附近單調遞減結論：函數的單調性與導數的關系在某個區間(a,b)內，如果f'(x) 0,那么函數y f(x)在這個區間內單調遞增；如果f'(x) 0,那么函數yf(x)在這個區間內單調遞減.說明：(1)特別的，如果f'(x) 0,那么函數yf(x)在這個區間內是常函數.3 .求解函數yf(x)單調區間的步驟：( 1)確定函數y f (x) 的定義域；( 2)求導數y'f' (x) ；( 3)解不等式f' (x) 0 ，解集在定義域內的部分為增區間；( 4)解不等式f'(x) 0 ，解集在定義域內的部分為減區

51、間三典例分析例1 .(課本例4)求f x1 c-x 4x 4的極值.3解：因為f x -x3 4x 4,所以 3f x x2 4 (x 2)(x 2) o下面分兩種情況討論：(1)當 f' x >0,即 x 2,或 x 2 時；(2)當 f' x <0,即 2 x 2 時.當x變化時，f' x , f x的變化情況如下表:-2(-2,2)2+0一0+/極大值283極小值43/因此，當x 2時，f(x)有極大值，并且極大值為f( 2) 一;3當x 2時，f(x)有極小值，并且極小值為f (2)4。31 O函數f x -x3 4x 4的圖像如圖所不。 3例2求y

52、=(x2 1)3+1的極值.解：v' =6x(x21)2=6x(x+1)2(x 1)2令 y' =0 解得 x1二1, x2=0, x3=1.當x變化時，y' , y的變化情況如下表.-1(-1,0)0(0,1)1一0一0+0+無極值極小值0/無極值/二當x=0時，y有極小值且 y極小值 =01 .極大值：一般地，設函數f(x)在點X0附近有定義，如果對X0附近的所有的點，都有 f(x) vf(x 0),就說f(x 0)是函數f(x)的一個極大值，記作 y極大值=30), X0是極大值點.2 .極小值：一般地，設函數f(x)在x。附近有定義，如果對x。附近的所有的點，都

53、有f(x) >f(x 0).就說f(x 0)是函數f(x)的一個極小值，記作 y極小值=f(x °), x0是極小值點.3 .極大值與極小值統稱為極值.注意以下幾點：(i )極值是一個局部概念.由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較 是最大或最小.并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.(ii)函數的極值不是唯一的.即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不 止一個.(iii)極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示，xi是極大值點，x4是極小值點，而f(x4)>f(xi).(iv)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點4 .判別f(x0是極大、極小值的方法：若x0滿足f (x0) 0,且在x0的兩側f(x)的導數異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是 極值，并且如果f(x)在x0