1、高考數(shù)學(xué)（文）沖刺專題復(fù)習(xí)之平面向量一、知識點(diǎn)梳理（一）平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量 (與共線的單位向量是)(4)平行向量（又叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行（共線）。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；(5)相等向

2、量：長度相等且方向相同的向量，相等向量有傳遞性(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1) 交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)（1）定義：加法：（1）向量加法的三角形法則：；其要求是：（）前一向量的終點(diǎn)與后一向量的起點(diǎn)的重合，（）由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)。（2）向量加法的平行四邊形法則：其要求是：（）把兩個(gè)向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，（）向量的和為這兩鄰邊所

3、夾的對角線。 （3）由有向線段首尾順次相接所圍成的封閉圖形結(jié)果為。即：（）（三角形三邊的向量和） （）。一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量減法：，其要求是：（1）兩個(gè)向量的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，（2）由后一個(gè)向量的終點(diǎn)指一向前向量(2)坐標(biāo)運(yùn)算：若a=（）,b=（）則ab=（）（3）幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,=,=且有+3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0

4、時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)運(yùn)算律：設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)若=（），則=（）4共線向量定理(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=(2) 若=（）,b=（）則b注意：(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合（二） 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

5、不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b共線注意：（1）向量坐標(biāo)與

6、點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變，即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化（2）誤區(qū)1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.（三）平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)，作a

7、，b，則AOB(0180)叫做向量a與b的夾角，當(dāng)0時(shí)，a與b同向；當(dāng)180時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.2兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，其中bcos稱為向量b在方向上的投影。規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.3向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的數(shù)量積4向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)eaae|a|cos ；(2)bb=0（，b

8、為非零向量）；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|，特別的，aa|a|2或者=；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件（因a和b的夾角可能為0）；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件（因a和b的夾角可能為180）；(4)cos ；得(5)|ab|a|b|.5向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切

9、記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為，則(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)注意：(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足abac(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(a

10、b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等(3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120，而不是60.（三）平面向量的應(yīng)用1向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：abab0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角)2平面向

11、量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角)一個(gè)手段實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算兩條主線(1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題6.主要思想與方法：本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的

12、觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點(diǎn)。歸納總結(jié)：1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a=（x1,y1），b=（x2,y2）則a+b=（x1+ x2, y1+y2），a-b=（x1-x2, y1-y2），若=（x,y），R，則=（x, y），坐標(biāo)向量的大小|=x2+y2兩向量平行（共線）的充要條件：若=（x1,y1），=（x2,y2），0若A（x1,y1），B（x2,y

13、2），則=（x2-x1, y2-y1）距離公式：|=（x1-x2）2+(y2-y1)2若=(x1,y1),=(x2,y2),則=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2。向量垂直的充要條件：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，則.特別地向量夾角公式的坐標(biāo)表示：兩個(gè)向量=(x1,y1),=(x2,y2)，、的夾角為，則cos=2、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地：當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中：若，則其重心的坐標(biāo)為；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所

14、在直線)；的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且. 二、考點(diǎn)、題型及方法考點(diǎn)1 平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算（模長、平行、垂直、夾角、投影等問題）1、（上海）已知向量，若，則等于( )（A）. （B）. （C）. （D）解析：由題意得2-（-3）3=0，所以=。2、（湖南卷文）在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( )ABC D【解析】由余弦定理得所以選.3、（浙江卷文）已知向量，若向量滿足，則（D）A B C D4、（江西卷文）已知向量，若則=答案：【解析】因?yàn)樗?5、(江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向

15、量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_解析由題意知：ab(e12e2)(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，即kcos 2kcos20，化簡可求得k.6、（浙江卷）已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（A）1 （B）2 （C）（D）解析：本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題。展開則的最大值是;或者利用數(shù)形結(jié)合,，對應(yīng)的點(diǎn)A,B在圓上,對應(yīng)的點(diǎn)C在圓上即可. 7、(廣東)若向量a，b，c滿足ab且ac，則c(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，則c(a2b)ca2cb0.故選D.答案D8、（全國卷）

16、已知向量，則（）A. B. C.D. 解：。故選C9、（遼寧卷）平面向量a與b的夾角為，則（A） (B) (C) 4 (D)12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 選B10、(新課標(biāo)全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4解析由|ab|1，得22cos 1，cos ，0.由|ab|1，得22cos 1，cos ，.p1，p4正確答案A11、(全國文)設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，ab，則|a2b

17、|()A. B. C. D.解析依題意得(a2b)2a24b24ab543，則|a2b|，故選B.12、(湖北文)已知向量a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()AB. C. D.解析2ab(3,3)，ab(0,3)，則cos2ab，ab，故夾角為，選C.13、（寧夏）若，且，則與的夾角是（ ）ABCDB14、若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_.錯(cuò)誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因?yàn)榈膴A角為時(shí)也有從而擴(kuò)大的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法:，的夾角為鈍角, 解得或(1)又由共線且反向可得 (2)由(1),(2)得的范圍是答案: .訓(xùn)練1 設(shè)平

18、面向量=(2，1)，=(，1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A、 B、C、 D、錯(cuò)因：忽視使用時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況，正解：A訓(xùn)練2 已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；15.（浙江卷文）已知是平面內(nèi)的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是16、17、(舍負(fù)). 18.（陜西卷文）關(guān)于平面向量有下列三個(gè)命題：若，則若，則非零向量和滿足，則與的夾角為其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）解：，向量與垂直構(gòu)成等邊三角形，與的夾角應(yīng)為所以真命題只有。考點(diǎn)2 向量的數(shù)乘的幾何意義1.（江西卷文）如圖，正六邊形中，有下列四個(gè)命題：ABCD其中真命題的代號是（寫出所有

19、真命題的代號）【解析】,對取的中點(diǎn),則,對設(shè),則,而,錯(cuò)又,對真命題的代號是2、（遼寧卷）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則 ABCD解析：本小題主要考查平面向量的基本定理。依題答案：A3、在中，若點(diǎn)滿足，則=（ ）A. B. C. D. 【解法一】 4.(山東卷)設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【解析】:因?yàn)椋渣c(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B。答案：B。【命題立意】:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，5、（湖北文）設(shè)，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為（）ABCD訓(xùn)練（1）已知，求在方向上的投影（2）已知，求在方向上的投

20、影6、（安徽文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，或=+，其中，R ，則+= _。【解析】設(shè)、則 , ,代入條件得【答案】4/37.（天津卷）如圖，在平行四邊形中，則.解析：令，則所以.8、（安徽）在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（用表示）9、（湖北）5已知和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m=A2 B3 C4 D510、（湖南）在中，=90AC=4，則等于A、-16 B、-8 C、8 D、1611、（四川文）（6）設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，則（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由16，得|BC|44而故2答案：C12 若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（答：2）考點(diǎn)3平面向量的綜合運(yùn)用1、平面向量與線性規(guī)劃(福建卷)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,22、平面向量與函數(shù)例題(北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，則函數(shù)f(x)(xab)(xba)是()A一次函數(shù)且是奇函數(shù)B一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C二次函數(shù)且是偶函數(shù)D二次函數(shù)但不是偶函數(shù)3、平面向量與三角函數(shù)例題1 (安徽卷)ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值先求sin A，再