1、上海市封浜中學高三數學第二輪專題復習第1講 從高考數學創新題談起創新能力是指在運用已知信息開展思維活動中，產生某種新穎、獨特的有社會或個人價值產品的能力，數學創新能力一般指對已經掌握的數學知識、數學方法進行推廣和拓展，對未來的數學領域通過探索得到新的結果的能力。高中數學中創新能力型問題常見的有以下三種情況：1類比發現型；2拓展推廣型；3設計構造型。一高考中的創新題2006年全國各地高考數學試卷中出現了不少創新題，讓我們來欣賞其中的一些題目：1（廣東卷第10題）對于任意的兩個實數對和，規定：，當且僅當；運算“”為：；運算“”為：，設，若，則（ ）A B C D本題在實數運算的基礎上定義了實數對的

2、兩種新的運算“”和“”，要求考在閱讀理解及準確把握的基礎上，把這兩種新的運算轉化為熟悉的解方程組運算，從而運用已有的知識去分析、解決問題解：由題意，解得，所以正確答案為（B）實際上，本題所定義的實數對的兩種運算就是復數的乘法與加法運算我們可以把該題還原為：已知復數滿足，則_2（陜西卷理第12題）為確保信息安全,信息需加密傳輸,發送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密規則為:明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為( )A4,6,1,7 B7,

3、6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7本題注意敢聯系實際，是近年來高考數學命題的一個特點此類題能較好地體現新課程改革的亮點，信息密碼在現實生活當中無處不在，只要列四元線性方程組就能讀出明文有關密碼安全的教學嘗試，可參考數學教學2006年第2期第4頁的文章這里介紹四種簡單的密碼方案（以數字密碼為例可映射到英文字母或漢語拼音）（1）置換密碼把一個數字置換成另一個數字，必須是一一對應的（2）加法密碼（）（如）（3）乘法密碼（），為常數（4）仿射密碼（乘法和加法相結合）（），互質，3（北京卷理第20題）在數列中，若 、是正整數，且,3，4，5，則稱為“絕對差數列”（1）舉出一個前五項不為零的“

4、絕對差數列”（只要求寫出前十項）； （2）若“絕對差數列”中，,，數列滿足 =1，2，3，分別判斷當時, 與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值； （3）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項解：（1）解：,（答案不惟一）（2）解：因為在絕對差數列中,.所以自第 20 項開始，該數列是,即自第 20 項開始每三個相鄰的項周期地取值 3，0，3. 所以當時，的極限 不存在當時, ,所以（3）證明：根據定義，數列必在有限項后出現零項.證明如下： 假設中沒有零項，由于,所以對于任意的n，都有,從而 當時, ; 當 時, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令則由于是確定的正整數，這樣減

5、少下去，必然存在某項 ，這與()矛盾. 從而必有零項.若第一次出現的零項為第項，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值 0，, , 即所以絕對差數列中有無窮多個為零的項.評析：本題是典型的開放、探索型數列新概念考題實質是遞推數列問題，但命題者賦予了新的定義“絕對差數列”，同時為考生提供了一個廣闊的自由開放的探索空間作為試卷的“壓陣題”，能夠使大多數考生在做題時較容易“上手”，但是要完全地答對就要求考生必須具備扎實的基本功及探索能力本題是一道區分度較強的考題，較好地體現了數學高考“壓陣題”的特點由于新概念型考題能夠較好地考查考生的學習能力、邏輯思維能力、應用能力和創新能力，從而成為近年來高考

6、命題的熱點4（上海卷文第22題）已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數（1）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求的值（2）設常數，求函數的最大值和最小值；（3）當是正整數時，研究函數的單調性，并說明理由解：(1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,當x=時, 函數f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,當1c2時, 函數f(x)的最大值是f(2)=2+；當2c4時, 函數f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)設0x1x2,g(x2)g(x1)=. 當x1g(x1), 函數g(x)在,+)上是增函數； 當0x1x2g(x1),

7、 函數g(x)在(0, 上是減函數. 當n是奇數時,g(x)是奇函數,函數g(x) 在(,上是增函數, 在,0)上是減函數. 當n是偶數時, g(x)是偶函數, 函數g(x)在(,)上是減函數, 在,0上是增函數評析：本題給出函數的性質，注重創新性和探索性，要求考生根據已給出的性質，對該函數進行深入的探討，從數學的角度來講，體現了實踐能力對新穎的信息情境進行設問，以最有效的方法和手段正確地選擇和提煉已給的信息綜合所濱數學知識、思想方法進行獨立的思考、探索和研究，從而確定解決問題的思路，創造性地解決問題我們再來看此題的姊妹題2006年上海市高考數學理科卷第22題：5（上海卷理第22題）已知函數有

8、如下性質：如果常數0，那么該函數在0，上是減函數，在，上是增函數（1）如果函數（0）的值域為6，求的值；（2）研究函數（常數0）在定義域內的單調性，并說明理由；（3）對函數和（常數0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數（是正整數）在區間，2上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）解：（1）易知，時，（2）是偶函數易知，該函數在上是減函數，在上是增函數；則該函數在上是減函數，在上是增函數（3）推廣：函數，當為奇數時，是減函數；，是增函數，是增函數；，是減函數當為偶數時，是減函數；，是增函數 ，是減函數；，是增函數 當時， ，是減函

9、數；，是增函數 函數在區間，2上的最大值為，最小值為與文科題相比，該題在探究能力的要求上明顯要高出一籌6（北京卷理第8題）下圖為某三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段、的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），則（ ）A B C D 解析：本題是比較新穎的實物圖形信息遷移題，是從某三岔路口交通環島的簡化模型中得到信息，并對信息進行加工處理，把實際問題轉化為數學問題，即建構數學模型本題看起來非常麻煩，分析這道題的時候可以把這些量固定住比如把當作一個起點，在動中求靜來解決：到為，即

10、，到就是，即，從流走，所以到為，即這樣就比出來，最大，最小7（湖北卷文第15題）半徑為的圓的面積，周長，若將看作上的變量，則 式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數對于半徑為的球，若將看作上的變量，請你寫出類似于的式子：_式可以用語言敘述為_解：， 球的體積函數的導數等于球的表面積函數評析：本題是由低維到高維的類比型信息遷移題，是某種類型的結論遷移性、相似性的推理形式，它在發現科學奧秘方向要勝于邏輯推理的作用，因為一旦通過類比得到猜想之后，再進行檢驗多數是不難的同時該類題能夠較好地考查考生的創造性思維和發散性思維，因此備受命題者的青睞，成為熱點試題這種類比推廣型的試題，在最近幾

11、年的上海市高考數學試卷中，已是屢見不鮮二上海高考數學試卷中的類比、推廣、構造型題（一）類比發現型通過類比得出新的結論是培養學生創新能力的重要方面，等差數列和等比數列又是高中數學中進行類比的典型例子。1（2000第12題）在等差數列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質，相應地，在等比數列中，若，則有等式_成立此題是把等差數列中的有關加法的性質向等比數列中有關乘法的性質推廣的問題該試題的期初設計了以下幾個問題：（1）給出等差數列的一般性質：在等差數列中，若，則有等式（，）成立若，則有等式_成立（2）給出等比數列的對應性質：在等差數列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質，相應地，在等比數列中，若

12、，則有等式_成立（3）高考原題。（4）給出等比數列的一般性質：在等差數列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質，相應地，在等比數列中，若，則有等式_成立2.（2003年春第21題（3）已知橢圓（ab0）具有性質：若、是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一點，當直線、的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點位置無關的定值，試對雙曲線，寫出具有類似特性的性質，并加以證明（二）拓展推廣型3（1）（2001年第11題）已知兩圓：與，則式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣的命題的一個特例推廣的命題為：_本問題

13、設計的原始命題來源于：（1）如果兩個圓方程相減可以得到它們的公共弦所在直線的方程；（2）兩個圓關于一條直線對稱的充要條件是兩個圓的半徑相等。此題中兩圓半徑均為，在推廣時如果保持兩圓半徑相等，可以得到怎樣的結論？比如：兩個圓的半徑相等，那么無論它們相交、相切、還是相離，已知兩個圓方程相減所得到的方程都是兩個圓的對稱軸方程；進一步地我們還可以思考，如果兩圓的半徑不相等，那么能推廣到怎樣的結論呢？另外已知命題還可以推廣到圓錐曲線，例如：如果兩個橢圓的長、短軸長相等，長軸互相平行，且短軸在一條直線上，那么兩個橢圓方程相減，可以得到已知兩個橢圓的對稱軸方程。4（2002年春第12題）如圖，若從點O所作的

14、兩條射線OM、ON上分別有點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比.若從點O所作的不在同一平面內的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點P1、P2，點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結論為_該試題原來的設計是要求將一個特例推廣到一般的情況：如，在三棱錐P-ABC中，平面a分別交側棱PA、PB、PC于點D、E、F，若平面a平面ABC，則三棱錐的體積之比。若平面a不平行于平面ABC，則三棱錐的體積之比 。但從推廣的角度考慮，用二維到三維的推廣更有意義。5（2003年第19題）已知數列（n為正整數）是首項是a1，公比為q的等比數列求和：由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明本

15、題原設計為最后的“壓陣題”：若實數a1、a2、a3成等差數列，則有a1-2a2+a3=0。將此性質進行推廣，得命題1. 若實數a1、a2、a3、a4成等差數列，則有a1-3a2+3a3 - a4=0；命題2. 若實數a1、a2、a3、a4、a5成等差數列，則有a1-4a2+6a3 - 4a4+ a5=0.（1）命題1及逆命題是否成立？說明理由；（2）試將命題1和命題2歸納概括出關于正整數n的一個命題，加以證明.6（2004年春第20題）如圖，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點，交于點(1) 求證：；(2) 在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩

16、個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明（三）設計構造型問題 7（2004年秋第21題）如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)(1) 證明：P-ABC為正四面體；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(結果用反三角函數值表示)(3) 設棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明；若不存在

17、,請說明理由. 8（2005年秋第21題）對定義域分別是Df、Dg的函數y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當xDf且xDg 規定: 函數h(x)= f(x) 當xDf且xDg g(x) 當xDf且xDg(1) 若函數f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數h(x)的解析式;(2) 求問題(1)中函數h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+), 其中是常數,且0,請設計一個定義域為R的函數y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.從考察創新能力出發，要求學生設計兩個函數經過某種運算得到某個指定的函數，框架中試圖體現函數的“因式分解”思想。最初的設計原型

18、是：利用函數模塊y=f(x)，xD1，y=g(x)，xD2，和一個加法運算器可以構造如下的一個裝置：當輸入xD1但xD2時，輸出F（x）=f(x)，當輸入xD2，但xD1時，輸出F(x）=g(x)；輸入xD1D2時，輸出F(x)= f(x)+g(x).設f(x)=arccosx，g(x)=-cosx.(1)求輸出函數F(x)的表達式；(2)求函數F(x)的最大值，并給出證明；(3)利用函數模塊，其中a、b、c、mz，以及一個乘法計算器，設計一個類似的裝置，使得輸出函數為：三類比與推廣型問題舉例例1（1）證明：過拋物線的焦點作一直線與拋物線交于、兩點，則當與拋物線的對稱軸垂直時，的長度最短；（2

19、）試將上述命題中的拋物線改為其他曲線，寫出相應的一個真命題并加以證明簡解：（1）證明；（2）過橢圓的焦點作一直線與橢圓交于、兩點，則當與橢圓的長軸垂直時，的長度最短（）例2（1）已知實數集合，證明：的充要條件是；（2）試對兩個一元二次方程的解集寫出類似的結果，并加以證明；（3）試對兩個一元二次不等式的解集寫出類似的結果，并加以證明（將（2）（3）結合就成為2003年高考第15題）解：（1），；（2）命題：如果系數和都是非零實數，方程和在復數集上的解集分別是和，則“”是“”的充分必要條件證明：充分性：若，即是方程的解，則，而非零實數和滿足，設，則可得，所以，即是方程的解，即，于是同理可證，所以必

20、要性：如，若，即、是方程和的公共解，則，于是有注：如果在實數集上考慮，則“”是“”的充分不必要條件（3）如果系數和都是非零實數，不等式和的解集分別是和，則“”是“”的既不充分也不必要條件可以舉反例加以說明例3在平面中，三角形具有性質：三角形的中線平分三角形的面積，試將該性質推廣到空間，寫出相應的一個真命題，并加以證明分析：與平面圖形三角形相應的立體圖形為三棱錐，與三角形中線相應的是三棱錐的頂點與底面三角形中線確定的截面這樣，原來平面中是三角形的中線將三角形劃分為兩個面積相等的三角形，推廣到空間如下的命題：過三棱錐頂點及底面三角形中線的截面平分三棱錐的體積DCBA例4在平面幾何中有如下定理：若四

21、邊形的對角線與互相垂直，則有試將這個結論推廣到空間，寫出相應的定理，并加以證明分析：平面四邊形，推廣到空間可以是空間四邊形對角線和互相垂直，推廣到空間也是和互相垂直，不過是異面垂直，猜想可能也有相同的結論DCABM證明：過作交于，連結， ， 平面，于是， 例5（1）用幾何方法證明下列命題：若、，則； （2）將上述命題加以推廣，寫出相應的一個真命題，并加以證明分析：（1）將、和、分別作為平面直角坐標系中兩點、的坐標，則所要證明的不等式轉化為（三角形不等式）（2）可以推廣到空間直角坐標系若、，則例6的三個頂點坐標依次為，則的重心的坐標為我們還知道，三角形的重心到每個頂點的距離等于對應中線長的試問能

22、還把三角形的這種規律推廣到空間四面體上來？請敘述并論證你的結論解：我們有如下的結論：四面體頂點與其對面三角形重心連線相交于一點，且這點到頂點的距離為對應連線段長的，這點稱為空間四面體的重心設四面體頂點，為的重心，則， ，在線段上取一點，使，則 點的坐標為例7空間勾股定理：將平面勾股定理推廣到空間情形在三棱錐中，三條側棱、兩兩垂直，則有什么結論？結論：有（證明略，請讀者自行探究）例8已知對數函數f(x)=log ax具有性質：，試另外設計一個函數，使它也具有上述性質.四類比、推廣與構造型問題的結構和特點：結構：1給出一個真命題2要求對類似的數學對象通過類比或進行推廣后，寫出相應的真命題，并加以證

23、明 3給定一定條件； 4設計構造符合上述條件的數學對象.特點：1要求發現新命題 2從平面推廣到空間，從一元、二元推廣到多元，從特殊推廣到一般 3對類似的數學對象進行類比方法和策略：類比型1.理解給出的真命題和其中的概念； 2.根據題目的要求，運用類比法猜測出新命題. 推廣型 1.已知拓展推廣的方向；將已知條件中的數學對象推廣為所要求拓展的對象，隨 之問題的結論也業產生相應的變化； 2.拓展推廣的方向不明確；這類問題只提出推廣的要求，但不提出推廣方向，這時就需要根據問題的特點首先確定推廣方向，然后把它轉化為上一類的問題。 構造型1確定構思方向；2初步設計構造；3驗證是否符合要求；4繼續試驗不斷修正。六類比與推廣型問題訓練題1（1）在等差數列中，設，（），其中、都是常數證明；（2）類比上述性質，相應地在正數等比數列中，寫出一個類似的真命題，并加以證明2（1）已知等差數列，（），求證：仍為等比數列；（2）已知等比數列，（），類比上述性質，寫出一個真命題并加以證明3下面是一個平面幾何定理：底邊長和腰長都確定的等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為定值試在正三棱錐中寫出類似的結論并予以證明4（1）若橢圓的兩個焦點是和，是橢圓上不重合于長軸端點的任意一點