1、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的研究“復(fù)習(xí)課應(yīng)注意的問題”王玉起 北京市朝陽區(qū)教育研究中心 復(fù)習(xí)課是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律，在學(xué)習(xí)的某一階段，以鞏固、疏理已學(xué)知識(shí)、技能，促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力為主要任務(wù)的一種課型。 其目的是溫故知新，查漏補(bǔ)缺，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)， 促進(jìn)學(xué)生解題思想方法的形成， 發(fā)展數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。 復(fù)習(xí)課是教學(xué)中的重要組成部分，其內(nèi)容、形式、操作方法都與新授課有著鮮明的不同之處。平時(shí)教學(xué)中點(diǎn)狀、零散的知識(shí)需要系統(tǒng)化，成為線狀、網(wǎng)狀。平時(shí)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的疑惑點(diǎn)需得以澄清，平時(shí)所學(xué)知識(shí)中重要的思想方法需加以提煉，通過復(fù)習(xí)課能更好的完成上述教

2、學(xué)任務(wù)，如果說新授課是 “ 畫龍 ” ，復(fù)習(xí)課則是 “ 點(diǎn)睛 ” 。 一個(gè)教學(xué)階段的前、中、后或各種考試之前常需要進(jìn)行復(fù)習(xí)，比如：課前、課中的隨機(jī)性復(fù)習(xí)，章、節(jié)的終結(jié)性復(fù)習(xí)，期中、期末的考前復(fù)習(xí)，中考總復(fù)習(xí)等。 在課程改革的不斷深入中，怎樣發(fā)揮好復(fù)習(xí)課的功能？上復(fù)習(xí)課時(shí)應(yīng)注意哪些問題？一些教師了解不詳。針對現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中復(fù)習(xí)課所存在的一些現(xiàn)象，以及廣大教師對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課研究的不夠系統(tǒng)等現(xiàn)象，我們提出了本課題，力爭在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的研究方面給大家一些幫助。 問題提出 復(fù)習(xí)課中存在的主要問題： 1 對知識(shí)的單純重復(fù)，只 “ 溫故 ” 而不 “ 知新 ” ； 2 忽略基礎(chǔ)，盲目拔高； 3 對

3、復(fù)習(xí)課沒有明確、合理的設(shè)計(jì)理念； 4 復(fù)習(xí)課與習(xí)題課混而不清； 5 復(fù)習(xí)課的操作模式單一。 由此造成學(xué)生對知識(shí)得不到更深刻的理解，能力得不到更好的提高，學(xué)習(xí)效果無明顯進(jìn)展。 在復(fù)習(xí)階段， 如果我們能夠轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，恰當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生建立良好的知識(shí)體系，就能使復(fù)習(xí)課的效率 “ 事半功倍 ” 。 解決問題 以下結(jié)合復(fù)習(xí)課的功能，提出一些教師教學(xué)行為方面改善的建議。 （一）查漏補(bǔ)缺，矯正偏差，鞏固基礎(chǔ)。 復(fù)習(xí)課的教學(xué)要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，對學(xué)生掌握知識(shí)和技能情況進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、思維方法等方面查漏補(bǔ)缺。 有些復(fù)習(xí)課占用大量時(shí)間采用背誦、默寫、齊讀、羅列等形式對概

4、念、公式、法則、定理等進(jìn)行簡單重復(fù)和再現(xiàn)。這樣不利于學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)和深入理解。我們可以嘗試用下面的辦法進(jìn)行復(fù)習(xí)： 1. 以小題帶概念 復(fù)習(xí)不是讓學(xué)生簡單重復(fù)、再現(xiàn)已學(xué)的概念、公式、法則、定理等，而是精心設(shè)置一些題組，以帶動(dòng)概念的復(fù)習(xí)，使學(xué)生在具體的題目情境中對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，同時(shí)加深對知識(shí)應(yīng)用的理解。 例如：例 1 ：一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課 (1) （ 1 ）下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)： （ 2 ）一次函數(shù) y =2 x -4 的圖象經(jīng)過 _ 象限； y 隨 x 增大而 _ ； 圖象與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo) _ ，與 y 軸交點(diǎn)坐標(biāo) _ ；求圖象與 x 軸圍成的三角形面積； 當(dāng)

5、 x 在什么取值范圍時(shí) y 0 例 ： 一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課 (2) （ 3 ）函數(shù) y=2x-4 與 y= -x+2 的圖象的交點(diǎn) M 坐標(biāo)是 _ （ 4 ） 與一次函數(shù) y=2x-4 平行且過（ 0 ， 5 ）點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式 _ 用類似的小題復(fù)習(xí)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，總結(jié)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，理解兩直線平行 K 相等，理解函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，避免學(xué)生感到大量文字概念、性質(zhì)的乏味。 例 2 ： 圓周角定理復(fù)習(xí)課 通過題組式小題熟練圓周角定理，識(shí)別基本圖形，掌握解題方法。讓學(xué)生明確要求圓周角的度數(shù)就要找到同（等）弧所對的圓周角

6、或者圓心角。通過這一組有代表性和能說明問題的典型習(xí)題，突出圓周角定理的應(yīng)用，反映新課標(biāo)關(guān)于圓周角定理的內(nèi)容和要求，通過它們學(xué)生會(huì)清楚知道哪些內(nèi)容是必須掌握的知識(shí)。 例 3 函數(shù)復(fù)習(xí)課 判斷函數(shù)圖像的題組引入： （ 1 ）分別說出下列圖象所表示函數(shù)的增減性。 （ 2 ）分別說出下列圖象所表示函數(shù)的自變量的取值范圍和最值。 （ 3 ）下列圖象中，符合函數(shù) y=kx+b(k 0,k,b 為常數(shù) ) ，其中 0 x 2 的大致圖象是（ D ） （ 4 ）下列所給圖象中，符合函數(shù) ，其中 x0 的大致圖象是（ B ） 這組習(xí)題選擇的是由函數(shù)圖象和性質(zhì)組成的題目，對落實(shí)雙基具有典型的意義。并且標(biāo)題中有明確

7、的知識(shí)指向性，提示學(xué)生要注意的問題，能讓全體學(xué)生輕松把好 “ 基礎(chǔ)關(guān) ” 2 展示學(xué)生近期作業(yè)、練習(xí)中的錯(cuò)誤。 平時(shí)注意搜集學(xué)生解題時(shí)常犯的錯(cuò)誤，復(fù)習(xí)課時(shí)以改錯(cuò)形式重現(xiàn)，通過辨別達(dá)到鞏固基礎(chǔ)，查漏補(bǔ)缺的目的，再類比改編題目，加強(qiáng)對知識(shí)的正確理解。 通過這樣的辨別，幫助學(xué)生查出漏洞，正確計(jì)算負(fù)指數(shù)次冪，零次冪，絕對值，合并同類二次根式及特殊角三角函數(shù)值，也可以再選取類似下面的練習(xí)題強(qiáng)化。 如：下列計(jì)算正確的是（） 在復(fù)習(xí)課中，需要注意錯(cuò)誤率比較集中的問題，做好改錯(cuò)反思：錯(cuò)例是澄清概念的最好素材，因此我們要認(rèn)真地分析、矯正錯(cuò)例。 （二）加強(qiáng)知識(shí)之間的橫縱向聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)條理化。 無論是哪種類型的復(fù)

8、習(xí)課， 教師都需要引導(dǎo)學(xué)生按一定的標(biāo)準(zhǔn)對 所學(xué)的零碎知識(shí) 進(jìn)行梳理、 歸納、 整合，作不同角度的分類，弄清它們的來龍去脈，溝通其縱橫聯(lián)系，從整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)。 教師可以引導(dǎo)、幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，讓學(xué)生課前采用結(jié)構(gòu)框圖、表格、樹狀圖、大括號圖等形式梳理知識(shí)，讓學(xué)生了解所學(xué)的內(nèi)容之間的聯(lián)系，并發(fā)展其歸納能力。教師展示學(xué)生的梳理情況，并補(bǔ)充完善知識(shí)體系。 例如：第七章三角形的復(fù)習(xí)課學(xué)生課前的活動(dòng)任務(wù)是：系統(tǒng)梳理本章的知識(shí)點(diǎn)和思想方法，按三角形概念和分類、性質(zhì)、應(yīng)用（數(shù)學(xué)應(yīng)用和生活應(yīng)用）三方面梳理。 課上老師根據(jù)學(xué)生的梳理完善。 等到學(xué)完了全等和軸對稱，要對三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行更系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，納入更

9、大的知識(shí)體系，可以以三角形的兩種元素 邊和角為 “ 主桿 ” ，引出三角形的分類及邊與邊、角與角、邊與角的相互關(guān)系等 “ 分枝 ” ，繼而得出各個(gè)概念、定理等 “ 樹葉 ” ，這樣將主要的知識(shí)點(diǎn)串連起來，制作如下 “ 樹型 ” 知識(shí)結(jié)構(gòu)示意圖： 以上兩個(gè)結(jié)構(gòu)框圖經(jīng)過學(xué)生自主歸納、課堂交流、教師指導(dǎo)得出，有效地幫助學(xué)生梳理了所學(xué)知識(shí)，改善了平鋪式的教師展示模式，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)的歸納更加有意義。（三）深化提煉數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從厚到薄，又從薄到厚的過程，復(fù)習(xí)的目的不僅是要使知識(shí)系統(tǒng)化，還要對所學(xué)的知識(shí)有新的認(rèn)識(shí)，對解題的思想方法進(jìn)行歸納或提煉，使方法系統(tǒng)化，讓不同層次的學(xué)生都有不同的程度的提

10、高。例如： 第七章三角形的復(fù)習(xí)應(yīng)深化轉(zhuǎn)化思想、方程思想以及分類討論思想。 問題 1 一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定 A 應(yīng)該等于 90° ， B 、 D 應(yīng)分別等于 20° 和 30° ，李叔叔量得 BCD=142° ，就斷定這個(gè)零件不合格，你能說出其中的理由嗎？ 這是一個(gè)生活中的應(yīng)用問題，零件形狀是凹四邊形，是我們一般不研究的圖形，可是你為什么能這么快的解決這個(gè)問題呢？因?yàn)槟銓W(xué)會(huì)了把它轉(zhuǎn)化成你熟悉的三角形問題。連接 AC 并延長，利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系可知 練習(xí) 1 如圖， ABC 中， A 40度 ， 把 ABC 紙片沿 DE 折疊，當(dāng)點(diǎn) A 落

11、在四邊形 BCDE 內(nèi)部的 A'處時(shí)，求 1 2 的度數(shù)，并說明理由。 連接 AA', 轉(zhuǎn)化成三角形。把這個(gè)問題一般化，任意三角形一角折起， 1 2 與 A 有什么數(shù)量關(guān)系？ 練習(xí) 2 如圖， A+ B+ C+ D+ E+ F _. 連接 BC 把這個(gè)不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成四邊形。 練習(xí) 3 已知多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于 160° ，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。 兩種方法解決：（ 1 ）利用多邊形內(nèi)角和公式 180 （ n-2 ） =160n ；（ 2 ）內(nèi)角轉(zhuǎn)化為外角，每個(gè)外角都等于 20 度，則 360÷20=18 因?yàn)橥饨呛团c邊數(shù)的多少無關(guān)，固定是 360 度，所

12、以轉(zhuǎn)化為外角解決這個(gè)問題更簡單。 問題 1 及練習(xí) 1 、 2 、 3 的目的是深化轉(zhuǎn)化的思想方法。 問題 2 在 ABC 中，如果 A=3 B=6 C ，求三角形各角的度數(shù)。 三個(gè)角的度數(shù)都是未知的，但知道它們之間的關(guān)系，只要想到了設(shè) x ，這個(gè)問題很容易解決，如果不設(shè) x ，就很難解決。所以不僅要在解代數(shù)應(yīng)用題時(shí)有設(shè) x 的意識(shí)，在幾何問題中，求角度、求線段長時(shí)同樣要有設(shè) x 的意識(shí)。 練習(xí) 4 如圖，在 ABC 中， AB=AC BC ，周長為 15cm ， AC 邊上的中線 BD 把 ABC 分成周長差為 3cm 的兩個(gè)三角形，求 ABC 各邊的長 。 問題 2 及練習(xí) 4 的目的是深

13、化方程思想。 問題 3 在 ABC 中， AB=AC ，周長為 15cm ， AC 邊上的中線 BD 把 ABC 分成周長差為 3cm 的兩個(gè)三角形，求 ABC 各邊的長 . 比較問題 3 與問題 2 有什么區(qū)別？ 沒有圖，腰與底的大小關(guān)系不確定，有兩種情形（有瘦高型和矮胖型兩種等腰三角形），分類討論。 練習(xí) 5 如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為 3 和 5 ，則它的周長為 。 如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為 2 和 5 ，則它的周長為 。 兩邊長沒有明確是底還是腰，所以要分類討論，還需注意能否組成三角形的問題。 練習(xí) 6 在 ABC 中， B=30° ， AD 是 BC 邊上的高

14、， AD 與邊 AC 的夾角是 20° ，求 BAC 的度數(shù)。 沒有圖，高的位置不確定，有兩種情形，也需注意分類討論。 問題 3 及練習(xí) 5 、 6 的目的是深化分類討論的思想意識(shí)。當(dāng)圖形不確定時(shí)需要注意分類討論。 （四） 提高實(shí)踐應(yīng)用能力復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)， 系統(tǒng)化不是復(fù)習(xí)的最終目的， 它的最終目的是 促使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化遷移、 舉一反三、觸類旁通， 綜合 運(yùn)用知識(shí)解決 實(shí)際 問題， 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。可以安排例題變式，如再探線段和差問題的例題變式設(shè)計(jì)： 問題 1 已知：如圖，等邊 ABC 的高為 5 ， D 是 BC 邊的中點(diǎn)， DE AB ，

15、 DF AC ，垂足分別為 E 、 F 。 求： DE+DF 的值。 這個(gè)問題比較簡單，是線段和問題的特殊情形，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，引出直接計(jì)算法，又可以給后面的一般問題搭臺(tái)階。 問題 2 已知：如圖，等邊 ABC 的高為 5 ， D 是 BC 邊上的任意一點(diǎn)， DE AB ， DF AC ，垂足分別為 E 、 F 。 求： DE+DF 的值。 這個(gè)問題從特殊到一般，從有具體數(shù)值的線段和問題，過渡到后面的抽象定值問題，滲透極端位置猜想法。 讓學(xué)生一題多解，探索討論，體會(huì)多角度看圖形的樂趣提高發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)刻苦鉆研精神。 問題 3 已知：如圖，等腰 ABC 中， D 是 B

16、C 邊上的任意一點(diǎn)， DE AB ， DF AC ，垂足分別為 E 、 F 。 求證： DE+DF 為定值。 總結(jié)：及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納線段和問題有哪些解決辦法： （ 4 ）面積法 思路：看見垂線段 可以作為高 想到利用面積。 拓展 1 等腰鈍角三角形的情形： 拓展 2 ： 點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到 BC 延長線上的情形： 拓展 3 ： 求證：等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值。并把這個(gè)問題再拓展。 一題多問，有利于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，更系統(tǒng)的掌握本單元的基本知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。 一題多解，對同一問題盡可能鼓勵(lì)學(xué)生超越常規(guī)，從不同的角度入手，尋找不同的解題途徑，有利于知識(shí)、方法的融合貫通，活躍學(xué)生的思

17、維，激發(fā)創(chuàng)造性。 一題多變，通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習(xí)題的教育功能，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。 一題多思，引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面，多角度，多渠道的思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭論，能有效訓(xùn)練學(xué)生思維的完備性、深刻性。 又如，已知：如圖， ABC 中， AB=AC ， D 是 AB 上一點(diǎn)， E 是 AC 上一點(diǎn)， DB=CE ， DE 交 BC 于 F ，求證： DF=FE 。 此例是一道典型的一題多解的傳統(tǒng)題 ， 揭示了證明思路上重要手法，利用平行構(gòu)造全等、平行四邊形、相似等，給學(xué)生提供了開寬的思維空間，具有較強(qiáng)的示范性本例主要有如下三類證法： （

18、 1 ）構(gòu)造全等三角形：過 D 作 DG AC 交 BC 于 G ，證 DGF ECF （或過 E 作 EG AB 交 BC 的延長線于 G, 證 DBF EGF ） ； （如圖 (1) ） （ 2 ）構(gòu)造平行四邊形：過 D 作 DG AC 交 BC 于 D ，連結(jié) DC 、 GE, 證 DG 與 CF 平行且相等得平行四邊形 DGEC ，再用平行四邊形性質(zhì)；（如圖 (2) ） （ 3 ）過 D 作 DG BC 交 AC 于 G ，證 C 是 GE 的中點(diǎn)，（或過 E 作 EG BC 交 AB 的延長線于 G ，證 B 是 DG 的中點(diǎn)）應(yīng)用平行出相似。（如圖 (3) ） 復(fù)習(xí)課還應(yīng)注意的問題 1 復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)的制定應(yīng)該建立在對前期教學(xué)效果及學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的回顧與反思的基礎(chǔ)上制定，目標(biāo)要力求準(zhǔn)確、具體、有針對性。 2 要面向全體學(xué)生 教學(xué)設(shè)計(jì)的每個(gè)環(huán)節(jié)都要注意照顧各層次的學(xué)生，習(xí)題訓(xùn)練或考試最好有針對性的編制分層題目，讓各類學(xué)生都能傾其所學(xué)、盡情發(fā)揮、各得其所。 3 留給學(xué)生思考的時(shí)間與空間 問題是思維的核心，