1、傳染病的傳播摘要：本文先根據材料提供的數據建立了指數模型，并且全面地評價了該模型的合理性與實用性。而后對模型與數據做了較為扼要地分析了指數模型的不妥之處。并在對問題進行較為全面評價的基礎上引入更為全面合理的假設和建立系統分析模型。運用聯立微分方程組體現疫情發展過程中各類人的內在因果聯系，并在此基礎上建立方程求解算法結合MATLAB編程(程序在附件二)擬合出與實際較為符合的曲線并進行了疫情預測。同時運用雙線性函數模型對衛生部的措施進行了評價并給出建議以及指出建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會，說明建立如SARS預

2、測模型之類的傳染病預測模型的重要意義。關鍵詞：微分方程 SARS 數學模型 感染率1問題的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS的爆發和蔓延給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規律、為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數學模型，具體要求如下：1)建立傳染病傳播的指數模型，評價其合理性和實用性。2)建立你們自己的模型，說明為什么優于指數模型；特別要說明怎樣才能建

3、立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件1提供的數據供參考。3)說明建立傳染病數學模型的重要性。2 定義與符號說明 N表示為SARS病人的總數；K（感染率）表示為平均每天每人的傳染他人的人數；L表示為每個病人可能傳染他人的天數；N(t) 表示為每天（單位時間）發病人數；N(t)-N(t-L)表示可傳染他人的病人的總數減去失去傳染能力的病人數；t表示時間；R表示擬合的均方差；3 建立傳染病傳播的指數模型3.1模型假設1) 該疫情有很強的傳播性，病

4、人（帶菌者）通過接觸（空氣，食物，）將病菌傳播給健康者。單位時間（一天）內一個病人能傳播的人數是常數k； 2) 在 所傳染的人當中不考慮已治愈的人是否被再次被傳播，治愈的人數占該地區的總人數是絕對的少數，治愈者不會再被傳播并不影響疫情在該時間內的感染率常數k;3) 病者在潛伏期傳播可能性很小， 仍按健康人處理；4) SARS對不同的年齡組的感染率略有不同（相差不大），但我們只考慮它健康人的感染率是一樣的；5) 我們所采取的隔離是非常嚴格的，被隔離的病人不會再感染其他人；3.2模型的分析和建立求解全國疫情從出現第一例病人起，到4月20日前后（從起點起45天左右）是疫情高峰，在此之前k值我們取k=

5、0.16204，在此后的時間里我們取k=0.0273來計算。根據提供的數據可以建立指數模型：N(t)=n(1+K) 。在前45天我們取k=0.16204來代入，分別算出45天的病人累計數，根據45天中天病人的數量來畫出圖1，并與附件中所提供的數據中的日累計數來進行了比較。如圖3-1所示：圖3-1 根據指數模型建立的圖形圖3-2根據附件1所建立的圖形從兩個圖形中，我們可以看出，從4月20日開始計算，前45天的病人累計數和我們用k的值來代入模型畫出的病人計算數基本上是吻合的。圖形1中的橫坐標數字表示時間的天數，如15即4月20日之后的第15天，40即4月20日之后的第40天。在45天之后的時間里，

6、模型對k的值進行了調整，k=0.0273，我們再將k=0.0273代入模型 N(t)=n(1+K)，在45天之后的時間里，我們取了30天的時間，分別算出每天的病人累計數，如圖3-3所示： 圖3-33.3對指數模型的驗證和評價在圖形3-3中的橫坐標的數值表示圖形1中所表示的天數之后的天數，如1即表示4月15日之后的45天之后的有第六天，也就是4月15日之后的第51天，即表示4月15日之后的第67天。首先在圖形3-3結合圖形3-1可以看出，圖形3-1中的第45天與圖形2中的第一天（相隔一天）的人數統計是相差比較大的，存在這種情況的原因是在我們在計算第61天，數據值發生了改變，從0.16204到0.

7、0273是一個很大的變化，而在實際的生活中的情況是k值每天都在進行數值在減小的改變，但改變的沒有這么大，也正是因為k有了跳躍，N(t)的值才會發生這么大的變化，這是可以理解的。我們對圖形2的整個曲線來與附件1中的圖形1進行比較，可以發現，在整個階段的數值曲線圖形都是很接近的。我們在對全國在前期和后期k分別取k=0.16204和k=0.0273的值來代入所給的模型來計算并畫出的圖形,與實際的數據和圖形進行了比較，是有著很好的吻合，同樣我們也可以對k取值一個定值來對全國進行計算和畫圖，同樣也是合理的。因此我們就認為題目中給我們的那個模型N(t)=n(1+K)是合理的。通過這個模型我們可以根據某一地

8、區的疫情從爆發到高潮或某一階段的時間的長短來擬合得到一個與該地區這種疫情的感染率，就可以用該模型來計算或預測該地區現在及以后的病人的累計數， 這也就是該模型的實用性所在。4建立新模型4.1模型假設 模型假設與指數模型假設一致不在贅述。4.2模型分析與建立4.2.1模型分析 初期由于疫情初期政府控制力度不夠，大眾的對SARS的防范意識不強，造成病情迅速蔓延。而當政府采取有力措施，人們的防患意識增強，疫情則趨于緩和，病患者人數迅速下降。所以SARS傳播大體上可分為兩個階段： 1)控制前期：即認為病毒傳播方式是自然傳播。2)控制后期：政府強力介入之后的病毒傳播模型。4.2.2 模型建立根據對指數模型

9、的分析和4.2的分析疫情走勢的微分方程如下； N(t) = K N(t) N(t L) . （1）4.3模型的求解如果假定有一個初始爆發時間，最初有N0 個病人突然出現，在L 天之內(t < L)則N(t-L)=0 。在這個初發期間內，方程(1) 給出的發病人數呈指數增長N(t)=N(1+K) （ 0<tL） (2)當L<t2L的時候，N(t-L)這部分人就已經沒有傳播能力了，因此我們推算出了下列模型 N(t)= N(1+K) (t-L)K(1+K) （L<t2L） （3）當2L<t3L的時候又有下列模型 N(t)= N(1+K) N(t-L) (2L< t

10、 3L) （4）L可理解為平均每個病人在被發現前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴格隔離、病愈不再傳染或死去等。在不同的時期L的取值范圍也是不一樣的，我們所得到的資料中總結出不論對于疫情的爆發階段，還是疫情的控制階段，這個參數都不能用得太小，否則無法描寫好各階段的數據。該參數放在15-25之間比較好，現在醫學界還沒有確定出L的值，我們想象可能有的人抵抗能力強，有的人抵抗能力差，因此我們把它固定在20（天）上這個值有一定統計上的意義.我們把L的值定在了20天,是合理的，當t的取值比較大時，該模型又有指數關系，N(t)前后之間的差距比較大，然而當t>60時，

11、在這之前失去傳播能力的只占了少部分，因此規定當t>60時也可用N(t)= N(1+K) N(t-L)的模型。K的值其實是一個變量，它每天的值都在發生變化。疫情剛開始的時候，K的值大，原因可能有剛可能是政府部門還沒有足夠重視起來，人們也還沒有重視，醫療部門也還沒有比較好的設備，醫生們對病情也還沒有很了解，技術上可能也還有不足。但隨著病情的日益加重，來自各個方面的重視程度都有很大的提高，這是K的值就比較小了。在此模型中，我們認為 感染率(K)在 數值上與病例的增長率是相等的，疫情患者他傳播在傳播給健康人的時候，健康人他可能是帶病毒了，但健康熱處于潛伏期狀態，據“全國“非典” 科技攻關組公布七

12、大科研進展”與于2003-06-03日報道中指出潛伏期患者傳染的可能很小。有關部門對非典暴發過程中兩例傳播鏈進行了細致的調查和分析，這兩個案例中共追查到潛伏期密切接觸者158人，無一人死亡。因此我們在模型中說的感染率只為疫情患者傳染給他人，而且他人發病，若他人不發病則不為感染率。增長率在數值上即為感染率。我們對全國所提供的所有數據中的已確診病例累計進行了分析計算，得出感染率K的變化數據并畫出了曲線圖。如圖4-1所示：圖4-1K（感染率）是一條跟t的值有關的曲線，我們通過回歸法K的公式為：K = 7E-13t - 4E-10t + 8E-08t - 1E-05t + 0.0006t - 0.01

13、91t +0.2325 （5） 圖4-1中R=0.6988為曲線回歸的均方差，可見存在的誤差并不大。t為疫情流行的天數。4.4模型檢驗 通過該公式可預測疫情開始時或以后的累計病人總數。 例如 要預測某一天病人的累計總數，將時間t的天數代入方程（5）即可求得K（感染率）的大小，因為L的值定在20天，所以當0<t20時，將K代入（2）； 當20<t40時，將K代入（3）； 當40<t60時，將K代入（4）。當t=10時，我們根據方程（5），可求得K=0.0923,我們再將K=0.0923代入（2）得到N8。當t=50時，我們根據方程（5），可求得K=0.0614,我們再將K=0.

14、0614代入（2）得到N308。這與實際給出的數據非常接近。可以說明我們的模型是一個比較能夠預測以及能為預防和控制提供信息的模型。4.5模型的應用與推廣 此模型可以作為預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。4.6與指數模型的比較 1）我們對不同階段的疫情的計算和預測建立了不同的模型，這樣來分析比附件1所提供的早期模型更加的精確。2）對感染率K求出了方程，可以知道每一天的疫情感染率，可以更加有效的計算與預測有關數據。3）該模型實用性更強，能更加準確的反映實情。5 建立模型的關鍵和困難 建立模型的關鍵在于對模型進行動態的分析，當傳染病發展到一定階段在政府的控傳染率下降。此時還用之前的誤

15、差會很大。在建立模型過程中有以下幾個方面的困難：1）對不同地區SARS的衛生知識的宣傳的多少的不同，K的值就不一樣；2）對某一地區的不同地方的強化管理也不一樣（如公交、商場、餐廳、娛樂場所等），K的值也就不一樣；3）還有保護工具的使用、建筑物的通風條件、居住的衛生條件等等的不同，都會有有不同的K的取值。6對于衛生部門采取的措施的評價對于衛生部門提前或延后5天采取嚴格的隔離措施的影響，我們可以建立下面的模型進行輔助分析估計：1) 模型參數定義：S(t)t時刻易感人群總數I(t) t時刻出現的新增患者 患者從患病起經過時間，仍為患者的概率患者距發病時間，具有傳染性的概率患者與易感人群接觸率近斷時間

16、的醫學研究表明，從正式發病到治愈一般需714天或更長時間，假定平均治愈時間為12天。2) 基本條件假設：新患者出現的數量與現有患者的數量成正比，也與現有易感者的數量成正比，即發病率是患者人數和易感者人數的雙線性函數。由基本假設條件可得：S（t+1）=S(t)-I(t+1) （1）I(t+1)=S(t) （2）經整理后得：S(t+1)=S(t)- （3）S(t+1)=S(t)(1- （4）S(t+1)/S(t)=(1- （5） 雖然不能具體知道 的數值，那么我可以根據較為理想的均勻平均遞減概率參數，可得下表：0123456789101112111/1210/129/128/127/126/125

17、/124/123/122/121/120表6-1如果病人發病后5天才開始隔離，并且的值在疫情初期又較大的話，那么由上表可知病人已經分別以11/12、10/12、9/12、8/12、7/12的大概率在社會上與易感人群接觸和傳染。由（5）式得:S(t+1)/S(t)=(1-<1 （6）也就是S(t+1)<S(t)，易感人群總數將會一以較大的數值遞減，給疫情的控制帶來更大的困難。而且在現實生活中在第5天的（5） > 7/12。當處于潛伏期時，傳染性幾乎為0，因而同理我們有理由相信：S(t+1)/S(t)=(1- （7）即S(t+1)近似于S(t)。所以，如果在病人發病前提前5天隔離

18、的話，新增病人數將變得很小。7 建立傳染病數學模型的重要性隨著衛生設施的改善、醫療水平的提高以及人類文明的不斷發展，諸如霍亂、天花等曾經肆虐全球的傳染病已經得到有效的控制，但是在世界的某些地區，特別是貧窮的發展中國家，還不時出現傳染病流行的情況，與次同時，一些鮮為人知的險惡傳染病則跨國越界在既包括發達國家也包括發展中國家的更大范圍內蔓延。一直以來，建立傳染病的數學模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，預報傳染病高潮的到來等等，有著重要的作用。以最近突發性的險惡傳染病SARS為例。從2002年11月16日在中國廣東佛山市首例發生家族聚集性發病至2003年5月，疾病呈迅速蔓延趨勢。

19、目前全世界30多個國家和 地區有病例報告。中國大陸、香港和臺灣發病人數占全球的90%以上。世界衛生組織（WHO）總干事Brundtlard博士指出，SARS已威脅到全球人類的健康。由于目前對SARS尚無可靠的病理學診斷，所以只能根據醫療衛生部門提供的可靠數據統計資料，建立模型來描述SARS病毒的宏觀傳播過程，有助于從量的方面來分析受感染人數的變化趨勢，掌握SARS的流行規律，從而及時對疫情進行控制，提供科學的數據，認清傳染的基本要素，為防病提供必要的依據 。例如，5月8日，西安交通大學醫學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預測與控制策略數學模型”研究項目。于5月19日初步完成了第一批成果，這一數學模

20、型利用實際數據擬合參數，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真。結果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關重要。分析報告說，就全國而論，若非典病人延遲隔離1天，就醫人數將增加1000人左右，推遲兩天約增加2100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔離措施，則高峰期病人人數將達60萬人。同時美國科學雜志網站5月23日發表的兩份最新研究報告顯示，如果對非典采取嚴密的公共衛生防治措施，這種新型疾病是能夠得到控制的。而采取這種措施需要有一個預見性，這就需要人們通過模型的建立對SARS的發病周期、發病人數的變化趨勢、疑似

21、人數的變化趨勢等來分析和預測。并為政府和醫療衛生部門進行決策和資料調配提供直接的服務，為相關的研究部門提供科學的數據。 SARS作為新發傳染病之一，雖有著其特殊性，但也符合一般傳染病的傳播規律。從SARS對人民身體健康造成嚴重危害可以看出及時對傳染病建立模型并進行分析和預測對人類的生命健康有著至關重要的作用。8 參考文獻1 姜啟源 數學模型 高等教育出版社 1993.82 云舟工作室 數學建模基礎教程 人民郵電出版社 2001.73 劉雙等SARS臨床病例及影像學分析中國醫藥科技出版社2003.5附錄A疫情的數據表日期已確診病例累計現有疑似病例死亡累計治愈出院累計4月20日3394021833

22、4月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月1日15531415821005月2日16361468911095月3日17411493961155月4日180315371001185月5日189715101031215月6日196015231071345月7日204915141101415月8日2136148611215

23、25月9日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日2490113416

24、36675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日2521219122776月1日252273918111246月2日2522734

25、18111576月3日252272418111896月4日252271818112636月5日252271618113216月6日252271318314036月8日252255018415436月9日252245118416536月10日252235118617476月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月7日252366818314466月11日252325718618216月12日25231551871876附錄Bfunction E=BJ(theta) format long; x=; C= %出院人數 ; A= %累計個案 ; B=;死亡人數 y=A-B-C; s0=theta(4);n0=theta(5); t,s=ode45('feidian