1、臥式傾斜油罐儲油量的數學模型摘要本文中建立了計算臥式傾斜油罐儲油量的計算模型，為了在已經傾斜的油罐上標定新的符合標準的罐容表，在已給出數據的基礎上，用微元法計算出油量的計算公式，進行誤差的分析，算出誤差函數，用誤差函數對計算出的函數進行擬合，并對油罐有一定傾斜角度的情況下進行演算，得出新的符合標準的罐容表，最后再討論分析后，對模型作出評價。模型一，用積分法求出理論值，然后與實驗數值算出誤差，算出誤差函數，并將誤差函數與積分法求出的函數進行擬合，求出一個符合油量高度數值的目標函數。模型二，采用割補法，將傾斜油罐轉化為水平油罐，然后進行積分計算，并用附件2中的數據進行檢驗，得出罐內儲油量與變位參數

2、（橫向偏轉角和縱向偏轉角）之間的一般影響。關鍵字：臥式傾斜油罐 誤差分析 微元法 誤差函數 擬合一、問題的重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球

3、冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。我們采用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件1所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程

4、中的實際檢測數據（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。二、問題分析由于問題中涉及到罐容表的變化，我們必須首先對體重所出現的幾種情況進行分析，得出油罐位置變化前后的不同狀況，綜合考慮給出的數據比較具體，油罐的形狀比較規則，我們將其轉換為規則幾何體來進行建模，通過排除干擾因素對模型進行優化，決定采用微元法對問題進行求解，根據理論計算得到的理論值，與題目中給出的實驗值進行比較，得出兩者的誤差，并進行誤差分析。從而可以對問題得出比較合理的解決辦法。模型一，由于傾角的存

5、在，使得油罐中的油不再是規則幾何體，因此無法使用一般方法對其進行求解，而必須采用高等數學中的微元法進行建模。由于第一題中，油罐中的油量有三種情況，根據油罐的傾角比較小和進出油實驗的數據，我們只考慮第二種情況。模型二，由于需要同時考慮橫向和縱向的變位，變化的條件增加，直接進行求解難度非常大，于是我們采用近似割補法將不規則的幾何體轉化為較為規則的幾何體，然后對其進行積分演算，求出油量高度與油量的線性關系，從而得出答案。三、問題假設1假設油的密度是不變的。2假設形狀無畸變形。3假設測定過程中油料都是在同一溫度下測定。4假設油料的黏著性對測定無影響。四、符號說明：表示橢圓長半軸長：表示橢圓短半軸長：表

6、示儲油罐的底長：表示油浮子顯示的油位高度：表示縱向傾斜角度：表示橫向傾斜角度五、模型建立、求解與誤差分析5.1模型I5.1.1 無變位情形我們首先建立小橢圓型儲油桶在無變位時的體積模型，并通過附件1所給的無變位時的進油和出油量的數據，檢驗我們的模型的正確性。設儲油桶的底面的橢圓的長半軸長為，短半軸長為，油高為，如圖1，此時油桶內的有的體積為： (1)根據（1）式用Matlab可得出儲油罐內容積在附件一中進油時隨油的高度變化曲線，并和附件中的實驗數據進行了比較（程序見附錄1），見圖2圖2 從圖像上分析，實驗數據和我們建立的模型的誤差曲線近似一次函數，我們考慮使用最小二乘擬合求出誤差曲線的函數方程

7、，利用誤差函數來修正我們建立的模型的數據得到目標函數圖像為圖3（程序見附錄2）圖3利用修正過的目標函數可以給出儲油罐縱向變位角度為時每隔1cm的罐容表1：刻度表2.12.22.32.42.52.62.72.8油量329.28353.91379.44405.84433.06461.07489.83519.31刻度表2.93.03.13.23.33.43.53.6油量549.49580.33611.81643.91676.59709.84743.4777.97刻度表3.73.83.94.04.14.24.34.4油量812.8848.12883.91920.15956.83993.921031.4

8、1069.3刻度表4.54.64.74.84.95.05.15.2油量1107.51146.11185.11224.31263.91303.81343.91384.3刻度表5.35.45.55.65.75.85.96.0油量14251465.91507.11548.415901631.81673.71715.8刻度表6.16.26.36.46.56.66.76.8油量17581800.41842.91885.61928.31971.120142057刻度表6.97.07.17.27.37.47.57.6油量21002143.12186.12229.32272.42315.52358.62401

9、.6刻度表7.77.87.98.08.18.28.38.4油量2444.62487.62530.42573.22615.92658.527012743.3刻度表8.58.68.78.88.99.09.19.2油量2785.42827.42869.22910.92952.32993.43034.43075刻度表9.39.49.59.69.79.89.910.0油量3115.43155.53195.33234.83273.93312.633513388.9利用無變位的出油的數據代入目標函數進行驗證，發現誤差小于1%，所以目標函數是合理的由此我們我么可以近似的代替5.1.2傾斜角為a=4.10的縱向

10、變位情形 儲油桶縱向變位a時，根據油面的高度可以分為三種情形：（i）當，如圖a，（ii）當，如圖b，（iii）當，如圖c令和附件1的實驗數據可知第（i）和第（iii）種情況可排除，所以我們重點研究第二種情況。下面建立當儲油罐縱向傾斜，油面的高度為的第（ii）情況的油罐體積模型。無論怎樣放置，罐內的油面都是水平面，下圖為罐內油的正視面：令截面的曲線方程為，則設油高為，則由的三角函數關系可得到，故 （2）根據(2)式用Matlab做出在附件1中的進油時油面高度時的曲線，并和附件1中的進油的實驗數據進行了比較，見圖4（程序見附錄3）圖4比較兩條曲線可以看出，兩條曲線吻合性較好，但還是存在一定誤差。為

11、了修正這個誤差，我們對誤差函數進行了最小二乘擬合，發現使用二次函數（見圖5）進行擬合效果比較好。圖5使用誤差函數修正我們建立的模型的函數得到目標函數圖像為圖6（程序見附錄4）圖6利用修正過的目標函數可以給出儲油罐縱向變位角度為時每隔1cm的罐容表2：油浮高：（單位：分米）油符高2.12.22.32.42.52.62.72.8油量466.8498.9531.59564.85598.66632.99667.81703.12油符高2.93.03.13.23.33.43.53.6油量738.89775.09811.72848.74886.15923.93962.051000.5油符高3.73.83.9

12、4.04.14.24.34.4油量1039.31078.41117.71157.41197.31237.41277.81318.3油符高4.54.64.74.84.95.05.15.2油量1359.11400.11441.21482.515241565.61607.31649.1油符高5.35.45.55.65.75.85.96.0油量169117331775.11817.21859.41901.61943.91986.1油符高6.16.26.36.46.56.66.76.8油量2028.42070.62112.92155.12197.22239.32281.32323.2油符高6.97.07

13、.17.27.37.47.57.6油量23652406.72448.32489.82531.12572.22613.22653.9油符高7.77.87.98.08.18.28.38.4油量2694.52734.927752814.92854.52893.929332971.8油符高8.58.68.78.88.99.09.19.2油量3010.23048.43086.13123.53160.63197.23233.43269.2油符高9.39.49.59.69.79.89.910.0油量3304.53339.33373.63407.43440.73473.43505.535375.1.3 誤差分

14、析（1）將無變位出油時油位高度的實驗數據，代入無變位進油時擬合最終得到目標函數，通過運算模型得到的數據與實驗記錄的數據吻合度比較高，這證明我們用一次函數來修正誤差是合理的。5.2模型25.2.1建立模型設當油罐縱向偏移了角，橫向偏移角，我們首先考慮縱向偏移的情況，再考慮橫向偏移，這樣就可以把問題轉化為與5.1的模型相類似的模型，設儲油罐縱向傾斜了，油浮讀數為，如圖7 。圖7如圖，以球的球心O為原點建立一個空間直角坐標系，其中軸平行于柱體的母線，其中PQ為水平線，過PQ的中點作BE平行于軸，這時可以近似的認為罐內液體的體積等同于水平放置時罐內液體的體積。設球的半徑為，已知，則我們有如下關系式：則

15、截面扇形的半徑：截面扇形的面積：截面內直角三角形面積：弓形的面積：兩端球罐內油的體積：其中 柱體的截面積：=柱體體積:當液面高度是時，+ （3）下面考慮儲油罐橫向變位角為時，如圖8所示：圖8由圖我們可以得到,我們就得到縱向為，橫向為的油罐內油量的計算公式，即（3）式可以表示出罐內存油量與油位高度以及變位參數的一般關系。5.2.2模型的求解當，都等于0時，將實驗數據帶入公式（3），使用matlab進行計算，與實驗數據進行比較，得出結果，見圖九（程序見附錄5）圖九從兩條曲線的吻合程度可以知道，我們所建立的模型是比較合理的。通過對，范圍內進行搜索，使用最小二乘法得出, 。用matlab算出罐容表如下

16、：刻度表（）油量（）刻度表（）油量（）0.56826.11.6350700.68927.31.7378490.7111781.8405990.8135551.9433140.9160412.0459711.0186142.1485561.1212622.2510541.2239672.3534451.3267142.4557161.4294882.5578401.532281六、模型評價（）建立的模型有成熟的理論基礎，又有相應的專業軟件支持，可信度較高。（）模型對涉及到的誤差做了分析，確保了目標函數的準確性。（）在建立模型的過程中，成功使用近似割補法，將運算簡單化。（）模型1中，我們擬合的目標

17、函數曲線與實際測得的實驗值吻合得相當好，可以看出模型建立的比較成功，可以達到預期的目標。（）但是這種近似規劃也帶來一定不可預計的誤差。如模型2中，理論上可以得出，但由于實際中種種因素的影響，容易造成誤差。七、參考文獻1 吳建國，數學建模案例精編：中國水利水電出版社，20052 李小紅，龐軍峰，段賽捕集器內液體體積的計算3 閔發龍，實用油罐體積的計算研究4 高恩強，豐培云，臥式傾斜安裝圓柱體油罐不同液面高度時注油量的計算5 王庚，王敏生，現代數學建模方法：科學社會出版社，20086 石博強，MATLAB數學計算范例教程：中國鐵道出版社，20047 韓中庚，數學建模方法及其應用M，北京：高等教育出

18、版社，20058 韓中庚，數學建模競賽-獲獎論文精選與點評，北京：科學出版社，20079 盛驟，謝式千，概率論與數理統計，北京：高等教育出版社，200310 姜啟源，數學模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992八、附錄附錄1x=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.825

19、58.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;A=50 1001502002503

20、0035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.82103.82105.12155.12205.12255.12305.12355.124052406.82456.82506.82556.82606.82656.82706.82756.82806.82856.82906.82906.92956.93006.93056.93106.93156.93206.93256.93306.

21、93356.93406.93456.93506.93556.93606.93656.93706.9;B=A+262;C=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.

22、67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;y=13.4962*x-12.0437;y1=B;y2=tiji(C);x=C;u=y2-y1plot(x,y1,r,x,y2,b,x,u,k)附錄2

23、x=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.4276

24、3.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;A=50 10015020025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019

25、001950200020502053.82103.82105.12155.12205.12255.12305.12355.124052406.82456.82506.82556.82606.82656.82706.82756.82806.82856.82906.82906.92956.93006.93056.93106.93156.93206.93256.93306.93356.93406.93456.93506.93556.93606.93656.93706.9;B=A+262;C=159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.1629

26、6.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.3289

27、2.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;C=C/100;y=13.4962*x-12.0437;y1=B;y2=tiji(C);x=C;u=y+y1plot(x,u,r,x,y2,b)附錄3n=100;a=0.89;aa=0.4;b=0.6;e=2.45;t=zeros(1,2);x=zeros(1,2);y=zeros(1,2);al=pi*4.1/180;ttt=zeros(1,2)dd=1/1000*411.29423.

28、45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.90761.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.0710

29、34.241035.36;d=dd;for i=1:53for n=1:100 x(n+1)=x(n)+e/100; y(n+1)=d(i)+aa*tan(al)-x(n+1)*tan(al); xx=-b:y(n+1)/400:(y(n+1)-b); z=2*a*sqrt(1-xx.2/b2); t(n+1)=trapz(z)*y(n+1)/400; ttt(n+1)=t(n+1)*e/100;ends(i)=sum(ttt);endB31=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.91097.81147.81197.71247.71297.71347

30、.71397.71447.71497.71547.71597.71647.71697.71747.71797.71847.71897.71947.71997.72047.72097.72147.72197.72247.72297.72347.72397.72447.72497.72547.72597.72647.72697.72747.72797.72847.72897.72947.72997.73047.73097.73147.73197.73247.73297.73299.7;B3=B31+215;y1=B3;y2=s.*1000;x=d./100;y=y2-y1plot(x,y1,b,x

31、,y2,r,x,y,*)附錄4n=100;a=0.89;aa=0.4;b=0.6;e=2.45;t=zeros(1,2);x=zeros(1,2);y=zeros(1,2);al=pi*4.1/180;ttt=zeros(1,2)dd=1/1000*411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.907

32、61.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;d=dd;for i=1:53for n=1:100 x(n+1)=x(n)+e/100; y(n+1)=d(i)+aa*tan(al)-x(n+1)*tan(al); xx=-b:y(n+1)/400:(y(n+1)-b); z=2*a*sqrt(1-xx.2/b2); t(n+1)=trapz(z)

33、*y(n+1)/400; ttt(n+1)=t(n+1)*e/100;ends(i)=sum(ttt);endB31=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.91097.81147.81197.71247.71297.71347.71397.71447.71497.71547.71597.71647.71697.71747.71797.71847.71897.71947.71997.72047.72097.72147.72197.72247.72297.72347.72397.72447.72497.72547.72597.72647.72697.72

34、747.72797.72847.72897.72947.72997.73047.73097.73147.73197.73247.73297.73299.7;B3=B31+215;y1=B3-6.0865*x.2-86.9919*x+81.0238;y2=s.*1000;x=d./100;plot(x,y1,b,x,y2,r)附錄5A1=2632.22624.32620.72610.32606.62599.62587.62582.12579.62575.42569.52564.12559.82548.52539.625282521.62510.22508.22500.12490.12485.72

35、474.42464.82454.52446.82436.82431.62427.32422.22414.32404.12399.22393.12382.52374.32362.42358.42348.12339.42334.92328.12322.12314.12304.12301.12290.92280.52274.92268.62260.92251.92242.52232.922272220.72209.12201.42190.92186.12177.921702158.42155.52148.52141.32138.42127.42116.52110.12100.32096.82088.

36、620842077.62067.12063.22058.12051.32045.92035.92024.12020.52016.12007.12001.31989.61977.91969.41958.81952.81944.51932.61925.11913.71904.51897.71889.31878.41874.41868.51856.51850.51841.91830.918191810.41807.318051796.81789.11777.51768.11759.41752.21747.617361728.61726.31717.31710.11707.51696.61691.31

37、6871683.91678.81674.516661663.31658.61653.71642.91636.51626.91618.91609.11605.91594.11583.71581.11574.51569.21560.91556.61548.81540.81532.81526.315241516.81510.71507.71501.11494.61487147714681457.31454.71450.51443.91432.31422.51415.91410.614081398.61391.51387.51381.31377.61368.11362.413511348.81338.

38、51330.21322.81314.31305.11302.11291.31289.21284.31280.51269.21266.51258.71250.31241.81231.21228.61218.41211.21202.21198.11190.71181.61170.11163.61160.81158.21149.91139.911311125.61114.11106.91095.41092.61088.61078.81067.71057.81052.91049.41038.910291024.31020.11014.81004.5994.32986.62978.9974.04965.

39、05955.08948.67942.21935.55930.76922910.97899.88890.41885.81876.91873.59870.36866.45862.99855.14852.41842.18832.95821.69814.77806.22795.32787.93783.11771.35768.99763.72751.99746.34741.25738.04726.89723.53718.21707.24700.24692.09684.25675.27672.98665.7663.38653.11647.71637.24632.78624.97613.59611.1160

40、8.57606.36597.55589.56586.42576.46568.28565.58562.89559.53549.64546.71542.34537.9534.85524.27515.29505.95497.44490.28485.02476.4473.22469.74;A1=A1/100;d=size(A1);e=0.2*pi/180;h=1.5*pi/180;for i=1:d y1(i)=callm(A1(i),e,h); y2(i)=yztj(A1(i),e,h); y3(i)=y1(i)+y2(i);endA=604496031160248600656000059874596575955659510594345932359223591435892858759585345841058185581455798357783576955746557267570555689356685565735648356374562065598455878557475551455335550715498154750545535445154298541615397853747536775343953196530665291852735525215229652067519255177351492513045104