1、專題四圓周運動典 例 賞 析要 點 回 顧復(fù) 習(xí) 指 南 圓周運動問題是牛頓運動定律的應(yīng)用的延續(xù)，圓周運動涉及的問題常有水平或豎直平面內(nèi)的圓周運動、天體的運動、帶電粒子在磁場或復(fù)合場中的運動. 處理圓周運動時，先要明確研究對象，同時要確定研究對象的軌道平面和圓心的位置.對于做勻速圓周運動的物體，只存在改變速度方向的向心加速度，其受到的所有外力的合力即為產(chǎn)生向心加速度的向心力，對于做變速圓周運動的物體，不僅存在改變速度方向的向心加速度，還存在改變速度大小的切向加速度，其中產(chǎn)生向心加速度的向心力應(yīng)為物體所受各力沿半徑方向分力的矢量和.無論哪一情況，一般采用正交分解法處理，其坐標(biāo)原點是做圓周運動的物

2、體(視為質(zhì)點)所在位置，相互垂直的兩個坐標(biāo)軸中，其中一個坐標(biāo)軸的方向一定沿半徑指向圓心.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 指指 南南 返回目錄要要 點點 回回 顧顧 1.勻速圓周運動 勻速圓周運動是線速度大小 的運動.因此它的角速度、周期和頻率都是 的.物體所受的合外力提供向心力.做勻速圓周運動的物體，向心力（即合外力）大小不變，方向始終與速度方向垂直，向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小. 做勻速圓周運動的物體的線速度v、角速度、周期T、頻率f的關(guān)系是 .向心加速度a的大小為a . 42f2r，方向總是指向 ，時刻變化. 2.變速圓周運動 當(dāng)做圓周運動的物體所受合外力方向與速度方向 .時，速度大小、方向發(fā)生變

3、化，向心加速度和向心力都相應(yīng)變化. 返回目錄Trv2要要 點點 回回 顧顧 一般地說，當(dāng)做圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿 方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大小；其沿 方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向.分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢. 3.萬有引力定律及其應(yīng)用 基本方法：將天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需的向心力由 提供，即： 測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引力全部提供向心力） 由 得：M . 又M R3 得： （R為中心天體的半徑）.返回目錄rmwrTmr

4、vmrMmG22222434rTmrMmG222要要 點點 回回 顧顧 衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑R的關(guān)系 由 可得：v .r越大，v越小. 由 m2r可得： .r越大，越小. 由 r 可得：T2 . r越大，T越大. 由 ma向可得：a向 .r越大，a向越小. 地球同步衛(wèi)星就是相對于地面 的，和地球自轉(zhuǎn)具有相同 的衛(wèi)星，即T24 h.同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方距地面高度約h3.6104 km處. 4.帶電粒子（不計重力）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，粒子做勻速圓周運動，向心力由洛侖茲力提供，運動的軌道半徑為R ，運轉(zhuǎn)周期為T .返回目錄rvmrMmG222r

5、MmG222TmrMmGGMr /32rMmGBqmv典典 例例 賞賞 析析 例1 如圖所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞O點的水平軸在豎直面內(nèi)做自由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)給小球一個初速度，使它在豎直面內(nèi)做圓周運動，圖中a、b分別為小球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是 （ ） A.a處為推力，b處為拉力 B.a處為推力，b處為推力 C.a處為拉力，b處為拉力 D.a處為拉力，b處為推力 分析 當(dāng)物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動，且處于最高點的臨界狀態(tài)時，要注意約束的區(qū)別：繩與桿，繩只能提供拉力，而桿既能提供拉力又能提供支持力.返回目錄 解析 因改變小球速度方向的向心力是由小球所受的外力提供，且總是指向圓

6、心的，故在最低點a處，無論小球速度大小如何，桿提供的只能是拉力，且拉力應(yīng)大于重力，才能提供指向圓心的向心力，而在最高點b處，重力的方向是指向圓心的，可充當(dāng)向心力，當(dāng)小球需要的向心力剛好等于重力時（即在b處球速vb 時，R為圓軌道半徑），桿處于自由狀態(tài)，既不產(chǎn)生拉力，也不產(chǎn)生推力；當(dāng)小球的速度vb 時，此時小球需要的向心力小于小球重力，球?qū)U產(chǎn)生擠壓作用，桿產(chǎn)生沿半徑向外的推力；當(dāng)小球的速度vb 時，小球此時所需要的向心力大于重力，有向外離心運動趨勢而拉伸桿使桿產(chǎn)生對球的拉力. 由以上分析可知，桿在a處只能是拉力，而在b處，則可能提供拉力、推力或不提供任何作用力.本題正確答案是C、D.典典 例例

7、 賞賞 析析 答案 CD返回目錄RgRgRg 點評分析圓周運動的臨界問題時，一般應(yīng)從與研究對象相聯(lián)系的物體（如：繩、桿、軌道支持面等）的力學(xué)特征著手. 沒有物體支撐的小球,在豎直面內(nèi)做圓周運動,在最高點的動力學(xué)方程為：mgFm ，F(xiàn)為繩或軌道對小球的作用力,其特征是：只能向下,最小為零.所以小球做完整的圓周運動應(yīng)有一最小速度：v 臨界條件：繩或軌道對小球沒有力的作用，mgm ，v臨界 小球能過最高點的條件：v ，當(dāng)v 時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力. 小球不能過最高點的條件：v （實際上球還沒有到達(dá)最高點就脫離了軌道）. 輕質(zhì)桿連接小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點的動力學(xué)方程為：mgF

8、m典典 例例 賞賞 析析 返回目錄rv2grrv2grgrgrgrrv2 變式練習(xí)1 如右圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點由靜止出發(fā)到B點時撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運動，且恰好通過軌道最高點C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點A，試求滑塊在AB段運動過程中的加速度. 典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 F為輕質(zhì)桿對小球的作用力，其特征是：可以向下（拉力），可以向上（支持力）.即F可以大于0（拉力），也可小于0（支持力）.不存在臨界情況. 例2 2 質(zhì)量為mA和mB的兩個小球A和B用輕質(zhì)彈簧連在一起，用長為L1的細(xì)繩將A球系于O軸上，使A、B兩球均以角速度在光滑的

9、水平面上繞OO軸做勻速圓周運動，如圖所示.當(dāng)兩球間的距離為L2時，將線燒斷，線被燒斷的瞬間，兩球加速度aA和aB各是多少？典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 分析 兩球繞同一軸做圓周運動，圓周運動的半徑不同，小球A所需向心力由繩的拉力和彈簧的彈力提供.小球B所需向心力由彈簧的彈力提供. 解析 B球繞O點做勻速圓周運動時，向心力由彈簧的彈力提供，則FmB2（L1L2）典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 燒斷線的瞬間，A、B受的合外力均為 FmB2（L1L2）， 所以，兩球的加速度分別為 2（L1L2） 2（L1L2）ABAAmmmFaBBmFa 答案 2（L1L2） 2（L1L2）ABmm 拓展 線

10、被燒斷的瞬間，兩球速度vA和vB各是多少？以后兩小球怎樣運動？ 點評 物體做圓周運動的動力學(xué)原因是：物體所受的沿半徑方向的合外力和物體運動所需的向心力相等.向心力的作用效果是改變物體運動的方向，如果向心力突然消失，則物體的速度方向不再變化，由于慣性物體將沿切線方向飛出；如果提供的使物體做圓周運動的向心力太小，雖然物體的速度方向還要變化，但速度方向變化較慢，因此物體偏離原來的圓周做離心運動，其軌跡為圓周和切線間的某條曲線；如果做圓周運動的物體所受的合外力大于它做圓周運動所需的向心力，那么物體會逐漸靠近圓心.典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 變式練習(xí)2 如圖所示，A、B兩物體用輕繩連接，并穿在CD

11、桿上，可沿桿滑動.已知A、B的質(zhì)量分別為m1和m2，桿CD對物體AB的最大靜摩擦力均與各物體的重力成正比，比例系數(shù)為，物體A離轉(zhuǎn)軸OO的距離為R1，物體B到轉(zhuǎn)軸OO距離為R2，且有R1R2和m1m2.當(dāng)裝置繞著轉(zhuǎn)軸OO轉(zhuǎn)動的角速度緩慢增大到1時，連接兩物體的輕繩開始有拉力；角速度增大到2時，其中一個物體受到桿的摩擦力為零；求： （1）角速度1多大？此時兩物體受到摩擦力多大？ （2）角速度2多大？ （3）角速度為2時輕繩拉力多大？典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 例3 3 2003年10月15日，我國成功發(fā)射了第一艘載人宇宙飛船“神舟五號”.火箭全長58.3 m，起飛重量為479.8 t，火箭點

12、火升空，飛船進(jìn)入預(yù)定軌道.“神舟五號”環(huán)繞地球飛行14圈用的時間是21 h，飛船點火豎直升空時，航天員楊利偉感覺“超重感比較強”，儀器顯示他對座艙的最大壓力等于他重力的5倍.飛船進(jìn)入軌道后，楊利偉還多次在艙內(nèi)漂浮起來，假設(shè)飛船運行的軌道是圓形軌道.（地球半徑R取6.4103 km，地面重力加速度g10 m/s2） 試回答下列問題： (1)試分析航天員在艙內(nèi)“漂浮起來”的現(xiàn)象產(chǎn)生的原因. (2)求火箭點火發(fā)射時，火箭的最大推力. (3)估算飛船運行軌道距離地面的高度.(估算結(jié)果可以保留根號)典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 分析 火箭點火發(fā)射時，火箭加速上升，處于超重狀態(tài).進(jìn)入圓形運行軌道后，飛

13、船做圓周運動，向心力由地球?qū)︼w船的萬有引力（重力）提供，系統(tǒng)處于完全失重狀態(tài). 解析 (1)宇宙飛船進(jìn)入軌道后，繞地球做圓周運動的過程中，其所受重力完全提供做圓周運動所需向心力，宇航員處于完全失重狀態(tài)，所以會漂浮起來. (2)對航天員，火箭點火升空時有： FNmgma， a4g典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 對飛船有：FMgMa FM(ga)479.8103(1040) N2.39107 N (3)飛船做圓周運動的過程中,萬有引力提供向心力,設(shè)地球質(zhì)量為M0 即： r 同時有：GM0gR2 飛船在軌運行周期：T s5400 s 由以上各式可得：r 所以，飛船離地面的高度為： hrR m6.4

14、106 m3.2105 m 答案 見解析. 22204TMrMMG1436002132224TgR3222614. 345400)104 . 6(10典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 變式練習(xí)3 如圖所示,質(zhì)量為m的飛行器在繞地球的圓軌道上運行,半徑為r1,要進(jìn)入半徑為r2的更高的圓軌道,必須先加速進(jìn)入一個橢圓軌道,然后再進(jìn)入圓軌道,已知飛行器在圓軌道上運動時速度大小為v,在A點時通過發(fā)動機向后噴出一定質(zhì)量的氣體使飛行器速度增加到v進(jìn)入橢圓軌道,設(shè)噴出的氣體的速度為u, 求： 點評 研究天體運動(包括人造地球衛(wèi)星的運動)的基本方法是：把天體的運動看作是勻速圓周運動，天體間的萬有引力提供所需的向

15、心力，即： mr2 另外，一般不考慮天體自轉(zhuǎn)因素的影響，而認(rèn)為物體在天體表面的重力大小等于天體對物體的萬有引力，即：mg .2RMmG2rMmGrvm2rTm22 (1)飛行器在軌道上的速度v1及軌道處的重力加速度； (2)飛行器噴出氣體的質(zhì)量.典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 例4 4 已知回旋加速器中D形盒內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度B1.5 T, D形盒的半徑為R60 cm,兩盒間隙d1.0 cm,兩盒間電壓U2.0104 V,今將粒子從近于間隙中心某點向D形盒內(nèi)以近似于零的初速度，垂直于半徑的方向射入，求粒子在加速器內(nèi)運行的時間. 分析 回旋加速器、質(zhì)譜儀等科學(xué)實驗設(shè)備，其基本原理是帶電粒子

16、在回旋加速器中被電場加速，在速度選擇器中選擇粒子，在偏轉(zhuǎn)磁場中因為洛倫茲力作用下而做圓周運動. 回旋加速器最基本的原理是電場加速，磁場偏轉(zhuǎn).被加速粒子做圓周運動的周期與速度無關(guān)，是恒定的，每一周期被加速兩次，只要得到粒子最后的能量和每次加速后增加的能量，即可知加速次數(shù)，進(jìn)一步可知經(jīng)歷幾個周期，就可求得總時間.典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 解析 粒子在D形盒中運動的最大半徑為R，則R ，則其最大動能為Ekm 粒子被加速的次數(shù)為n 則帶電粒子在加速器內(nèi)運動的總時間為 s4.3105 sBqmvmmRqB2222qUEkmmUqRB2224222102236. 05 . 114. 32242UB

17、RBqmmUqRBTnt 答案 4.3105 s 點評 注意體會這種由最大運動半徑求最大動能，由最大動能和每次加速所獲得的動能求加速次數(shù)，再求總時間的分析思路. 拓展2 回旋加速器不能無限制地給帶電粒子加速.在粒子的能量很高，它的速度接近光速時.根據(jù)愛因斯坦的狹義相對論，這時粒子的質(zhì)量將隨著速率的增加而顯著地增大，從而使粒子回旋周期變大，這樣交變電場的周期難以與粒子回旋周期一致，破壞了加速器工作條件，也就無法提高速率了.典典 例例 賞賞 析析 返回目錄 拓展1 粒子在回旋加速器中，要保持每次經(jīng)過窄縫時被加速，必須將D形盒接在高頻交流電源上，且交流電的周期與粒子在D形盒做圓周運動的周期相同，即T交T粒 .qBm2 變式練習(xí)4 如下頁圖所示，是一種質(zhì)譜儀的示意圖，從離子源S產(chǎn)生的正離子，經(jīng)過S1和S2之間的加速電場，進(jìn)入速度選擇器.P1和P2間的電場強度為E，磁感應(yīng)強度為B1.離子由S3射出后進(jìn)入磁感應(yīng)強度為B2的勻強磁場區(qū)域.由于