1、目錄高等數學公式4導數公式：4基本積分表：4三角函數的有理式積分：4一一些初等函數：兩個重要極限：5三角函數公式：5·誘導公式：5·和差化積公式：6·和差角公式：·倍角公式：6·半角公式：6（Leibniz）公式：6高階導數公式中值定理與導數應用：7曲率：7多元函數微分法及應用9微分法在幾何上的應用：9多元函數的極值及其求法：10重積分及其應用：10柱面坐標和球面坐標：11曲線積分：11曲面積分：12公式：13常數項級數：13級數審斂法：14絕對收斂與條件收斂：14冪級數：15函數展開成冪級數：15一些函數展開成冪級數：15公式：15三角級數：

2、15周期為2l 的周期函數的級數：16微分方程的相關概念：16一階線性微分方程：17分方程：17微分方程：17系數齊次線性微分方程及其解法：17系數非齊次線性微分方程17二 概率公式整理181隨機及其概率182. 概率的定義及其計算183. 條件概率18乘法公式19全概率公式191Bayes 公式194隨量及其分布19分布函數計算195離散型隨量19(1)0 1 分布19(2) 二項分布 B(n, p)19* Possion 定理206連續型隨量20U (a, b)(1)均勻分布. 20E(l)(2)(3)指數分布. 20正態分布 N (m , s 2 )207.8.隨量及其分布21連續型二維

3、隨量21(1)區域 G 上的均勻分布，U ( G )21(2) 二維正態分布22二維隨量的 條件分布229.10. 隨量的數字特征22數學期望22隨 X XX量函數的數學期望22的 k 階絕對原點矩23的 k 階中心矩23的 方差23X ,Y 的X ,Y 的X ,Y 的X ,Y 的k + l 階混合原點矩23k + l 階混合中心矩23混合原點矩23混合中心矩X ,Y 的協方差23X ,Y 的相數23X 的方差23協方差23相數24三 線性代數部分25基本運算25有關乘法的基本運算26可逆矩陣的性質27伴隨矩陣的基本性質：28伴隨矩陣的其他性質28矩陣的秩的簡單性質31矩陣在運算中秩的變化32

4、特征值特征向量33特征值的性質34特征值的應用34n 階矩陣的相似. 352正定二次型與正定矩陣性質與判別35基本概念36行列式38乘法相關38乘積矩陣的列向量與行向量38初等矩陣及其在乘法中的作用39乘法的分塊法則39矩陣方程與可逆矩陣40可逆矩陣及其逆矩陣41線性相關性41極大無關組和秩42有相同線性的向量組42矩陣的秩43基礎解系和通解44特征向量與特征值44特征向量與特征值計算45n 階矩陣的相似. 45二次型（實二次型）46可逆線性變量替換47實對稱矩陣的合同47二次型的標準化和規范化47標準化和規范化的. 48正定二次型與正定矩陣48附錄一 內積，正交矩陣，實對稱矩陣的對角化49向

5、量的內積491定義492性質493長度與正交49正交矩陣50正交化50附錄二 向量空間531n 維向量空間及其子空間532. 基，維數，坐標533. 過渡矩陣，坐標變換公式544. 規范正交基553一高等數學公式導數公式：1(arcsin x)¢ =(tgx)¢ = sec 2 x (ctgx)¢ = -csc 2 x (sec(csc(ax )¢ = ax ln a1- x21(arccos x)¢ = -1- x2(arctgx)¢ = 11+ x211(log x)¢ =(arcctgx)¢ = -a1+ x

6、2x ln a基本積分表：òtgxdx = -ln cos x + Cò ctgxdx = ln sin x + Còsecò cscdxò cos2 xò= sec2 xdx = tgx + Cdxò2= ò csc2 xdx = -ctgx + C+ C+ Csin xòsec x × tgxdx = sec x + Cò csc x × ctgxdx = -csc x + Cax dx= 1 arctg x +Cò 22a + xaaò axdx =

7、+ C1 ln x - adxln aò shxdx = chx + Cò x2 - a2=+ Cx + a2a=ln a + x + Cdx1ò a2 - x2òchxdx = shx + C2aa - xòdx= ln(x +x2 ± a2 ) + C dx= arcsin x + Còx2 ± a2aa2 - x2p2p2n -1In = òsinxdx =òcosxdx =nnIn-2n00xa2òòòx + a dx =222x + a +ln(x +22

8、x + a ) + C222a2xx - a dx =2x - a -ln x +x - a+ C2222222a2xxa - x dx =222a - x +arcsin+ Ca222三角函數的有理式積分：1- u 22ux2dusin x =， cos x =u = tg， dx =，1+ u 21+ u 21+ u 224一些初等函數：兩個重要極限：x- x雙曲正弦: shx = e - elim sin x = 1x2ex + e- xx®0lim(1+ 1 )x = e = 2.718281828459045.雙曲余弦: chx =xx®¥2ex - e

9、- xex + e- xshx雙曲正切: thx =chxarshx = ln(x +x2 +1）archx = ±ln(x +x2 -1)arthx = 1 ln 1+ x21- x三角函數公式：·誘導公式：5函數角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90°-cossinctgtg90°+cos-sin-ctg-tg180°-sin-cos-tg-ctg180°+-sin-costgctg270°-cos-sinctgtg270°+-cossin-ctg-tg360°-sincos-t

10、g-ctg360°+sincostgctg·和差角公式：sin(a ± b ) = sin a cos b ± cosa sin b·和差化積公式：sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b2a2cos(a ± b ) = cosa cos b m sin a sin b tga ± tgb + b sin a - bsin a - sin b = 2 costg(a ± b ) =2a + b2a - b1m tga × tgbcosa + cos b = 2 cosco

11、sctga × ctgb m1ctgb ± ctga22ctg(a ± b ) =cosa - cos b = 2 sin a + b sin a - b22·倍角公式：sin 2a = 2 sin a cosacos 2a = 2 cos2 a -1 = 1- 2 sin 2 a = cos2 a - sin 2 asin 3a = 3sin a - 4 sin 3 acos 3a = 4 cos3 a - 3cosactg 2a -1 2ctgactg2a =3tga - tg3a1- 3tg 2atg3a =2tga 1- tg 2atg2a =&

12、#183;半角公式：sin a = ±1- cosa2cos a = ±1+ cosa222tg a = ±1- cosa = 1- cosa = sin a ctg a = ±1+ cosa = 1+ cosa = sina 1+ cosasin a1+ cosa1- cosasin a1- cosa22abc= 2R·余弦定理： c2 = a2 + b2 - 2abcosC正弦定理： sin Asin Bsin C= p - arcctgxarcsin22反三角函數性質：（Leibniz）公式：高階導數公式nå n(uv)(n)

13、=C uvk (n-k ) (k )k =0= u(n) v + nu(n-1) v¢ + n(n -1) u(n-2) v¢ +L+ n(n -1)L(n - k +1) u (n-k ) v(k ) +L+ uv(n)2!k!6中值定理與導數應用：日中值定理：f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a)f (b) - f (a)f ¢(x )=中值定理：F (b) - F (a)F (¢ x )當F(x) = x時，中值定理就是曲率：弧微分公式：ds = 1+ y¢2 dx,其中y¢ = tga日中值定理

14、。Da .Da : 從M點到M¢點，切線斜率的傾角變化量；Ds：MM ¢弧長。平均曲率：K =DsM點的曲率：K = lim Dada ds=.DsDs®0(1+ y¢2 )3直線：K = 0;半徑為a的圓：K = 1 .a定積分的近似計算：b矩形法：ò f (x) »ab梯形法：ò f (x) »b - a( y0 + y1 +L+ yn-1 )nb - a 1 ( y + y ) + y +L+ y 20n1n-1nab拋物線法：ò f (x) »ab - a( y0 + yn ) + 2(

15、 y2 + y4 +L+ yn-2 ) + 4( y1 + y3 +L+ yn-1 )3n定積分應用相關公式：功：W = F × s水：F = p × A引力：F = k m1m2 , k為引力系數r 2b1函數的平均值：y =ò f (x)dxb - aab1ò f 2 (t)dt均方根：b - a a空間幾何和向量代數：7y¢空間2點的距離：d =(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2M M12212121向量在軸上的投影：Pr ju AB =AB ×cosj,j是AB與u軸的夾角。vvvvPr ju

16、 (a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja2vvvva × b = a × b cosq = axbx + ayby + azbz ,是一個數量,axbx + ayby + azbz兩向量之間的夾角：cosq =a 2 + a 2 + a2 ×b 2 + b 2 + b2xyzxyzij aybykvvvvvvvvv= a × b sinq .例：線速度：v = w´ r.c = a ´ b = axaz , cbxbzax bx cxay by cyaz bz czv vvvvvvvv= a ´ b 

17、5; c cosa ,a為銳角時向量的混合積：abc = (a ´ b ) × c =代表平行六面體的體積。平面的方程：) = 0，其中v = A, B,C, M1、點法式：A(x - x ) + B( y - y ) + C(z - zn(x , y, z )00000002、方程：Ax + By + Cz + D = 0xyz、截距世方程： += 13abc平面外任意一點到該平面的距離：d =A2 + B2 + C 2ìx = x0 + mtx - x0y - y0z - z0ïv空間直線的方程：=m二次曲面：= t,其中s = m, n, p;參數

18、方程：í y = y0 + ntnpï z = z + ptî0x2y 2z 21、橢球面： += 1a2b2c2x2y 22、拋物面： += z（, p, q同號）2 p2q3、雙曲面：x2y 2z 2單葉雙曲面： +-= 1a2b2c2x2y 2z 2雙葉雙曲面： -+=（1 馬鞍面）a2b2c28Ax0 + By0 + Cz0 + D多元函數微分法及應用分：dz = ¶z dx + ¶z dydu = ¶u dx + ¶u dy + ¶u dz¶x¶y¶x¶y¶

19、;z分的近似計算：Dz » dz = f x (x, y)Dx + f y (x, y)Dy多元復合函數的求導法：dz = ¶z × ¶u + ¶z × ¶vz = f u(t),v(t)dt¶u ¶t¶v ¶t¶z = ¶z × ¶u + ¶z × ¶vz = f u(x, y),v(x, y)¶x¶u ¶x¶v ¶x當u = u(x, y)，v = v(x, y)

20、時，du = ¶u dx + ¶u dydv = ¶v dx + ¶v dy¶x¶y¶x¶y隱函數的求導公式：d 2 y¶¶dyFFFdy隱函數F (x, y) = 0，= - x ，=(- x ) (- x ) ×dx2¶xF¶yFdxdxFyyy= - Fy隱函數F (x, y, z) = 0， ¶z = - Fx ，¶z¶xFz¶yFz¶F¶u¶G¶u¶F¶v&

21、#182;G¶vìF (x, y,u,v) = 0¶(F ,G)FuFv GJ =G隱函數方程組：íîG(x, y,u,v) = 0¶(u,v)uv¶u = - 1 × ¶(F ,G)¶v = - 1 × ¶(F ,G)¶xJ¶(x, v)¶xJ¶(u, x)¶u = - 1 × ¶(F ,G)¶v = - 1 × ¶(F ,G)¶yJ¶( y,v)

22、2;yJ¶(u, y)微分法在幾何上的應用：ì x = j (t)空間曲線ï y =y (t)在點M (x , y , z )x - x0y - y0z - z0=í處的切線方程：¢000j (t0 )y ¢(t0 )w ¢(t )ï z = w (t)0î在點M處的法平面方程：j ¢(t0 )(x - x0 ) +y ¢(t0 )( y - y0 ) + w ¢(t0 )(z - z0 ) = 0ìïF (x, y, z) = 0vFyFzFxFyFzF

23、x,則切向量T = G若空間曲線方程為：í,G, GïîG(x, y, z) = 0GGGyzxyzx曲面F (x, y, z) = 0上一點M (x0 , y0 , z0 )，則：v、過此點的法向量：n = F (x , y , z ), F (x , y , z ), F (x , y1, z )x000y000z0002、過此點的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z - z0 ) = 0x - x0y - y0z - z0

24、=3、過此點的法線方程：Fx (x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )方向導數與梯度：9¶f = ¶fcosj + ¶f sin j函數z = f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向l的方向導數為：¶l¶x¶y其中j為x軸到方向l的轉角。函數z = f (x, y)在一點p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = ¶fv + ¶fv¶x i¶yj是： = grad f (x, y) × v，其中v = cos

25、j × v + sin j × v¶f它與方向導數的eeij，為l方向上的¶l向量。 ¶f是gradf (x, y)在l上的投影。¶l多元函數的極值及其求法：設fx (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0，令：f xx (x0 , y0 ) = A,f xy (x0 , y0 ) = B,f yy (x0 , y0 ) = Cìïì A < 0,(x0 , y0 )為極大值AC - B > 02時，íîA > 0,(x0 , y0 )為極小值&

26、#239;則：í AC - B2 < 0時，無極值不確定ïAC - B2 = 0時,ïïî重積分及其應用：òò f (x, y)dxdy = òò f (r cosq , r sinq )rdrdqD¢Dæ ¶z ö2æ ¶z ö2曲面z = f (x, y)的面積A = òò 1+ ç ¶x ÷ + ç ¶y ÷dxdyèø

27、32;øDòò xr (x, y)dsòò yr (x, y)dsDòò r (x, y)dsMM平面薄片的重心：x =x = D,y =y=òò r (x, y)dsMMD平面薄片的轉動慣量：對于x軸I x = òò y r (x, y)ds ,2D對于y軸Iy = òò x r (x, y)ds2DD平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質點M (0,0, a),(a > 0)的引力：F = Fx , Fy , Fz ，其中r (x, y)xdsr (x, y

28、) yds r (x, y)xds3(x2 + y 2 + a2 ) 2òòDòòDòòDF = fF = fF = - fa，xyz3(x2 + y 2 + a2 ) 23(x2 + y 2 + a2 ) 210柱面坐標和球面坐標：ìx = r cosq柱面坐標：ï y = r sinq ,òòò f (x, y, z)dxdydz = òòò F (r,q , z)rdrdqdz,íïz = zWWî其中：F (r,q ,

29、 z) = f (r cosq , r sinq , z)ìx = r sin j cosq球面坐標：ï y = r sin j sinq ，dv = rdj × r sin j × dq × dr = r 2 sin jdrdjdqíïz = r cosjî2ppr (j ,q )òòò f (x, y, z)dxdydz = òòò F (r,j,q )r 2 sin jdrdjdq = ò dq ò dj ò F (r,

30、j,q )r 2 sin jdrWW000重心：x = 1 òòò xrdv,y = 1 òòò yrdv,z = 1 òòò zrdv，其中M = x = òòò rdvWI z = òòò(x + y )rdv22WMMMWWW轉動慣量：Ix = òòò( y + z )rdv，22WI y = òòò(x + z )rdv，22W曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：

31、36; x = j (t)(a £ t £ b ),則：設f (x, y)在L上連續，L的參數方程為：í,î y =y (t)b j ¢2 (t) +y ¢2 (t)dtx = tìò f (x, y)ds = ò f j (t),y (t)(a < b )特殊情況：íî y = j (t)aL11第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：ì x = j (t)設L的參數方程為í y =y，則：(t)îbò P(x, y)dx + Q(x, y)

32、dy = òPj (t),y (t)j ¢(t) + Qj (t),y (t)y ¢(t)dtaL兩類曲線積分之間的關系：ò Pdx + Qdy = ò(P cosa + Q cos b )ds，其中a和b分別為LL上積分起止點處切向量的L。公式：òò( ¶Q - ¶P )dxdy = ò Pdx + Qdy公式：òò( ¶Q - ¶P )dxdy = ò Pdx + Qdy¶x¶y¶x¶yDLDL

33、2;¶QP1òòò當P = - y,Q = x，即： -= 2時，得到D的面積：A =dxdy =xdy - ydx¶x¶y2 LD·平面上曲線積分與路徑無關的條件：1、G是一個單連通區域；2、P(x, y)，Q(x, y)在G內具有一階連續偏導數，且¶Q¶P 。注意奇點，如(0,0)，應¶x¶y減去對此奇點的積分，注意方向相反！·二元函數的分求積：在¶Q¶P 時，Pdx + Qdy才是二元函數u(x, y)的分，其中：¶x¶y( x,

34、 y )u(x, y) =ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy，通常設x0 = y0 = 0。( x0 , y0 )曲面積分：òòòò對面積的曲面積分： f (x, y, z)ds =f x, y, z(x, y) 1+ z 2 (x, y) + z 2 (x, y)dxdyxyåDxy對坐標的曲面積分：òò P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy，其中：åòò R(x, y, z)dxdy = ± 

35、2;ò Rx, y, z(x, y)dxdy，取曲面的上側號；åDxyòò P(x, y, z)dydz = ± òò Px( y, z), y, zdydz，取曲面的前側號；åDyzòòQ(x, y, z)dzdx = ±òòQx, y(z, x), zdzdx，取曲面的右側號。åDzx兩類曲面積分之間的關系：òòå+ Rdxdy = òò(P cosa + Q cos b + R cosg )ds

36、29;12公式：òòò( ¶P + ¶Q + ¶R )dv = òò¶x¶y¶zWåå散度：divnv = ¶P + ¶Q + ¶R ,即：¶x¶y¶zv v×通量：òò A nds = òò A ds = òò(P cosa + Q cos b + R cosg )ds，nå因此，ååvWå公式曲

37、線積分與曲面積分的：òò( ¶R - ¶Q )dydz + ( ¶P - ¶R )dzdx + ( ¶Q - ¶P )dxdy = ò Pdx + Qdy + Rdz¶y¶z¶z¶x¶x¶yåGcos b ¶¶y Qcosa¶¶x Pcosg¶¶z Rdydzdzdxdxdy¶¶¶上式左端又可寫成：òòå= ò

38、;òå¶x P¶y¶zQR¶R¶Q¶P¶R¶Q¶P空間曲線積分與路徑無關的條件： =，=，=¶y¶z¶z¶x¶x¶yi¶¶x Pj¶¶y Qk¶¶z RvrotA =：vvv向量場A沿有向閉曲線G的環流量：ò Pdx + Qdy + Rdz = ò A × t dsGG常數項級數：1- qnn-1等比數列：1+ q + q +L+ q=2

39、1- q等差數列：1+ 2 + 3 +L+ n = (n +1)n2調和級數：1+ 1 + 1 +L+ 1 是發散的23n13級數審斂法：1、正項級數的審斂法 根植審斂法（ìr < 1時，級數收斂ï判別法）：設：r = lim n un，則ír > 1時，級數發散n®¥ïr = 1時，不確定î2、比值審斂法：ìr < 1時，級數收斂ïUr = lim，則 r > 1時，級數發散n+1設：íUnn®¥ïr = 1時，不確定î3、定義法

40、：sn = u1 + u2 +L+ un ;lim sn，則收斂；否則發散。n®¥交錯級數u1 - u2 + u3 - u4 +L(或- u1 +u 2 -u3 +L,un > 0)的審斂法 ìï un ³ un+1定理：如果交錯級數滿足ílimu，那么級數收斂且其和s £ u1 ,其un+1。= 0ïîn®¥n絕對收斂與條件收斂：(1)u1 + u2 +L+ un +L，其中un為任意實數；+ u2+ u3+L+ un+L(2) u1如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對

41、收斂級數如果(2)發散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數。(-1)n1åå調和級數： 發散，而收斂；nn級數：å 1 收斂；n2£時發散p > 1時收斂p級數：å 1 n p14冪級數：1+3 +L+x ³ 1時，發散對于級數(3)a + a x + a x2 +L+ a xn +L，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全012nx < R時收斂> R時發散，其中R稱為收斂半徑。= R時不定數軸上都收斂，則必存在R，使xx1rr ¹ 0時，R =求收斂半徑的：設lim an+1= r，其中a ，a是(3)

42、的系數，則 r = 0時，R = +¥nn+1an®¥nr = +¥時，R = 0函數展開成冪級數：f ¢ (2!f (n) (x)函數展開成級數：f (x) = f (0 ) +0 ) +L+0 (x - x0 ) +L2nn!f (n+1) (x )(n +1)!：Rn =(x - x0 ), f (x)可以展開成n+1級數的充要條件是：lim Rn = 0n®¥f ¢ (0)f (n) (0)x0 = 0時即為公式：f (x) = f (0) + f (0)x +¢x +L+x +L2n2!n!一些

43、函數展開成冪級數：= 1+ mx + m(m -1) x2 +L+ m(m -1)L(m - n +1) xn +L(1+ x)m(-1 < x < 1)2!+ (-1)n!2n-1sin x = x -+-+L(-¥ < x < +¥)(2n -1)!3!5!公式：ìeix + e-ixïcos x =或ï2eix - e-ixeix = cos x + i sin xíïsin x =ïî2三角級數：¥+ å¥+ åA sin(nwt +

44、 j ) = a0f (t) = A(a cos nx + b sin nx)0nnnn2n=1n=1其中，a0 = aA0，an = An sin jn，bn = An cosjn，wt = x。,cos nxL任意兩個不同項的乘積在-p ,p 正交性：1,sin x,cos x,sin 2上的積分0。級數：15+L426222正弦級數：an =數：bn =周期為2l 的周期函數的級數：(a cos npx + bf (x) = a0¥+ ånn2ln=1ìïannpx1 l=ò f (x) cosdx ll其中ï-lín

45、px1 lïbl ò=f (x)sindxïnlî-l微分方程的相關概念：一階微分方程： 可分離變量的微ò g( y)dy =ò f (x)齊次方程：一階y ，則dy =設u =xdx即得齊次方程通16一階線性微分方程：dy、一階線性微分方程： + P(x) y = Q(x)1dx當Q(x) = 0時,為齊次方程，y = Ce-ò P( x)dx當Q(x) ¹ 0時，為非齊次方程，y = (òQ(x)eò P( x)dx dx + C)e-ò P( x)dxdy、貝努力方程： + P(

46、x) y = Q(x) y ，(n ¹ 0,1)n2dx分方程：如果P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0中左端是某函數的分方程，即：¶u = P(x, y)¶u = Q(x, y)du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0，其中：，¶x¶yu(x, y) = C應該是該微分方程：分方程的通解。f (x) º 0時為齊次f (x) ¹ 0時為非齊次d 2 y +dyP(x)+ Q(x) y = f (x)，dx2dx系數齊次線性微分方程及其解法：(*) y¢ + py

47、62; + qy = 0，其中p, q為常數； 求解步驟：1、寫出特征方程：(D)r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r的系數及常數項恰好是(*)式中y¢ , y¢, y的系數2、求出(D)式的兩個根r1, r23、根據r1 , r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解系數非齊次線性微分方程y¢ + py¢ + qy = f (x)，p, q為常數f (x) = elx P (x)型，l為常數；mf (x) = e P (x) coswlx + P (x)sin wxx型ln17r1，r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根( p2 - 4q &

48、gt; 0)y = c er1x + c er2 x12兩個相等實根( p2 - 4q = 0)y = (c + c x)er1x12一對共軛復根( p2 - 4q < 0)r1 = a + ib，r2 = a - ibap4q - p2= -，b =22y = eax (c cos bx + c sin bx)12二概率公式整理1隨機及其概率A È W = WA ÈÆ = AA Ç W = A A ÇÆ = ÆA Ç ( A È B) = A吸收律： A È ( AB) = AA - B

49、 = AB = A - ( AB)A È B = A BAB = A È B反演律：nn nn U Aii=1= I Aii=1I Aii=1= U Aii=12概率的定義及其計算P( A) = 1- P( A)Þ P(B - A) = P(B) - P( A)若 A Ì BP(B - A) = P(B) - P( AB)對任意兩個A, B, 有加法公式：對任意兩個A, B, 有P( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB)P( A È B) £ P( A) + P(B)nnnP(U A ) = 

50、9; P( A ) - å P( A A )+å P( A A A ) +L+ (-1)n-1 P( A A L A )iiijijk1 2ni=1i=11£i< j£n1£i< j<k £n3條件概率18P( AB)P(BA)=P( A)乘法公式P( AB) = P( A)P(BA) (P( A) > 0)P( A A L A ) = P( A )P(AA )LP( AA A L A)1 2n-11 2n121n(P( A1 A2 L An-1 ) > 0)全概率公式nnP( A) = å P

51、( ABi ) = å P(Bi ) × P( ABi )i=1i=1Bayes 公式P(Bk )P( A Bk )= P( ABk )nåi=1P(B )P( A B )P(BkA)iiP( A)4隨量及其分布分布函數計算P(a < X £ b) = P( X £ b) - P( X £ a)= F (b) - F (a)5離散型隨量(1)0 1 分布P( X = k) = pk (1- p)1-k , k = 0,1B(n, p)(2) 二項分布若 P ( A ) = pP( X = k) = Ck pk (1- p)n-k

52、 , k = 0,1,L, nn19* Possion 定理lim npn = l > 0n®¥lkk!n-k-llimC p (1- p )= ek kn nnn®¥k = 0,1,2,L有P(l)(3)Poisson 分布lkk!P( X = k) = e-lk = 0,1,2,L,6連續型隨量U (a, b)(1)均勻分布ì1a < x < b,f (x) = ïb - aíï0,其他îì 0,ï x - aF (x) = ïíb - a,&

53、#239;ïî1E(l)(2) 指數分布ìïle-lx ,x > 0其他f (x) = íïî0,x < 0F (x) = ì0,íî1- e,x ³ 0-lx(3) 正態分布 N (m , s 2 )( x-m )21-f (x) =- ¥ < x < +¥2s 2e2p s20- (t -m )21xòF (x) =2s 2ed t2ps-¥* N (0,1) 標準正態分布x221-j (x) =- ¥ &l

54、t; x < +¥e2pt 21-xòF(x) =- ¥ < x < +¥e2 dt2p-¥7.隨量及其分布二維隨量( X ,Y )的分布函數xyò òF (x, y) =f (u, v)dvdu-¥-¥邊緣分布函數與邊緣密度函數x+¥ò òF (x) =f (u, v)dvduX-¥ -¥+¥f X (x) = ò-¥ f (x, v)dvy+¥ò òF ( y) =f (u, v)dudvY-¥ -¥(u, y)du8. 連續型二維隨量(1) 區域 G 上的均勻分布，U ( G )ìï 1 ,(x, y) Î G其他f (x, y) = í Aïî 0,21(2) 二維正態分布1( x-m )é2( x-m )( y -m ) ( y -m )2ùúúû-1-2 r12+2ê