1、數列綜合練習(一)知識植理1 .等比數列前n項和公式：a1 1 qn _ a1 - anq / 1(1)公式：Sn=1-q1-q.na1 q= 1(2)注意：應用該公式時，一定不要忽略q=1的情況.2 .若an是等比數列，且公比 qw1,則前n項和Sn =-a(1 - qn)= A(qn-1).其中1 qa a1A=.q- 13 .推導等比數列前 n項和的方法叫錯位相減法.一般適用于求一個等差數列與一個等 比數列對應項積的前 n項和.4 .拆項成差求和經常用到下列拆項公式：(1)n n+ 1 n n+ 1'作業設計、選擇題S5.1.設Sn為等比數列an的刖n項和，8a2+a5=0,則&

2、amp;等于()A. 11C. 8答案 DB.D.511解析 由 8a2+a5= 0 得 8a1q+a1q4 = 0, m.t S) a1 1 + 2， q= - 2,貝U =2" = 一 11.& a 1222.記等比數列an的前n項和為Sn,若S3=2, S6=18,則S0等于()A. 3C. 31答案 DB. 5D. 33a1 1 一q6解析 由題意知公比qw1, S6 = -1q 3S3a1 1 一q1 q=1 + q3= 9,a1 1 q101 qa1 1 一 a，1 q1 + q5= 1 + 25= 33.3.設等比數列 Si 一 一 .an的公比q=2,前n項和

3、為Sn,則一等于()a2A. 215 c.yB. 417D. 2答案 C解析 方法一 由等比數列的定義，S4= ai +a2 +a3+a4=1+a2+a2q+a2q2,得出=-+1 + q+q2=15.a2 q2十月一 c ai 1q4方法一- S4= , a2 = aiq,1 -q4,S41 q 15 一=a21 - q q 24.設an是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和，已知a2a4=1, S3=7,則S5等八15 A.萬33C.了于（）c 31 B.?17D.萬答案 B解析:an是由正數組成的等比數列，且a2a4=1,.設an的公比為q,則q>0,且a2= 1,即a3 = 1

4、. 3=7, . . a + a2+a3=-2H1 = 7,q2 q即 6q2-q-1 = 0.1 ,、1 .故q = 2或q=- 3（舍去）,一 1, a1 = 2 4.q21314 .41廢山1 - S5=1 = 8（1 251-25.在數列an中，()A. 0 B. 1答案 C解析當n=1時,C. 1D. 2a1 = S1 = 3+ k,an+1 = can(c為非零常數)，且前n項和為Sn=3n+k,則實數k的值為當 n>2 時，an= SnSn-1= （3n+k） （3n 1+k） = 3n3n1 = 2 3n .由題意知an為等比數列，所以 a1 = 3+k= 2, k= 一

5、 1.6.在等比數列an中，公比q是整數，a+a4=18, a2+a3=12,則此數列的前 8項和 為（）A. 514 B. 513 C. 512 D. 510答案 D解析 由 a1+a4=18 和 a2+a3 = 12,a1 + a1q3=18a1=2a116得方程組o ，解得 或 1.a1q+a1q2=12q= 2q=2、一，2 28 1 一" q 為整數，q = 2, a1 = 2, Ss= =292=510.2 1二、填空題7 .若an是等比數列，且前 n項和為Sn=3-1 + 3則t=.答案； 3解析 顯然qwl,此時應有Sn=A(qn1),又 Sn=1 3n+ 3 . .

6、 t= - 1. 338 .設等比數列an的前n項和為Sn,若ai=1,S6=4S3,則a4 =.答案 3解析 S6=4S3?可q =4 al 1 q ? q3=3(q3 = 1 不合題意，舍去). 1 - q 1 - q a4= a1 q3= 1X3 = 3.9 .若等比數列an中，a1=1,an=512,前n項和為Sn= 341,則n的值是答案 10el a a1 - anq1 + 512q解析 Sn=， 341 =1-q1-q，q= - 2,又< an = a1qn 1, 1 512=(-2)n 1,n= 10.10 .如果數列an的前n項和Sn = 2an-1,則此數列的通項公式

7、 an=.答案 2n 1解析 當 n = 1 時，S1 = 2a1 1, .' a1 = 2a1 1, ' a1 = 1.當 n>2 時，an= SnSnT = (2an1) (2anT - 1)1 1 an = 2an- 1,an是等比數列， an = 2n 1, n C N .三、解答題11.在等比數列an中，a1 + an = 66, a3an 2=128, Sn= 126,求 n 和 q.aan= 128,解 a3an 2= a1an,aan=128,解方程組a1 + an= 66,a1= 2,an= 64.a1 = 64,得或an= 2,將代入Sn=亭1aq,可

8、得q = 1，1 -q2由an=a1q1可解得n=6.將代入&=史二史q,可得q=2,1 q, 一1由 an= a1q 1 可斛得 n=6.故 n=6, q = 2或 2.12.已知Sn為等比數列an的前n項和，Sn=54, S2n=60,求S3n.解方法一由題意Sn, S2n-Sn, S3n S2n成等比數列，62 = 54(S3n-60),S3n=182.方法二由題意得aw1,s2n= 601 q由旬彳導1+qn=10-, 9qn=；a19X54-a1 1 Q3n9X 54 工f = 'S3n=1-q =丁”副1823 .13.已知數列an的前n項和Sn = 2n+2-4.

9、(1)求數列an的通項公式；(2)設bn= an log2an,求數列bn的前n項和Tn. 訕(1)由題意，Sn=2n+2-4,n>2 時，an= Sn Sn 1 = 2n 22n 1 = 2n 1當n = 1時，ai=Si=23-4=4,也適合上式，數列an的通項公式為an=2n+l, n N*,n+ 1(2) . bn= anlog 2an= (n+1) 2, .Tn=2 22+ 3 23+4 24+ + n 2n+ (n+ 1) 2n + l,2Tn= 2 23+ 3 24+4 25+ +n 2n + 1 + (n+ 1) 2n+2,得，Tn=- 23 23 24 25-2n+1

10、+ (n+ 1) 2n+223 1 _2n1，一 一 一.=-231-2+ (n+1) 2n 2=- 23 23(2n1-1)+(n+1) 2n 2= (n+ 1) 2n+223 2n 1=(n+1) 2n+2-2n+2=n 2n+2.14.已知等差數列an滿足：a3=7, a5+a7=26, an的前n項和為 S.(1)求 an 及 Sn；,1(2)令bn=需時(nC N ),求數列bn的前n項和Tn.解(1)設等差數列an的首項為a1,公差為d.a1+2d=7,因為 a3=7, a5+a7=26,所以2a1+ 10d = 26,n n 1 、Sn= 3n + 2* 2= n2+ 2n.a1

11、 = 3,解得所以 an=3+2(n- 1)=2n+ 1,d = 2.所以，an = 2n+1, Sn=n2+2n.(2)由(1)知 an=2n+ 1, ,1111所以 bn=am = 2n+121 =4 工771 11= 一4 n n+1 ' ,11 1 111所以 Tn=4(1 /5-3+L。)=7(1一 "T) = A, A ,4 ' n+1 4 n+ 1即數列bn的前n項和Tn =n4 n+ 115.設數列an滿足 a=2, an+1 an = 3 22n 1.(1)求數列an的通項公式；(2)令bn=nan,求數列bn的前n項和Sn.斛 (1)由已知，當 n

12、>1 時，an+1=(an+1 an)+(an an-1)+(a2 a 1) + a = 3(22n1 + 223+2) + 2=2的+1廠1.而a= 2,符合上式，所以數列an的通項公式為an=22n 1.(2)由 bn= nan= n 22n 1 知Sn= 1 2+ 2 23+ 3 25+ + n 22n 1,從而 22 Sn= 1 23+ 2 25+ 3 27+ - +n 22n+1.得(1 22)Sn = 2+ 23+ 25+ + 22-1 n 22n+1,即 Sn=1(3n1)22n+1+2. 9116 .在數列an中，a1 = 2, an+1=an+ln 1+、，則 an 等

13、于()A . 2+ In n B . 2+(n1)ln n C. 2+nln n D. 1+n+ln n答案 A1解析 an+1=an+ln 1 + n ,an+1 -an= In 1 + 1 =lnn1 =ln(n+1) In n. n n又 ai = 2,an= ai + (a2 ai)+ (a3 a2)+ (a4 a3)+ + (an an i)= 2 + ln 2 ln 1 + ln 3 ln 2 + In 4 In 3 + + In n ln( n 1) = 2+ In n In 1 =2 + In n.117 .已知正項數列an的前n項和0=4(an+1)2,求an的通項公式.1C

14、解 當 n=1 時，a1 = S1，所以 a1 = 4(a1+1)2, 解得a1=1.19 19 1 99當 n>2 時，an= SnSn-1= 4(an+ 1) -4(an 1 +1) = 4(an an1+2an 2an1),an an 1 2(an+ an 1)= 0 , , , (an+ an 1 )(an an 1 2) = 0. - an+ an 1>0 , an an 1 2=0.an - an 1 = 2.an是首項為1,公差為2的等差數列.-an=1 + 2(n-1) = 2n-1.18. (12 分)在數列an中，a1=1, an+1 = 2an+ 2n.、一a

15、n設bn=27-T.證明：數列bn是等差數列；(2)求數列an的前n項和.證明 由已知an+1 = 2an+2n,如1_a"1 2an +2nan 一 ，付 bn+ 1 = 20 =2n = 2門1 + 1 = bn + 1. - bn + 1 bn= 1 ,又 b1 = a1=1.bn是首項為1,公差為1的等差數列.(2)解 由(1)知，bn=n, 2n1 = bn = n. an= n 2n 1.Sn = 1 + 2 21 + 3 22 + n 2n 1兩邊乘以 2 得：2Sn= 1 21+2 22+(n1) 21 + n 2n,兩式相減得：Sn = 1 + 21+22+ 21n 2n= 2n-1-n 2n = (1-n)2n-1, Sn=(n-1) 2n+ 1.1一19. (12 分)已知數列an的前 n 項和為 Sn,且 a1=1, an+1 = "Sn(n= 1,2,3,).(1)求數列an的通項公式；(2)當bn=Iog3(3an+1)時，求證：數列丁的前n項和Tn = . 2bnbn+11 + n解由已知1an = 2Sn- 1(n>2)