1、對數函數及其性質（1） 一、 教材分析本小節選自普通高中課程標準數學教科書-數學必修（一）（人教版）第二章基本初等函數（1）對數函數及其性質（第一課時），主要內容是學習對數函數的定義、圖象、性質及初步應用。對數函數是繼指數函數之后的又一個重要初等函數，無論從知識或思想方法的角度對數函數與指數函數都有許多類似之處。與指數函數相比，對數函數所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高。學習對數函數是對指數函數知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數綜合問題及其在實際上的應用奠定良好的基礎。雖然這個內容十分熟悉，但新教材做了一定的改動，如何設計能夠符合新課標理念，是人們十分關注的，正因如此，本人

2、選擇這課題立求某些方面有所突破。二、 學生學習情況分析剛從初中升入高一的學生，仍保留著初中生許多學習特點，能力發展正處于形象思維向抽象思維轉折階段，但更注重形象思維。由于函數概念十分抽象，又以對數運算為基礎，同時，初中函數教學要求降低，初中生運算能力有所下降，這雙重問題增加了對數函數教學的難度。教師必須認識到這一點，教學中要控制要求 的拔高，關注學習過程。三、設計理念本節課以建構主義基本理論為指導，以新課標基本理念為依據進行設計的，針對學生的學習背景，對數函數的教學首先要挖掘其知識背景貼近學生實際，其次，激發學生的學習熱情，把學習的主動權交給學生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，確實改變學

3、生的學習方式。四、教學目標1通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；2能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；3通過比較、對照的方法，引導學生結合圖象類比指數函數，探索研究對數函數的性質，培養學生運用函數的觀點解決實際問題。五、教學重點與難點重點是掌握對數函數的圖象和性質，難點是底數對對數函數值變化的影響六、教學過程設計 教學流程：背景材料 引出課題 函數圖象 函數性質 問題解決歸納小結（一）熟悉背景、引入課題1讓學生看材料：材料1（幻燈）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考

4、古發現震驚世界，專家發掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關節還可以活動，骨質比現在六十歲的正常人還好，是世界上發現的首例歷史悠久的濕尸。大家知道，世界發現的不腐之尸都是在干燥的環境風干而成，譬如沙漠環境，這類干尸雖然肌膚未腐，是因為干燥不利細菌繁殖，但關節和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環境中保存二千多年，而且關節可以活動。人們最關注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年份？第二：是什么環境使尸體未腐？其中第一個問題與數學有關。 圖 41（如圖 41在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，日前奇跡般地“復活”了）那么，考古學家是怎么計算出古

5、長沙國丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已經知道考古學家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用估算尸體出土的年代，不難發現：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數；如圖42材料2（幻燈）：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10萬個 ，不難發現：分裂次數y就是要得到的細胞個數x的函數,即；圖 421.引導學生觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，從而得出對數函數的定義：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+）注意：

6、 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別如： ， 都不是對數函數 對數函數對底數的限制：，且3根據對數函數定義填空；例1 （1）函數 y=logax2的定義域是_ (其中a>0,a1) (2) 函數y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復合函數的概念。 設計意圖：新課標強調“考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材

7、從反函數出發，而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型。這樣處理，對數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了新課教學的起點（二）嘗試畫圖、形成感知 1確定探究問題教師：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？學生1：對數函數的圖象和性質教師：你能類比前面研究指數函數的思路，提出研究對數函數圖象和性質的方法嗎？學生2：先畫圖象，再根據圖象得出性質教師：畫對數函數的圖象是否象指數函數那樣也需要分類？學生3：按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究

8、方向后，下面，按以下步驟共同探究對數函數的圖象：步驟一：（1）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象 （2）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象 步驟二：觀察對數函數、與、的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。步驟三：利用計算器或計算機，選取底數，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？步驟四：規納出能體現對數函數的代表性圖象 步驟五：作指數函數與對數函數圖象的比較2學生探究成果 （1）如圖 43、44較為熟練地用描點法畫出下列對數函數 、 、的圖象圖43圖44（2）如圖45學生選取底數=1/4、1/5、1/6、1/10、4、

9、5、6、10，并推薦幾位代表上臺演示幾何畫板，得到相應對數函數的圖象。由于學生自己動手，加上幾何畫板的強大作圖功能，學生非常清楚地看到了底數是如何影響函數，且圖象的變化。圖45（3）有了這種畫圖感知的過程以及學習指數函數的經驗，學生很明確y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的圖象代表對數函數的兩種情形。（圖46）圖46y = loga x （a>1） y = loga x (0<a<1)（4）學生相互補充，自主發現了圖象的下列特征：圖象都在y軸右側，向y軸正負方向無限延伸；都過（1、0）點；當a>1時，圖象沿x軸正向

10、逐步上升；當0<a<1時，圖象沿x軸正向逐步下降；圖象關于原點和y軸不對稱，并且能從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度指出指數函數與對數函數的圖象區別；如圖47圖473拓展探究：（1）對數函數 與 、 與 的圖象有怎樣的對稱關系？（2）對數函數y = loga x （a>1），當a值增大，圖象的上升“程度”怎樣？說明：這是學生探究中容易忽略的地方，通過補充學生對對數函數圖象感性認識就比較全面。設計意圖：舊教材是通過對稱變換直接從指數函數的圖象得到對數函數圖象，這樣處理學生雖然會接受了這個事實，但對圖象的感覺是膚淺的；這樣處理也存在著函數教學忽視圖象、性質的認知過程而注重應用的

11、“功利”思想。因此，本節課的設計注重引導學生用特殊到一般的方法探究對數函數圖象的形成過程，加深感性認識。同時，幫助學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受（三）理性認識、發現性質1確定探究問題 教師：當我們對對數函數的圖象有了直觀認識后，就可以進一步研究對數函數的性質，提高我們對對數函數的理性認識。同學們，通常研究函數的性質有哪些途徑？學生：主要研究函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性質。教師：現在，請同學們依照研究函數性質的途徑，再次聯手合作，根據圖象特征探究出對數函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性

12、質2學生探究成果 在學生自主探究、合作交流的的基礎上填寫如下表格：函 數y = loga x （a>1）y = loga x (0<a<1)圖 像定義域R+R+值 域RR單調性在（0，+ ）上是增函數在（0，+ ）上是減函數過定點（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0取值范圍0<x<1時，y<0 x>1時，y>00<x<1時，y>0 x>1時，y<0設計意圖：發現性質、弄清性質的來龍去脈，是為了更好揭示對數函數的本質屬性，傳統教學往往讓學生在解題中領悟。為了扭轉這種方式，我先引導學生回顧指數函數的性質，

13、再利用類比的思想，小組合作的形式通過圖象主動探索出對數函數的性質。教學實踐表明：當學生對對數函數的圖象已有感性認識后，得到這些性質必然水到渠成（四）探究問題、變式訓練 問題一：（幻燈）（教材p79 例8） 比較下列各組數中兩個值的大小：(1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3）log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 ) 獨立思考：1。構造怎樣的對數函數模型？2。運用怎樣的函數性質？小組交流：（1）是增函數 （2） 是減函數 （3）y = loga x，分 和分類討論變式訓練：1. 比較下列各題中兩個值的大小:

14、 log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.42已知下列不等式，比較正數m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)問題二：（幻燈）（教材p79 例9）溶液酸堿度的測量。 溶液酸堿度是通過pH刻畫的。pH的計算公式為pH= lg ，其中 表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。（1

15、）根據對數函數性質及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；（2）已知純靜水中氫離子的濃度為 = - 摩爾/升，計算純靜水的pH獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數函數模型？運用什么函數性質？小組交流：pH=-lg =lg =lg1/ , 隨著 的增大，pH 減小，即溶液中氫離子濃度越大，溶液的酸堿度就越大設計意圖：1。這個環節不做為本節課的重頭戲，設置探究問題只是從另一層面上提升學生對性質的理解和應用。問題一是比較大小，始終要緊扣對數函數模型，滲透函數的觀點（數形結合）解決問題的思想方法；2。舊教材在圖象與性質之后，通常操練類似比較大小等技巧性過大的問題，而新

16、教材引出問題二，還是強調“數學建模”的思想，并且關注學科間的聯系，這種精神應予領會。當然要預計到，實際教學中學生理解這道應用題題意會遇到一些困難，教師要注意引導（五）歸納小結、鞏固新知1議一議：（1）怎樣的函數稱為對數函數？（2）對數函數的圖象形狀與底數有什么樣的關系？（3）對數函數有怎樣的性質？2看一看：對數函數的圖象特征和相關性質對數函數的圖象特征對數函數的相關性質函數圖象都在y軸右側函數的定義域為（0，）圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數向y軸正負方向無限延伸函數的值域為R函數圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數減函數第一象限的圖象縱坐標都大于0

17、第一象限的圖象縱坐標都大于0第二象限的圖象縱坐標都小于0第二象限的圖象縱坐標都小于0（六）作業布置、課后自評1 必做題：教材P82習題22（A組） 第7、8、9、12題2 選做題：教材P83習題22（B組） 第2題3七、教學反思從教二十多年，每每設計函數的教學，始終存有困惑的感慨，同時也有遇舊如新的喜悅。函數始終是高中數學教學的主線，對數函數始終是高中數學的難點。高中新課改的春風，帶來了函數教學設計上的創新，促使我們在學生學習方法上、教學內容的組織上、教學輔助手段上率先嘗試，但這只是一個起點，目前教學條件還受到制約，如圖形計算器未能普及、課時緊容量大，都影響函數的正常教學，通過這次活動希望能引

18、起大家的廣泛關注并深入探討！【參考文獻】1。普通高中數學課程標準，人教社，20032章建躍，數學課堂教學設計研究。數學通報，2006.7 寧德市霞浦縣第六中學 郭星波點評：本文教學目標的設計定位準確，教學重點、難點明確。從兩個實際問題引出對數函數的概念，讓學生了解知識產生的背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的一個重要數學模型。教學設計注重引導學生用特殊到一般的方法探究對數函數圖象的形成過程，加深感性認識。同時，幫助學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。同時借助計算機輔助教學，增強學生的直觀感受。教給學生方法比教給學生知識更重要。本設計能在前一節剛學過指數函數的圖象與性質的基

19、礎上，通過類比，以舊引新，自然過渡到本節的學習，用研究指數函數的圖象與性質的方法來研究對數函數的圖象與性質。在教學過程中，教師能引導學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保了探究的有效性；讓學生動手畫圖、觀察圖象，啟發學生思考、實驗、分析、歸納，注重探究的過程與方法。在這里，教師成為課堂教學的組織者與學生學習的促進者，而學生成為學習的主人，學會了學習，學到了 “對比聯系”、“數形結合”及“分類討論”的思想方法。另外，教學情景的設置、教學例題的選用，以及信息技術來動態演示，都令人耳目一新，體現了教師的良好的素養及豐厚的學科功底。正弦定理（1）一、教學內容分析：普通高中課程標準數學教科書

20、3;數學(必修5)(人教A版)第一章解三角形：“正弦定理和余弦定理”的第1課。“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性，在這次課程改革中，被保留下來，并獨立成為一章。解三角形作為幾何度量問題，應突出幾何的作用和數量化的思想，為學生進一步學習數學奠定基礎。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續內容作知識與方法的準備，是在學生已有的三角函數及向量知識的基礎上，通過對三角形邊角關系作量化探究，發現并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡單的三角形度量問題。教學過程中，應發揮學生的主動性，通過探索發現、合情推理與演繹證明的過程，提高學生的思辨能力。二、學生學習情況分析：由于本課內容

21、和一些與測量、幾何計算有關的實際問題相關，教學中若能注意課程與生活實際的聯系，注重知識的發生過程，定能激起學生的學習興趣。當然本課涉及代數推理，定理證明中可能涉及多方面的知識方法，綜合性強，學生學習方面有一定困難。三、設計思想：定理教學中有一種簡陋的處理方式：簡單直接的定理呈現、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復制例題”式的應用練習。本課采用實驗探究、自主學習、合作交流的研究性學習方式，重點放在定理的形成、證明的探究及定理基本應用上，努力挖掘定理教學中蘊涵的思維價值。從實際問題出發，引入數學課題，最后把所學知識應用于實際問題。四、教學目標：讓學生從已有的知識經驗出發,通過對特殊三角形邊角間

22、數量關系的探求，發現正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，猜想，比較，推導正弦定理，由此培養學生合情推理探索數學規律的數學思考能力；培養學生聯想與引申的能力，探索的精神與創新的意識，同時通過三角函數、向量與正弦定理等知識間的聯系來幫助學生初步樹立事物之間的普遍聯系與辯證統一的唯物主義觀點。五、教學重點與難點：本節課的重點是正弦定理的探索、證明及其基本應用；難點是正弦定理應用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個數”，以及邏輯思維能力的培養。435mCBA六、教學過程設計：（一）創設情境:問題1、在建設水口電站閩江橋時,需預 先

23、測量橋長AB,于是在江邊選取一個測量 點C,測得CB=435m,CBA=,BCA=。由以上數據，能測算出橋長AB嗎？這是一個什么數學問題?引出：解三角形已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。設計意圖：從實際問題出發，引入數學課題。師：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？生：······，“大角對大邊，大邊對大角” 師：“abc ABC”，這是定性地研究三角形中的邊角關系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關系？引出課題：“正弦定理設計意圖：從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生

24、對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。（二）猜想、實驗：1、發散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關系，猜想可能存在哪些關系？學情預設：此處，學生根據已有知識“abc ABC”，可能出現以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。設計意圖：培養學生的發散思維，猜想也是一種數學能力2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的

25、邊角關系，提煉出asinA=bsinB=csinC。 3、實驗驗證，完善猜想：這一關系式在任一三角形中是否成立呢？請學生以量角器、刻度尺、計算器為工具，對一般三角形的上述關系式進行驗證，教師用幾何畫板演示。在此基礎上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。設計意圖：著重培養學生對問題的探究意識和動手實踐能力（三）證明探究：對此猜想，據以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數學需要理性思維。如何通過嚴格的數學推理，證明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。在RtABC

26、中，設BC=a,AC=b,AB=c,， 根據銳角的正弦函數的定義，有，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中，。2、推廣拓展，探究證明 ： 問題2：在銳角三角形ABC中，如何構造、表示 “a與、 b與sinB”的關系呢？ 探究1：能否構造直角三角形，將問題化歸為已知問題？ 學情預設：此處，學生可能出現以下答案情形。學生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下三種方法構造直角三角形。生1：如圖1，過 C作BC邊上的線CD，交BA的延長線于D，得到直角三角形DBC。生2：如圖2，過A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個直角三角形問題。生3：如圖3，分別過B、C作AB、AC邊上的垂線，交于D，連

27、接AD，也得到兩個直角三角形······經過師生討論指出：方法2，簡單明了，容易得到“c與、 b與sinB”的關系式。知識鏈接：根據化歸這一解決數學問題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結為直角三角形問題是自然不過的。而方法3將把問題延伸到四點共圓，深究下去，可得=2R，對此，可留做課后思考解決 圖1 圖2_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B)_B(c,0) 圖3 圖4探究2：能否引入向量，歸結為向量運算？ （1）圖2中蘊涵哪些向量關系式？學生探究，師生、生生之間交流討論，得

28、（這三個式子本質上是相同的）, 等,（2）如何將向量關系轉化為數量關系？(施以什么運算?) 生：施以數量積運算 （3）可取與哪些向量的數量積運算？學情預設：此處，學生可能會做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時點乘向量（或），均無法如愿。此時引導學生兩邊同時點乘向量,并說出理由：數量積運算產生余弦，垂直則實現了余弦與正弦的轉換。知識鏈接：過渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過去，學生常對此感到費解，經如此鋪墊方顯自然探究3：能否引入向量的坐標形式，把向量關系轉化為代數運算？（1）如圖4，建立直角坐標系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA)

29、,（2）向量的坐標=？ （bcosA-c，bsinA）（3）哪一點的坐標與向量的坐標相同？由三角函數的定義，該點的坐標又為多少？根據平行四邊形法則，D（），從而建立等量關系：bcosAc= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。知識鏈接：向量，融數與形于一體，是重要的數學工具，我們可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關系（如角與距離等），這里學生已經學過向量，可根據學生素質情況決定是否采用探究2與3問題3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？（留做課后作業）（四）理解定理、基本應用：1、正

30、弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即問題4、定理結構上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結構看：各邊與其對角的正弦嚴格對應，成正比例，體現了數學的和諧美。 （2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。評述：定理的直接應用，對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2在中，已知，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。課

31、后思考：已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習：（1）、引題（問題1）（2）、在ABC中，sinAsinB是AB的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件設計意圖：設計二個課堂練習，練習（1）目的是首尾呼應、學以致用；練習（2）則是將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識整合，及時鞏固定理，運用定理。（五）課堂小結：問題5：請同學們用一句話表述學習本課的收獲和感受。生1：原來我只會解直角三角形，現在我會解一般三角形了師：通過本課學習，你發現自己更強大了。生2：原來我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學到了課本以外的眾多方法

32、。師：我們學習過兩個重要數學工具，即三角函數與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。生3：公式很美。師：美在哪里？生3：體現了公式的對稱美，和諧美······在同學們的熱烈討論的基礎上，用課件展示小結：1、在正弦定理的發現及其證明中，蘊涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運算角度探求了數學工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規律,據此，可以用角的正弦替代對邊，具有美學價值3、利用正弦定理解決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和

33、一角。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊 的對角，進而求出其他的邊和角。（3）實現邊與角的正弦的互化。設計意圖：通常，課堂小結均由老師和盤托出，學生接受現成的結論。本設計充分發揮學生思維參與的主動性和創造性，師生合作，讓課堂小結成為點睛之筆。（六）作業布置：1、書面作業：P10習題1.1 1、22、研究類作業：1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2）在ABC中，研究k的幾何意義3）已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？設計意圖：對問題3），根據分散難點，循序漸進原則，在例2中初步涉及，在課后讓學生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時中予以下圖的剖析闡述。babababaa已

34、知邊阿aa,b和A僅有一個解有兩個解僅有一個解無解解a?bCH=bsinA<a<ba=CH=bsinAAa<CH=bsinAAACHACB1ABACB2CHHH七、教學反思：1、本課就新課程理念下定理教學課的課堂模式，做了一些探索。以問題解決為中心，通過提出問題，完善問題，解決問題，拓展問題，采用實驗探究、自主學習的研究性學習方式，重點放在定理的形成與證明的探究上，努力挖掘定理教學中蘊涵的思維價值，培養學生的思辨能力。改變了定理教學中簡陋的處理方式（簡單直接呈現、照本宣科證明，大劑量的“復制例題”式的應用練習）。2、“用教材教，而不是教教材”，盡管教材中對本課知識方法的要求并

35、不高，只介紹了通過作高將一般三角形變換為直角三角形，再將三角比變換得到等式的化歸方法，但教學不僅是忠實執行課程標準，而且是師生共同開發課程，將教材有機裁剪，并融入個性見解的過程。如在正弦定理的證明探究中，學生完全可能圍繞“如何構造直角三角形？”，八方聯系，廣泛聯想，分別應用平面幾何四點共圓、向量的數量積運算、向量的坐標運算等知識方法。本課設計充分預設各種課堂生成，盡量滿足不同思維層次學生的需求。3、突出數學的本質。正弦定理的本質是“定量地描寫三角形邊角之間的關系”，是“大角對大邊，小角對小邊”的定量化。但量、算、猜不能代替數學思考與邏輯證明，而定理的證明實質是：用垂直做媒介，將一般三角形化為直

36、角三角形處理。本課設計既講類比聯想，又講邏輯推理，讓學生知其然，知其所以然。4、來源于生活實際，又回到生活中，強調了數學應用意識。福建省周寧第一中學 張徐生點評：本課通過精心設計“發現和解決問題”的過程，注重講背景、講過程、講應用，引導學生主動學習、勇于探索。首先從具體問題情境出發，在教師的指導下，結合學生的已有知識經驗，通過自主學習，進行發散式猜想與探究判斷，去偽存真，提煉猜想，并通過實驗驗證，完善猜想。其次，在定理證明階段，通過新舊知識的連接點設問，搭建知識腳手架，讓學生展開聯想，力求引導學生尋找合理的知識方法（如本課知識生長點：三角函數與平面向量兩大工具），進行自主性的活動與嘗試，進一步

37、拓展學生知識鏈。整節課的設計體現從特殊到一般再回到特殊的研究方法。定理教學體現了教師指導下的學生再創造，充分發揮了學生學習的主動性，讓學生在自主探究、實驗、猜測、推理中感受和體驗，較好地培養與提高了學生發現問題與解決問題、類比與猜想、聯想與引申等能力以及探索精神與創新意識。此外，本節課的設計還關注多媒體輔助教學的適當運用，在定理的探求中充分使用了幾何畫板給予直觀演示，強調培養學生應用數學的意識和動手實踐的能力；引導學生注意學自己身邊的數學，感知生活中包涵的數學現象與數學原理。簡單的線性規劃問題 一、教學內容分析普通高中課程標準教科書數學5（必修）第三章第3課時這是一堂關于簡單的線性規劃的“問題

38、教學”線性規劃是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，它能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題.簡單的線性規劃（涉及兩個變量）關心的是兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成.突出體現了優化的思想教科書利用生產安排的具體實例，介紹了線性規劃問題的圖解法，引出線性規劃等的概念，最后舉例說明了簡單的二元線性規劃在飲食營養搭配中的應用. 二、學生學習情況分析本節課學生在學習了不等式、直線方程的基礎上，又通過實例，理解了平面區域的意義，并會畫出平面區域，還能

39、初步用數學關系式表示簡單的二元線性規劃的限制條件，將實際問題轉化為數學問題. 從數學知識上看，問題涉及多個已知數據、多個字母變量，多個不等關系，從數學方法上看，學生對圖解法的認識還很少，數形結合的思想方法的掌握還需時日，這都成了學生學習的困難三、設計思想本課以問題為載體，以學生為主體，以數學實驗為手段，以問題解決為目的，以幾何畫板作為平臺，激發他們動手操作、觀察思考、猜想探究的興趣。注重引導幫助學生充分體驗“從實際問題到數學問題”的建構過程，“從具體到一般”的抽象思維過程，應用“數形結合”的思想方法，培養學生的學會分析問題、解決問題的能力。四、教學目標1了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線

40、性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念；理解線性規劃問題的圖解法；會利用圖解法求線性目標函數的最優解2在實驗探究的過程中，讓學生體驗數學活動充滿著探索與創造，培養學生的數據分析能力、探索能力、合情推理能力及動手操作、勇于探索的精神；3、在應用圖解法解題的過程中,培養學生運用數形結合思想解題的能力和化歸能力，體驗數學來源于生活，服務于生活，體驗數學在建設節約型社會中的作用.五、教學重點和難點求線性目標函數的最值問題是重點；從數學思想上看，學生對為什么要將求目標函數最值問題轉化為經過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？以及如何想到要這樣轉化？存在一定疑慮及困難；教學應緊扣問題實際，通過突出知識

41、的形成發展過程，引入數學實驗來突破這一難點 六、教學過程設計（一）引入（1）情景某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h.該產每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？請學生讀題，引導閱讀理解后，列表 建立數學關系式 畫平面區域，學生就近既分工又合作，教師關注有多少學生寫出了線性數學關系式，有多少學生畫出了相應的平面區域，在巡視中并發現代表性的練習進行展示，強調這是同一事物的兩種表達形式數與形.【問題情景使學生感到數學是自然的、有用的，學生已初步學會了建立

42、線性規劃模型的三個過程：列表 建立數學關系式 畫平面區域，可放手讓學生去做，再次經歷從實際問題中抽象出數學問題的過程，教師則在數據的分析整理、表格的設計上加以指導】教師打開幾何畫板，作出平面區域.（2）問題師：進一步提出問題，若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？學生不難列出函數關系式.師：這是關于變量的一次解析式，從函數的觀點看的變化引起z的變化，而是區域內的動點的坐標，對于每一組的值都有唯一的z值與之對應，請算出幾個z的值. 填入課前發下的實驗探究報告單中的第列進行觀察,看看你有什么發現？學生會選擇比較好算的點，比如整點、邊界點等.【學生思維的最近

43、發現區是上節的相關知識，因此教師有目的引導學生利用幾何直觀解決問題，雖然這個過程計算比較繁瑣，操作起來有難度，但是教學是一個過程，從中讓學生體會科學探索的艱辛，這樣引導出教科書給出的數形結合的合理性，也為引入信息技術埋下伏筆】（二）實驗教師打開畫板，當堂作出右圖，在區域內任意取點，進行計算,請學生與自己的數據對比，繼續在實驗探究報告單上補充填寫畫板上的新數據.利潤最大的實驗探究報告單實驗目的(1) 求的最大值，使滿足約束條件(2) 理解用圖解法求線性規劃問題的最優解，體會數形結合的思想. 進行實驗與收集數據(1)打開幾何畫板依次畫出點、線構造平面區域;(2)在區域內任取一點M，度量橫坐標及縱坐

44、標，計算=的值，并制表顯示在屏幕上;(3)拖動點M在區域內運動，觀察度量值的變化，猜想取得最大值時點M的位置.同時請學生將有代表性的位置的數據記錄在下表中的第5列：計數點n點的坐標直線的方程直線在y軸上的截距1234567猜想與假設_教師引導學生提出猜想：點M的坐標為（，）時，=取得最大值14.【在信息技術與課程整合過程中，為改變老師單機的演示學生被動觀看的現狀，讓學生參與進來，老師（可以根據學生要求）操作，學生記錄，共同提出猜想，在當前技術條件受限時不失為一個好方法】師：這有限次的實驗得來的結論可靠嗎？我們畢竟無法取遍所有點，因為區域內的點是無數的！況且沒有計算機怎么辦，數據復雜手工無法計算

45、怎么辦？ 因此，有必要尋找操作性強的可靠的求最優解的方法.【形成認知沖突，激發求知欲望，調整探究思路，尋找解決問題的新方法】繼續觀察實驗報告單，聚焦每一行的點坐標和對應的度量值，比如M（3.2, 1.2）時方程是，填寫表中的第67列，引導學生先在點與直線之間建立起聯系 -點M的坐標是方程的解，那么點M就應該在直線上，反過來直線經過點M，當然也就經過平面區域，所以點M的運動就可轉化為直線的平移運動。教師拖動直線并跟蹤，學生看到直線平移時可以取遍區域內的所有點！這樣我們的猜想就非常合乎情理了.然后順利過渡到直線與平面區域之間的關系.師：由于我們可以將x，y所滿足的條件用平面區域表示了，你能否也給利

46、潤z=2x+3y作出幾何解釋呢？學生很自然地聯想到上面實驗的結果，將等式z=2x+3y視為關于x，y的一次方程，它在幾何上表示直線，當z取不同的值時可得到一族平行直線.請把你猜想1換一種說法：猜想與假設2_直線=經過點（，）時，=取得最大值14.將直線=改寫為，這時你能把猜想2再換一種說法嗎？此時水到渠成.猜想與假設3_直線經過點時，在y軸上的截距最大，此時=取得最大值14.最后探究出“=最值問題可轉化為經過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題”來解決，實現其圖解的目的.【借助計算機技術用運動變化的方法，創設實驗環境，形成多元聯系，展示數學關系式、平面區域、表格等各種形態的表現形式，在數、圖、

47、表的關聯中進行觀察、分析，從而逐步幫助學生進行有層次的猜想，也為我們的研究提供一種方向，這是新課程積極倡導的合情推理】 教師介紹線性規劃、線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念.(三)探究師：在上述問題中，若生產一件甲產品獲利萬元，生產一件乙產品獲利萬元，又應當如何安排生產才能獲得最大的利潤？再換幾組數據試試（課本第100頁） 讓學生“主動”更換數據，教師借助幾何畫板“被動”地進行操作演示，師生繼續實驗 ，發現結論同樣成立. 進一步發現目標函數直線的縱截距與z的最值之間的關系，有時并不是截距越大，z值越大.實驗結論_“目標函數的最值問題可轉化直線z =2x+3y與平面區域有公

48、共點時，在區域內找一個點M，使直線經過點M時在y軸上的截距最大”【從筆算到計算，從點到直線再到平面（區域），從一個函數到多個函數，從特殊到一般，從具體到抽象的認識過程，使學生經歷數學知識形成、發現、發展的過程，獲得問題的解決，這有助于培養學生的科學素養】（四）練習小結學生練習104第1題.及時檢驗學生利用圖解法解線性規劃問題的情況，練習目的：會用數形結合思想，將求的最大值轉化為直線與平面區域有公共點時，在區域內找一個點，使直線經過點時在y軸上的截距最小的問題，為節省時間，教師可預先畫好平面區域，讓學生把精力集中到求最優解的解決方案上（五）實例展示（課本第100頁例5飲食營養搭配）營養學家指出，

49、成人良好的日常飲食至少應該提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白質，0.14kg的脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質，0.07kg的脂肪，花費21元.為了滿足營養學家的指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg?【一是使學生認識到現實生活中存在許多簡單的二元線性規劃問題，二是讓學生經歷完整的分析研究問題、制定解決問題的策略的過程，讓學生全面參與課堂教學，完善知識結構體系】這里要關注平面區域本題是開放型的，而引例是封閉型

50、的.（六）課后伸申師：在上述線性規劃問題中，線性約束條件及線性目標函數是確定的，求最優解.這是問題的一方面，另一方面(1)若要求結果為整數呢？最優解是在哪？(2)若已知有唯一（或無數）最優解時，反過來確定線性約束條件或目標函數某些字母系數的取值（范圍），又如何解決呢？（七）小結求最優解的一般步驟（板書）：(1)畫線性約束條件所確定的平面區域；(2)取目標函數z=0,過原點作相應的直線；(3)平移該直線，觀察確定區域內最優解的位置；(4)解有關方程組求出最優解，代入目標函數得最值.作業：第104頁練習2，第106頁習題34，第107頁習題3.七、教學反思為了將學生從繁瑣的數字計算和畫區域圖中解脫

51、出來，將精力放在對最優解的理解和突出思想方法上，可根據下列不同的情況，設計教學條件，支持教學(1)理想的實驗應該是在網絡環境的支持下完成的，教學之前，老師將積件傳輸到學生的計算機中，學生在單機的條件下自己動手操作(2)在學生缺乏信息技術工具的條件下，教學和作業都應避免繁瑣的計算，而把注意力放在“算理”上另外數學探究的時間長會使學生失去耐心，基本訓練時間無法保證，導致當前效果不直接，教學評價難以跟進，教師宜把握尺度、控制時間，組織起有效的課堂教學，提高駕馭課堂的能力與水平. 廈門市湖濱中學 黃建中點評 該教學設計從研讀教材入手，精心挖掘教學內容中的實驗因子，依據教師實驗報告的引導，使學生自己動手

52、操作，通過觀察、發現、思考、分析、歸納提出猜想等活動，完成對最優解的意義建構，體現了新課程“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”。同時在教育技術平臺上進行師生互動“操盤”，改變單一的教師演示的模式，通過實時的動態模擬，實現數、圖、表的多元聯系，這初步體現了教學過程中教師、學生、內容、媒體四要素功能的轉變，激發了學生探究的興趣，提高了他們的實驗、分析、探究能力，最終獲得問題的解決。這種興趣和能力可遷移至課外，因而折射出“研究性學習”教學思想，長期堅持，對學生學習能力培養的教學達成度也會更高！用二分法求方程的近似解一、教學內容分析 本節選自普通高中課程標準實驗教科書 ·數學1人教A版第三單

53、元第一節第二課，主要是分析函數與方程的關系。教材分三步來進行：第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應函數的零點的聯系。然后推廣為一般方程與相應函數的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖像和性質來研究方程的解，體現方程和函數的關系；第三步，在函數模型的應用過程中，通過函數模型以及模型的求解，更全面的體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系。本節課是這一小節的第二節課，即用二分法求方程的近似解。它以上節課的“連續函數的零點存在定理”為確定方程解所在區間為依據，從求方程近似解這個側面來體現“方程與函數的關系”；而且在“用二分法求函數零點的步驟”中滲透了算法的思想，為學生后續學習算法的內容埋下伏筆；充分體現新課程“滲透算學方法，關注數學文化以及重視信息技術應用”的理念。求方程近似解其中隱含“