1、1.（2017重慶）對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666111=6，所以F（123）=6（1）計算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y都是正整數），規定：k=，當F（

2、s）+F（t）=18時，求k的最大值2.（2016重慶）我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=pq（p，q是正整數，且pq），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解并規定：F（n）=例如12可以分解成112，26或34，因為1216243，所有34是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一個正整數a是另外一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1xy9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差

3、為18，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”中F（t）的最大值3.（2015重慶）如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數叫做“和諧數”例如：自然數64746從最高位到個位排出的一串數字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數”再如：33，181，212，4664，都是“和諧數”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”，猜想任意一個四位數“和諧數”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設個位上的數字為x（

4、1x4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式4（重慶南開2016）如果一個自然數可以表示為兩個連續奇數的立方差，那么我們就稱這個自然數為“麻辣數”如：2=13（1）3，26=3313，所以2、26均為“麻辣數”【立方差公式a3b3=（ab）（a2+ab+b2）】（1）請判斷98和169是否為“麻辣數”，并說明理由；（2）在小組合作學習中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數中，所有的麻辣數之和為多少？”小組的成員胡圖圖略加思索后說：“這個難不倒圖圖，我們知道奇數可以用2k+1表示，再結合立方差公式”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程5. （2016春重慶八中月

5、考）如果一個自然數能表示為兩個自然數的平方差，那么稱這個自然數為智慧數，例如：16=5232，16就是一個智慧數，小明和小王對自然數中的智慧數進行了如下的探索：小明的方法是一個一個找出來的：0=0202，1=1202，3=2212，4=2202，5=3222，7=4232，8=3212，9=5242，11=6252，小王認為小明的方法太麻煩，他想到：設k是自然數，由于（k+1）2k2=（k+1+k）（k+1k）=2k+1所以，自然數中所有奇數都是智慧數問題：（1）根據上述方法，自然數中第12個智慧數是15（2）他們發現0，4，8是智慧數，由此猜測4k（k3且k為正整數）都是智慧數，請你參考小王

6、的辦法證明4k（k3且k為正整數）都是智慧數（3）他們還發現2，6，10都不是智慧數，由此猜測4k+2（k為自然數）都不是智慧數，請利用所學的知識判斷26是否是智慧數，并說明理由6.（2015春重慶一中月考）我們用x表示不大于x的最大整數，例如1.5=1，2.5=3請解決下列問題：（1）=3，=4（其中為圓周率）；（2）已知x、y滿足方程組，求x、y的取值范圍；（3）當1x2時，求函數y=x22x+3的最大值與最小值7.（2016重慶巴蜀中學期末）我們來定義下面兩種數：平方和數：若一個三位數或者三位以上的整數分成左、中、右三個數后滿足：中間數=（左邊數）2+（右邊數）2，我們就稱該整數為平方和

7、數；例如：對于整數251它中間的數字是5，左邊數是2，右邊數是122+12=5，251是一個平方和數又例如：對于整數3254，它的中間數是25，左邊數是3，右邊數是4，32+42=252，34是一個平方和數當然152和4253這兩個數也是平方和數；雙倍積數：若一個三位數或者三位以上的整數分拆成左、中、右三個數后滿足：中間數=2左邊數右邊數，我們就稱該整數為雙倍積數；例如：對于整數163，它的中間數是6，左邊數是1，右邊數是3，213=6，163是一個雙倍積數，又例如：對于整數3305，它的中間數是30，左邊數是3，右邊數是5，235=30，3305是一個雙倍積數，當然361和5303這兩個數也

8、是雙倍積數；注意：在下面的問題中，我們統一用字母a表示一個整數分出來的左邊數，用字母b表示一個整數分出來的右邊數，請根據上述定義完成下面問題：（1）如果一個三位整數為平方和數，且十位數為9，則該三位數為390；如果一個三位整數為雙倍積數，且十位數字為4，則該三位數為241或142；（2）如果一個整數既為平方和數，又是雙倍積數則a，b應該滿足什么數量關系；說明理由；（3）為一個平方和數，為一個雙倍積數，求a2b2重慶中考閱讀答案：（2017重慶）對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同

9、的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666111=6，所以F（123）=6（1）計算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y都是正整數），規定：k=，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）111=9；F（617）=（167+716+671）111=14（2）s，t都

10、是“相異數”，s=100x+32，t=150+y，F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）111=y+6F（t）+F（s）=18，x+5+y+6=x+y+11=18，x+y=71x9，1y9，且x，y都是正整數，或或或或或s是“相異數”，x2，x3t是“相異數”，y1，y5或或，或或，或或，k的最大值為（2016重慶）我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=pq（p，q是正整數，且pq），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解并規定：F（n）=例如12

11、可以分解成112，26或34，因為1216243，所有34是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一個正整數a是另外一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1xy9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為18，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”中F（t）的最大值【解答】解：（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），|nn|=0，nn是m的最佳分解，對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（2）設交換t的個位上的數與十

12、位上的數得到的新數為t，則t=10y+x，t為“吉祥數”，tt=（10y+x）（10x+y）=9（yx）=18，y=x+2，1xy9，x，y為自然數，“吉祥數”有：13，24，35，46，57，68，79，F（13）=，F（24）=，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，所有“吉祥數”中，F（t）的最大值是（2015重慶）如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數叫做“和諧數”例如：自然數64746從最高位到個位排出的一串數字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數字

13、也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數”再如：33，181，212，4664，都是“和諧數”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”，猜想任意一個四位數“和諧數”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設個位上的數字為x（1x4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式解答：解：（1）四位“和諧數”：1221，1331，1111，6666；任意一個四位“和諧數”都能被11整數，理由如下：設任意四位數“和諧數”形式為：abba（a、b為自然數），則a103+b102+b10+a=1001a+110b，=91a+10b四位數“和諧數”abba能被

14、11整數；任意四位數“和諧數”都可以被11整除（2）設能被11整除的三位“和諧數”為：xyx，則x102+y10+x=101x+10y，=9x+y+，1x4，101x+10y能被11整除，2xy=0，y=2x（1x4）4（重慶南開2016）如果一個自然數可以表示為兩個連續奇數的立方差，那么我們就稱這個自然數為“麻辣數”如：2=13（1）3，26=3313，所以2、26均為“麻辣數”【立方差公式a3b3=（ab）（a2+ab+b2）】（1）請判斷98和169是否為“麻辣數”，并說明理由；（2）在小組合作學習中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數中，所有的麻辣數之和為多少？”小組的成員

15、胡圖圖略加思索后說：“這個難不倒圖圖，我們知道奇數可以用2k+1表示，再結合立方差公式”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程【解答】解：設k為整數，則2k+1、2k1為兩個連續奇數，設M為“麻辣數”，則M=（2k+1）3（2k1）3=24k2+2；（1）98=5333，故98是麻辣數；M=24k2+2是偶數，故169不是麻辣數；（2）令M2016，則24k2+22016，解得k284，故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故M的和為24（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+210=68605.（2016春重慶八中月考）如果一個自然數能表示為兩個自然

16、數的平方差，那么稱這個自然數為智慧數，例如：16=5232，16就是一個智慧數，小明和小王對自然數中的智慧數進行了如下的探索：小明的方法是一個一個找出來的：0=0202，1=1202，3=2212，4=2202，5=3222，7=4232，8=3212，9=5242，11=6252，小王認為小明的方法太麻煩，他想到：設k是自然數，由于（k+1）2k2=（k+1+k）（k+1k）=2k+1所以，自然數中所有奇數都是智慧數問題：（1）根據上述方法，自然數中第12個智慧數是15（2）他們發現0，4，8是智慧數，由此猜測4k（k3且k為正整數）都是智慧數，請你參考小王的辦法證明4k（k3且k為正整數）

17、都是智慧數（3）他們還發現2，6，10都不是智慧數，由此猜測4k+2（k為自然數）都不是智慧數，請利用所學的知識判斷26是否是智慧數，并說明理由【解答】解：（1）繼續小明的方法，12=4222，13=7262，15=8272，即第12個智慧數是15故答案為：15；（2）設k是自然數，由于（k+2）2k2=（k+2+k）（k+2k）=4k+4=4（k+1）所以，4k（k3且k為正整數）都是智慧數（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是智慧數6. （2015春重慶一中月考）我們用x表示不大于x的最大整數，例如1.5=1，2.5=3請解決下列問題：（1）=3，=4（其中為圓周率）；（2）已知

18、x、y滿足方程組，求x、y的取值范圍；（3）當1x2時，求函數y=x22x+3的最大值與最小值【解答】解：（1）由題意可得：=3，=4；故答案為：3，4；（2）解方程組得：，則1x0，2y3；（3）當1x0時，x=1，此時y=（1）22（1）+3=6；當0x1時，x=0，此時y=3；當1x2時，x=1，此時y=1221+3=2；當x=2時，x=2，此時y=2222+3=3；綜上所述：y最大=6，y最小=27.（2016年重慶巴蜀中學期末）我們來定義下面兩種數：平方和數：若一個三位數或者三位以上的整數分成左、中、右三個數后滿足：中間數=（左邊數）2+（右邊數）2，我們就稱該整數為平方和數；例如：對于整數251它中間的數字是5，左邊數是2，右邊數是122+12=5，251是一個平方和數又例如：對于整數3254，它的中間數是25，左邊數是3，右邊數是4，32+42=252，34是一個平方和數