1、古塔的變形山東省萊陽市第一中學63級21班 徐佳慶 指導老師 姜成功摘要 本文對古塔的各層中心坐標，傾斜、彎曲、變形問題，采用數據插值、最小二乘法、回歸分析法及Excel軟件與Matlab軟件，進行求解，具體步驟如下：1第13層中第5個觀測點空白數據處理對1986年和1996年，第13層中第5個觀測點進行了估計，采用數據插值方法中的3次樣條插值，算出1986年數據分別為566.308，519.7624， 52.7686及1996年數據568.0575，519.7562，52.7657 。2模型建立及求解各層中心坐標將空間中每層觀測的點分別投影到,各平面，通過最小二乘法確定出以投影的點為中心的中

2、心直線，以三條直線為母線做平行于三角坐標的平面，求解三個平面的交點即為中點的坐標。 利用Excel及Matlab軟件求解出各層中心坐標。3古塔傾斜分析將古塔各層相鄰的中心坐標連接起來，構成空間向量，通過求解向量的夾角、來確定古塔的傾斜情況。計算與仿真結果表明，古塔中心各層間都有傾斜，但在8-9層，12-13層時傾斜更為嚴重。4古塔扭曲，變形分析 將中心坐標投影到面，計算相鄰層上投影點構成的直線的斜率，得到夾角。該角度說明了中心發生傾斜時的方向、角度大小描述了扭曲程度大小。結果表明古塔朝著平面的第四象限偏移大。5古塔變形預測 采用多元回歸分析法，根據最小二乘法原理，擬合出古塔最終變形的趨勢。從圖

3、中可以看出古塔是各層不斷的發生變化。并且在8-11層變形嚴重。關鍵詞：中心直線 插值 曲線擬合 回歸分析一、問題重述由于長時間承受自重、氣溫、風力等各種作用，偶然還要受地震、颶風的影響，古塔會產生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測。請你們根據附件1提供的4次觀測數據，討論以下問題：1. 給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。2. 分

4、析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。3. 分析該塔的變形趨勢。二、模型假設 1假設對模型計算結果均保留四位有效數字，不影響其變形趨勢；2. 假設任意兩層中心的連線為直線時，考慮其傾斜程度；3. 假設任意兩層中心的連線為曲線時，考慮其彎曲、扭曲程度。4.假設古塔是規則圖形；5.假設古塔剛建好時地面平坦沒有傾斜和扭曲。三、符號說明1，表示空間中點的坐標；2.為投影平面直線方程的參數；3.表示空間投影到平面上的各點距離之和的最小值；4.三個平面的交點；5.、（，）表示向量的方向角； 6.兩點構成的直線的傾斜角；7.回歸中未知參數。四、模型建立及求解1. 中心位置模型建立 以古塔其中一層為研究對象，建立

5、中心位置的數學模型。設，是古塔第層的觀測的數據，為空間中的點。首先，將，投影到平面上，得到觀測數據記為，。在平面直角坐標系中，建立以這些點構成的中心直線方程，記為，要求使各點，到直線的距離之和最小，即用最小二乘法。將問題轉化為求解的最小值。由二元函數極值原理，令即可求得，確定出直線方程 （1）同理，將，投影到平面上，得到觀測數據記為，。采用二元函數極值原理，可確定出直線方程 （2）將，投影到平面上，得到觀測數據記為，。可確定出直線方程 （3）確定出的這三條直線（1）、（2）、（3）在空間分別表示三個母線依次平行于三個坐標軸的平面。求解出三個平面的交點，就是我們要找的每層的中心，記作。2.模型求

6、解（1）題目中給出的1986年和1996年觀測數據中，第13層中第5個觀測點沒有數據。利用數據插值的方法，將這個數據估計出來。在此，利用Matlab中3次樣條插值，給出缺失數據。調用函數spline，數據計算如下所示：（計算的缺失數據加黑顯示）表一 1986年第13層觀測值 表二 1996年第13層觀測值13層x/my/mz/m1566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.418521.52152.8974565.91519.89352.885566.308519.762452.76876569.701521.0552.7037569.89752

7、3.18852.7948568.582524.82252.82213層x/my/mz/m1566.3142525.085752.8642564.7222523.609852.8773564.4872521.514852.8894565.9161519.886852.8785568.0575519.756252.76576569.7072521.043852.6967569.9032523.181752.7898568.588524.815752.817（2）將每一層都采取上述的建模方法，計算每層的中心位置，其中。計算時采用Excel、Matlab軟件對數據進行求解，求解過程見附件一。解得每年各

8、層中心位置坐標如下表所示：表三 每年各層中心位置坐標1986年觀測數據1996年觀測數據中心點坐標中心點坐標層數XYZ層數XYZ1566.6645522.71311.77941566.665522.70971.77732566.7196522.65497.30462566.7205522.65987.32353566.7729522.603812.73863566.7751522.593712.72784566.8161522.606817.05324566.8183522.624717.0565566.8621522.590721.74455566.8641522.586521.736765

9、66.9084522.543526.23516566.9118522.569926.25187566.9408522.506629.83227566.9506522.496129.82618566.9468522.419433.33568566.9884522.459133.32849567.0218522.510536.86679567.0265522.454236.840410567.0569522.544940.19410567.0169522.557740.187211567.1045522.464444.434111567.1102522.337144.39212567.151852

10、2.415348.735412567.1578522.36348.683313567.2011522.73852.8313567.2012522.368452.826614567.2471522.243755.1233514567.2544522.236755.11982009年觀測數據2011年觀測數據中心點坐標中心點坐標層數XYZ層數xyz1566.7267522.67871.74371566.72695522.72341.77922566.764522.65177.28812566.7642522.68997.29513566.8002522.632612.71473566.800445

11、22.655312.71284566.8293522.622817.04424566.82971522.579317.03875566.8603522.488421.68535566.86096522.498221.68216566.9469522.553226.21786566.94784522.547826.18417566.9793522.537629.83487566.98522.518129.83018567.0305522.458833.35338567.0313522.453133.32849567.0815522.446536.8659567.0823522.447136.80

12、210567.1368522.366240.174410567.13806522.364940.137511567.1798522.375544.422811567.18096522.375244.402412567.2224522.334848.713512567.22383522.332948.708813567.2712522.24952.805313567.27251522.247352.803714567.336522.214655.08914567.3374522.213255.087 通過數據，可以看出古塔各層中心坐標都有不同幅度的變動，為了更加清楚的描述數據間的關系，通過Mat

13、lab軟件仿真，得到下圖： 圖1 1986年中心坐標仿真圖 圖2 1996年中心坐標仿真圖 圖3 2009年中心坐標仿真圖 圖4 2011年中心坐標仿真圖從圖中可以看出，古塔的中心隨著時間的推移在發生著改變。古塔中心位置在8、9層及11、12層發生較為明顯的偏移。3.古塔傾斜、彎曲、扭曲分析 （1）古塔傾斜分析設是古塔中心坐標，表示第層和第層中心點構成的向量。、（，）表示向量的方向角。 向量的方向余弦為 ，通過向量與坐標軸之間的夾角、，來判斷傾斜程度，其中表示層與豎坐標的夾角，角度越大表示傾斜程度越大。、表示傾斜時朝那個方向。通過Excel計算，得直線在空間的夾角。如下表所示：表四 每年各層之

14、間傾斜角1986年傾斜角1996年傾斜角層數層數189.431390.60610.8310189.426690.51540.7709289.440690.54140.7785289.421290.70070.9088389.428989.96280.5750389.428189.58960.7038489.440890.19920.5952489.439490.46750.73589.411990.60480.8435589.394790.21060.6408689.486690.59030.7821689.378291.18271.3363789.904591.42851.4292789.3

15、81690.60520.8652888.786288.52501.9140889.378490.07990.6266989.398289.41030.8462990.164288.22871.77891089.359591.09021.26351088.730693.00243.26021189.372690.65660.90811189.364589.65420.72341289.934490.49681.10141289.620989.92530.92392009年傾斜角2011年觀傾斜角層數層數189.617190.28160.4758189.615790.35060.5203289.6

16、20490.20430.4321289.619490.36850.5298389.617590.13230.4063389.614991.00911.0786489.620191.66141.7023489.617191.00321.0723588.908189.18361.3670588.897189.37151.2729689.489490.24970.5696689.497290.46930.6879789.169191.28551.5299789.162691.06701.3559889.170590.20330.8559889.161490.10160.8469989.045591.

17、39241.6875989.045191.41421.70571089.422789.87720.59331089.426389.86420.59271189.433890.54610.78671189.432490.56540.80111289.319491.20381.38191289.321591.20011.3776圖5 四年傾斜角變化趨勢圖 6 四年傾斜角變化趨勢圖 7 四年傾斜角變化趨勢 從圖中可以看，每條曲線都在變動，即隨著層數的改變傾斜角也在不斷的變化，每層傾斜的程度不同。在8到11層，圖形變化強度大，表示這些層，傾斜程度高，這也符合實際。因為當受外在因素地震、颶風等影響時，高

18、層建筑都是越向上形變越明顯。（2）古塔彎曲、扭曲分析 通過單位弧段上切線轉過的角度大小，來描述弧段的彎曲和扭曲的程度。假設將空間相鄰兩層第層和第層，兩點連線構成的直線記為曲線的切線。 對古塔中心位置的坐標，做如下處理：將空間中任意兩點和投影到平面，求出兩點構成的直線的傾斜角用表示古塔在該層的扭曲程度。 通過Excel軟件計算得到每層的夾角，如下表所示：表五 每年各層之間的夾角層數1996年夾角1996年夾角2009年夾角2011年夾角1-37.5343-37.5896-40.8804-40.97992-37.3275-37.4376-40.5633-39.93113-37.68-37.7104

19、-40.7958-41.58624-37.5034-37.6113-40.6329-40.46655-36.8512-36.9686-31.1197-31.16816-23.0009-23.4128-34.3045-34.34317-22.7727-23.0711-32.436-32.51558-23.107-23.6695-32.9341-32.8839-21.6897-21.8021-43.6789-43.683810-39.6168-39.6192-42.2749-42.34811-39.8545-39.9013-42.2548-42.194912-79.4108-79.4205-42.421-42.4851 圖