1、專題二 等腰三角形的存在性問題【考題研究】近幾年各地的中考數(shù)學(xué)試題中，探索等腰三角形的存在性問題頻頻出現(xiàn)，這類試題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思精巧，要求學(xué)生要有較高的分析問題的能力和解決問題的能力，這類問題符合課標(biāo)對(duì)學(xué)生能力提高的要求。【解題攻略】在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類如果 ABC是等腰三角形，那么存在AB = AC,BA=BC,CA=CB三種情況.解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算哪些題目適合用幾何法呢？如果 ABC的/ A （的余弦值）是確定的，夾/ A的兩邊AB和AC

2、可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1,如果AB = AC,直接列方程；如圖 2,如果BA=BC,那么；如圖3,如果CA= CB,那么.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含 x 的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來【解題類型及其思路】解題類型：動(dòng)態(tài)類型：1.一動(dòng)點(diǎn)類型問題；2.雙動(dòng)點(diǎn)或多動(dòng)點(diǎn)類型問題背景類型：1.幾何圖形背景；2.平面直角坐標(biāo)系和幾何圖形背景解題思路：幾何法一般分三步： 分類、 畫圖、 計(jì)算； 代數(shù)法一般也分三步： 羅列三邊長， 分類列方程， 解方程并檢驗(yàn) 如

3、果4ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA=BC,CA= CB三種情況.已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快【典例指引】類型一 【二次函數(shù)綜合題中根據(jù)條件判定三角形的形狀】典例指引1.拋物線yx2bxC與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B (1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,- 3),點(diǎn)M是其頂點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)第一象限拋物線上有一點(diǎn)D,滿足/ DAB=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線x t (- 3< tv - 1)與x軸相交于點(diǎn)H.與線段AC,

4、AM和拋物線分別相交于點(diǎn)E, F, P.證明線段HE, EF, FP總能組成等腰三角形.【舉一反三】(2020 江西初三期中)如圖 ，已知拋物線y=ax2+bx+3 (aO與x軸交于點(diǎn)A (1, 0)和點(diǎn)B (-3, 0),(1)求拋物線的解析式;(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)M,問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4CMP為等腰三角形？若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值，并求此(3)如圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).類型二【利用二次函數(shù)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)】 典例指引2.(2019 山

5、東初三期末)如圖1,已知拋物線y ax2 bx 3(a 0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B( 3,0),與 y軸交于點(diǎn)C.(l)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1,若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 BE,CE ,求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2,在x軸上是否存在一點(diǎn) D使得 ACD為等腰三角形？若存在， 請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) D的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【舉一反三】y=ax2+bx+c的圖象與 x軸(2019 廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)三鑫雙語學(xué)校初三期中)如圖，已知拋物線交于A (2, 0), B ( - 8, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0, - 8).

6、(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng) 4BCF的面積最大時(shí)，求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點(diǎn) Q (0, m),使得4BFQ為等腰三角形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.類型三【確定滿足等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間】典例指引3.(2018濟(jì)南中考)如圖1,拋物線產(chǎn)=-2廣平移后過點(diǎn)A (8, ,0)和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為 B,對(duì)稱軸與宣軸相交 于點(diǎn)C,與原拋物線相交于點(diǎn) D.(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積54超.；(2)如圖2,直線AB與V軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，dM用為直角，邊 MN與AP相

7、交于 點(diǎn)N,設(shè)。M二-試探求：t為何值時(shí)力卻為等腰三角形；為何值時(shí)線段PN的長度最小，最小長度是多少.【舉一反三】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c(aw。經(jīng)過A (-1,0)、B(3,0)、C (0, 3)三點(diǎn).點(diǎn) D從C出發(fā)，沿線段CO以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作OC的垂線交BC于點(diǎn)E,作EF / OC,交拋物線 于點(diǎn)F.(1)求此拋物線的解析式；(2)小明在探究點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn)C重合時(shí)，EF長度可看作O;當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)。重合時(shí), EF長度也可以看作 O,于是他猜想：設(shè)點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)位置時(shí)，當(dāng)線段 EF最長，你認(rèn)為他猜想是否 正確，為什么？(3)連接CF、

8、DF,請(qǐng)直接寫出4CDF為等腰三角形時(shí)所有t的值.【新題訓(xùn)練】1. (2020江西初三)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,4),直線x=- 2與x軸相交于點(diǎn)B,連接OA,拋物線y= - x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x= - 2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到點(diǎn)A時(shí)停止移動(dòng).(1)線段OA所在直線的函數(shù)解析式是 ;(2)設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為 m,問：當(dāng)m為何值時(shí)，線段PA最長？并求出此時(shí) PA的長.(3)若平移后拋物線交 y軸于點(diǎn)Q,是否存在點(diǎn) Q使得4OMQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.2. (2018山東中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)

9、y ax2 bx c交x軸于點(diǎn)A 4,0、B 2,0，交y軸于點(diǎn)C 0,6，在y軸上有一點(diǎn)E 0, 2 ,連接ae .(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求ADE面積的最大值；(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使 AEP為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.23. (2016廣西中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y x 2x 3與x軸交于A, B兩點(diǎn)(A在B的 左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn) A, C, D的坐標(biāo)；(2)如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得4CDE的周長最小，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；(3)如圖(

10、2), F為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.4. (2019廣東廣州市第二中學(xué)初三)如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCO, B點(diǎn)坐標(biāo)為(4, 3),1拋物線y= -x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C, D為BC的中點(diǎn)，直線 AD與y軸交于E點(diǎn)，與拋 21c物線y=1x2+bx+c交于第四象限的F點(diǎn).2(1)求該拋物線解析式與 F點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒運(yùn)個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn) E運(yùn)動(dòng).過2點(diǎn)P

11、作PHLOA,垂足為H,連接MP, MH.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問EP+PH + HF是否有最小值，如果有，求出 t的值；如果沒有，請(qǐng)說明理由.若4PMH是等腰三角形，求出此時(shí) t的值.5. (2019湖南中考模擬)如圖，關(guān)于 x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A (1, 0)和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C (0, 3),拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)在y軸上是否存在一點(diǎn) P,使4PBC為等腰三角形？若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在 AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn) N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒 2個(gè)單位的速度在拋

12、物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)， 4MNB面積最大，試求出最大面積.6. (2018山東中考模擬)如圖，拋物線 y=-,x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交X軸于點(diǎn)D,已知A (- 1, 0), C (0, 2).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形 CDBF的最大

13、面積及此時(shí) E點(diǎn)的坐標(biāo).A (0, 6), B (6, 0), C7. (2019山東中考模擬)已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)(-2, 0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAB的面積有最大值?(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段 AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE/x軸交拋物線于點(diǎn) E,連結(jié)DE ,請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使4PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.B管用國8. (2018廣東中考模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)2y ax bx 4 (a 0)的圖象與x軸交于(1)

14、求該二次函數(shù)的解析式;(2)如圖1,連結(jié)BC,在線段BC上是否存在點(diǎn)E,使得4CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;(3)如圖2,若點(diǎn)P (m, n)是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0, n<0),連結(jié)PB, PD, BD,求 BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).9. (2019四川中考模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c (c> 0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)積為點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ

15、的面S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出 m的取值范圍;(3)探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N,使4NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn) N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.10. (2019甘肅中考模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A (-1, 0), B (3, 0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn) C (0, - 3).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH，x軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)M,連接PC.求線段PM的最大值；當(dāng)4PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).11. (2019安徽中考模擬)如圖，已知直線y x 1與拋物

16、線y ax2 2xc相交于點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B 2,m兩點(diǎn).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P是位于直線 AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng) PAB的面積S最大時(shí)，求此時(shí) PAB的面積S及 點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使 QAB是等腰三角形？若存在，直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)(不用說理)；若不 存在，請(qǐng)說明理由.12. (2018江蘇中考模擬)(2017南寧，第26題，10分)如圖，已知拋物線 y ax2 2小3ax 9a與坐標(biāo) 軸交于A, B, C三點(diǎn)，其中C (0, 3), /BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D的直線 l與射線AC, AB分別交于點(diǎn) M, N.(1)直接

17、寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸;(2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若 PAD為等腰三角形，求出點(diǎn) P的坐標(biāo);11(3)證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)， 均為定值，并求出該定值.AM AN13. (2019重慶中考模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱軸為直線戈二1 ,與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、(1)求此拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)G (2, y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn) P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，4APG的面積最大？求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)和4APG的最大面積.(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于 M、N兩點(diǎn)(其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè))，在x軸上是否

18、存在點(diǎn) Q,使4MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.14. (2019遼寧中考模擬)拋物線 y=ax2+bx-3 (a*Q與直線y=kx+c (kQ相交于A (- 1, 0)、B (2,-3)兩點(diǎn)，且拋物線與 y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(3)在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P,若4PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 1c 、.15. (2020浙江初三期末)如圖，拋物線 y=- - x2+2x+6交x軸于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，交y2軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸分別交x軸、線段AC于點(diǎn)E、F.備用圖(1)求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn) A的坐標(biāo)；(2)連結(jié)AD, CD,求4ACD的面積；,取AACD 一邊的兩端點(diǎn)和點(diǎn) P,若以這三點(diǎn)為(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE勻速向終點(diǎn)E頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且P為頂角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).16. (2020湖北初三期末)如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A (4, 4), B (5, 0)和原點(diǎn)O, P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂