1、縱向數學化：數學學習的必由之路摘  要：弗賴登塔爾認為“數學化”分橫向數學化和縱向數學化兩種。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。二者皆為數學學習的重要方式。在小學數學教學中，尤其是概念教學中，往往重視前者而忽視了后者。因此需要反思小學生是否需要縱向數學化，如何認識抽象在數學學習中的地位，小學生需要怎樣的數學學習過程。關鍵詞：數學化  縱向數學化  抽象  學習過程 一般認為，數學是一門比較成熟的學科，以至于人們往往以“數學化”的程度來評判其他學

2、科的成熟程度。“數學化”既是數學教學活動的目的，也是實現教學目的之手段。弗賴登塔爾認為數學化分橫向數學化和縱向數學化兩種。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。一般人們將橫向數學化理解為將現實與數學建立聯系；縱向數學化則常理解為是建立抽象的數學知識之間的聯系，常常包含著抽象和形式化。小學數學學習中有很多數學概念。作為用數學語言和符號揭示事物本質屬性的思維形式，概念學習相對比較抽象，縱向數學化是不可避免的。但實際教學中往往過多依賴于具體的直觀，縱向數學化受重視的程度還不夠。甚至我們已經過多地注重了橫向數學化，而導致了學習過程中對縱向數學化

3、的下意識回避，其直接后果就是學生對于所學的內容缺乏深刻的理解，無法建構起整體的聯系。事實上，課程改革重視橫向數學化，并不代表可以忽略縱向數學化，從發展思維的角度看，縱向數學化有更重要的價值。一、小學生需要縱向數學化嗎小學生的思維特點是以形象思維為主。學生在理解抽象的知識時，由于受心理因素的影響容易遇到一些學習障礙，比如辨認困難，缺乏空間想象力等。此時，設計合理的生活情境，給學生提供具體的材料，具有將兒童思維從生活引入學科的作用。那么小學生的數學學習中有沒有縱向數學化呢？以加法為例，兩只小猴分別摘了8個桃和5個桃，一共摘了多少個桃？類似的問題可以被抽象為：8和5合起來是幾？這屬于橫向數學化。接著

4、列出算式85，考慮加法怎么算就是縱向數學化中算法的問題。隨著學生的學力增長，數學化是可以從橫向進一步往縱向深入的。從下面的案例中我們可以看到，縱向數學化有時候更能發展學生的數學思維。教學圓的認識，教師出示信封中的一個圓和一些直邊的圖形，詢問學生能否從這一堆平面圖形中把圓“摸”出來。學生當然說“能”，教師便引導學生思考“為什么”，讓學生比較圓和直線圖形的邊的特征，建立圓是曲線圖形的概念。接著，教師又從信封中取出不規則的曲線圖形和橢圓，讓學生繼續“摸”。學生判斷能摸出并準確地說出依據，體會這些圖形“凹凸不平”“不均勻”等不同于圓的特質，突顯了圓“飽滿”“均勻”的特點。學生在這個過程中根本沒有實際動

5、手去摸，但是很明顯地，他們的感受是深刻的，思維是理性的。可見，現實背景和實踐操作能為學生理解概念提供有效的感知基礎，但不是唯一的途徑。分析、抽象對于小學生來說存在一定的難度，但某種程度上，也正是這種難度讓學生的學習變得有意義了。更進一步說，在幾何學中的知覺表象空間并不等于幾何空間。奧地利數學家和心理學家恩斯特·馬赫指出：人們的空間感覺的系統與歐氏空間是不同的。幾何空間在一切地方和在一切方向都是同一性質的，是無邊界的和無限的。視覺空間是有邊界的和有限的，而且它的廣延在不同方向是不同的， “天穹頂”就是一個極好的例子。法國著名數學家昂利·彭加勒也認為，通過感覺和表象掌握的空間是

6、與幾何學家所掌握的空間完全不相同的。這些精通感官或生理心理學的數學家都否認了知覺表象空間與幾何空間的一致性。因為“幾何學原理并不是經驗的事實。”同時，實驗心理學在這方面為上述觀點也提供了可信的證據。因此，縱向數學化即使在小學階段也是有價值的。二、合理認識抽象的地位靜態地看，概念是知識的基本單位；動態地看，概念是思維的基本單位。對于數學學習而言，概念的形成、理解與掌握是最基本的、起著基石性作用的認知活動，是數學學習中的“基礎工程”。幾何概念是抽象的。荷蘭范·希爾夫婦針對平面圖形的認識提出如下的幾何思維水平：水平1為直觀化；水平2為描述/分析；水平3為抽象/關聯；水平4為演繹/形式化推理

7、；水平5為嚴密/元數學。學生通過思維水平的進步，從直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復雜水平。這實際上也說明了從直觀辨認到探索特征是符合兒童的認知規律的。因此概念的形成不可能停留在直觀感知的水平上，必須引導學生進行抽象思維。有這樣一道習題：至少要用多少塊棱長為1厘米的小正方體才能拼成一個較大的正方體？教師在發現許多學生無從下手時，便啟發學生先拼一拼，再數一數。學生通過動手操作，發現至少要用8塊。如果教學就此結束，那么操作是表面的；但是如果老師在學生通過操作得出8塊后，趁勢引導學生觀察并思考：為什么會是8塊？學生則可能體會到因為沿著長、寬、高各都擺了2塊，每層都要擺2×2=

8、4(塊)，要擺2層，所以是4×2=8(塊)，進而認識到這里的每個“2”分別代表的是正方體的棱長，總塊數等于正方體棱長的立方。教師引導學生驗證：這個發現究竟對不對呢？需要驗證。假如要拼一個棱長為3厘米的正方體，至少需要多少塊這樣的小正方體？盡管一些學生還是依賴動手拼，但許多學生已開始借助表象，進行想象并抽象成算式：3×3×3=27（塊）。在此基礎上，教師繼續追問：假如要拼一個棱長為a厘米的正方體（a為自然數），一共需要多少塊這樣的小正方體？你能想象出拼成的圖形嗎？這樣的教學由特殊到一般，及時把學生的感性認識上升到理性，促進學生空間觀念的形成和抽象思維的發展。無獨有偶

9、，D. Tall有關從初等數學到高等數學發展認知結構的研究表明：雖然幾何最初是以感知的對象為對象的，并且是以圖像型為基礎的，但它的進一步發展有一個語言和概念推演的轉化過程，直至幾何的完全形式化。  許多數學概念在小學階段是相對淺顯、模糊、表述不完善的（其中當然有考慮小學生的年齡以及心理特征的原因）。小學階段未必能夠讓學生完整理解純抽象的概念，但是利用縱向的數學化活動適當作抽象的訓練和學習，為“純數學的研究”作準備則是有可能的。三、我們需要什么樣的數學學習過程如果說過去的數學教學在某種程度過于重視結果而忽視了過程，那么當下的教學既要重視結果，也要重視過程。這并不是結果是可有可

10、無的。實際上，任何學習都是有階段性的，在某一階段，學生經過學習會經歷一些過程，同時得到一些結論。弗賴登塔爾認為這樣的結論在高一層學習中又作為繼續學習的常識和基礎。這些結論會“再一次被提煉、組織，而凝聚成新的法則，新的法則又成為新的常識，如此不斷地螺旋上升，以至于無窮”。教學分數除法的時候，教師出示例題9/20÷3/5，教學預設是學生聯系上節課分數除以整數的知識進行遷移。然而一個學生說9÷3/20÷5=3/4，但其給出的理由是：“分數乘法是分子乘分子，分母乘分母，除法應該也可以啊。”于是，教師又寫出一個算式：3/5÷2/3，學生仍然采用這樣的算法：3/5&

11、#247;2/3=18/30÷2/3=18÷2/30÷3=9/10。顯然，學生的想法是合理的，也是正確的，只是與教科書上希望他們掌握的方法不一致。弗賴登塔爾指出：“數學教育本身是個過程，不僅是傳授知識，更要在過程中讓學生親身實踐而抓住其發展規律，學會抽象化、形式化的方法。”實際上，如果教師愿意在課堂上拿出一些時間，引導學生繼續研究這個問題，就會發現，學生解題的原理就是顛倒相乘的法則，因為：a/b÷c/d=acd/bcd÷c/d=ad/bc。教師完全可以肯定學生思路正確，并引導他們在課堂上從數理的角度得出這樣的結論，這不正是“學生通過自己的努力得到的結論和創造”成為教育內容的一部分么？而且這樣的結論是邏輯嚴謹，構造巧妙的探索。思維質量的提高，才能讓課堂的對話真正精彩。柏