1、重慶工商大學第六屆大學生數學建模競賽暨2014年全國大學生數學建模選拔賽論文題目：養老金計劃參賽隊員信息姓 名學號學院專業班級聯系電話性別宿舍特 長相關學科平均成績高等數學線性代數概率統計計算機李祥龍2012XXXXX數統學院151XXXXXX男X無XXXX丁月月2012XXXXX管理學院151XXXXXX女X建模XXXX周影2012XXXXX管理學院138XXXXXX女X寫作XXXX2013年 6 月 5 日養老金計劃的數學模型摘要 中國正在跑步進入老齡化社會，養老金短缺問題受到了社會各界的廣泛關注。經預測，到2039年,我國將出現不足兩個納稅人供養一個養老金領取者的局面,這被稱為“老齡社會

2、危機時點”.本文就養老金問題進行了討論。假定養老金計劃從20歲開始至80歲結束，參加者20到60歲時工作階段，他會每月存入一定的金額，60歲退休以后，每月初領取相等的退休金，一直領取20年。建立數學模型，計算參加者不同年齡階段投入不同的金額，他所領取到的養老金是多少。我們把它分為了兩個階段，先是以年金的形式算出參加者從投入資金到60歲一月初時的本息和，再計算出了他從60歲到80歲領取養老金的公式，從而求出了他每月領取的養老金P.然后利用Matlab編寫程序，最終得出了結果，越早參加養老金計劃，領取的養老金越多。從20歲開始參加養老金計劃，每月領取的養老金為12205.7元；從35歲開始參加養老

3、金計劃，每月領取的養老金為5747.6元；從48歲開始參加養老金計劃，每月領取的養老金為4644.4元.最后，本文討論了該模型的優缺點，并進行了進一步的推廣與分析.關鍵詞：老齡化 養老金 年金 Matlab一、問題重述養老金是指人們在年老失去工作能力后可以按期領取的補償金，這里假定養老金計劃從20歲開始至80歲結束，年利率為10.參加者的責任是，未退休時（60歲以前）每月初存入一定的金額，其中具體的存款方式為：20歲29歲每月存入X1元，30歲39歲每月存入X2元，40歲49歲每月存入X3元，50歲59歲每月存入X4元.參加者的權利是，從退休（60歲）開始，每月初領取退休金，一直領取20年.建

4、立養老金計劃的數學模型，并計算不同年齡的計劃參加者的月退休金.1、從20歲開始參加養老金計劃，假設X1=X2=X3=X4=200元；2、從35歲開始參加養老金計劃，假設X2=200元，X3=500元，X4=1000元；3、從48歲開始參加養老金計劃，假設X3=1000元，X4=2000元.二、問題分析我們先對整個問題進行分析，建立一個適用于從任何年齡（2059歲）開始參加養老金計劃的數學模型，再分別代入數據，計算出從20歲開始參加養老金計劃、從35歲開始參加養老金計劃和從48歲開始參加養老金計劃可以得到的養老金補助. 我們把參加者從開始參加養老金計劃到80歲分為兩個階段。第一個階段為繳納養老金

5、階段，從參加養老金計劃開始到60歲1月初，計算出所有月份繳納的養老金到60歲1月初時的本息和S；第二階段為領取養老金階段，從60歲1月初到80歲12月初，利用上一個階段求出的S計算出每月應當領取的養老金P，使得80歲最后一個月領取養老金后賬戶的余額為0.三、模型假設1、假設參加者能領取養老金的年齡恰好到80歲，不多不少.2、假設年利率一直都為10%不會受外界的其他因素而變動.3、假設參加者每月初都是按時繳納相應的養老金，不會出現拖欠或間斷的情況.4、假設參加者80歲時，銀行恰好能把參加者所繳納的養老金的本息和全部返還給參加者，賬戶余額沒有剩余.5、假設參加者每月初都會按時去領取養老金，不會提前

6、或延遲.四、符號說明符號符號說明某人開始參加養老金時的年齡，i為所處年齡段，i1,2,3,4；20,29, 30,39, 40,49, 50,59第i個年齡段存錢時每個月要存的金額, 單位為元；b在20,29年齡段存錢的計息次數；c在30,39年齡段存錢的計息次數；d在40,49年齡段存錢的計息次數；e在50,59年齡段存錢的計息次數；B在20,29年齡段存錢的存到60歲時的本息和,單位為元；C在30,39年齡段存錢的存到60歲時的本息和,單位為元；D在40,49年齡段存錢的存到60歲時的本息和,單位為元；E在50,59年齡段存錢的存到60歲時的本息和,單位為元；S某人開始存錢到60歲存的錢的

7、本息和, 單位為元；某人每月初領取退休金, 單位為元.五、模型的建立一、建立每個年齡段存入的金額到60歲時所產生的利息和的數學模型分不同的年齡段求在該年齡段內每個月所存入的金額及到60歲時所產生的利息和.由于人們是每個月的存錢，計算利率時也要用月利率，即10%/12.1、 2029歲當人們在20歲29歲中的歲開始每月存入X1元時，到60歲時該月金額的本息和為（1+10%/12）的b次方乘X1，b為該月月利率循環的次數。計算到29歲最后一個月所有月份循環的次數，則b從361到12× (29-+1)+360。故在該年齡段，60歲時所產生的本息和一般模型為B = (化簡得之)其中，20&l

8、t;=<292、3039歲當人們在30歲39歲中的歲開始每月存入X2元時，到60歲該月金額的本息和為（1+10%/12）的c次方乘X2，c為該月月利率循環的次數。計算到39歲最后一個月所有月份循環的次數，則c從241到12×(39-+1)+240。故在該年齡段，60歲時所產生的本息和一般模型為 C = (化簡得之)其中，30<=<393、4049歲當人們在40歲49歲中的歲開始每月存入X3元時，到60歲該月金額的本息和為（1+10%/12）的d次方乘X3，d為該月月利率循環的次數。計算到49歲最后一個月所有月份循環的次數，d從121到12×(49-+1)+

9、120。故在該年齡段，60歲時所產生的本息和一般模型為D = (化簡得之)其中，40<=<494、5059歲當人們在50歲59歲中的歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和為（1+10%/12）的e次方乘X4，e為該月月利率循環的次數。計算到59歲最后一個月所有月份循環的次數，e從1到12×(59-+1)。故在該年齡段，60歲時所產生的本息和一般式為E = (化簡得之)其中，50<=<59二、計算參加者從參加養老計劃開始到60歲一共所得金額基礎公式S=B+C+D+E求解得到模型為在2029歲時參加養老金計劃 + 在3039歲時參加養老金計劃在4049

10、歲時參加養老金計劃在5059歲時參加養老金計劃三、求參加者每月初領取退休金金額參加者到60歲時產生的本利息和為s，從退休（60歲）開始，每月初領取退休金，但余額仍然在產生利息.以此一邊產利一邊領p的模式領取20年，直到80歲的最后一個月賬戶余額為0，并以最后一個月賬戶余額為0的情形建立等式，求得p.第一個月賬戶余額第二個月賬戶余額第三個月賬戶余額： 第四個月賬戶余額：. 由上述結果，我們可以演繹推理出更一般的情形即第n個月賬戶余額為由于第80歲的最后一個月，應為第240個月，故令n為240，聯系此時賬戶余額為0建立平衡0= =解之得的模型為：六、模型的求解問題一的求解=12205.7問題二的求

11、解=5747.6問題三的求解=4644.4七、模型的優缺點討論1、 模型優點(1) 給出一個年齡就可以計算出相應的月退休金,若運用到實際中，會帶來很大的便利；(2) 因為等式是以最后一個月的賬戶金額為0建立的，所以按照我們計算的值，可以讓參加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益；(3) 建模的思路簡單，原理易于讓他人接受；(4) 編程簡單易行，可以快速計算出值2、 模型缺點：（1） 該模型是在假設的條件下建立的，所以有一定的局限性，比如若沒有考慮到利率的變化，參加者能領取養老金的年齡不可能恰好到80歲等；（2） 該模型只能以參加者的整數年齡計算，即參加者開始繳納養老金是每個年齡階

12、段1月初，而不能更加細致地表現出其他月份不為1甚至是天數不為1的情況.比如某人是27歲8月6日參加養老計劃的，而不是27歲1月1日，那么在模型中就不能很方便地計算出值.八、模型改進與推廣（1）上述我們只是計算了參加者開始繳納養老金是每個年齡階段1月初的情況，我們可以將其改進成不是1月初的情況，進一步推廣，將年利率變成日利率，還可以計算出不是月初而是某一天的情況，這樣就能更接近實際情況.（2）在實際生活中，利率不是一成不變的，我們可以將利率的變動情況考慮進去，進一步推廣成養老金的動態模型.參考文獻1 王化成主編，財務管理（第三版），北京：中國人民大學出版社，20102 姜啟源 謝金星 邢文訓 張

13、立平編著，大學數學實驗（第2版），清華大學出版社,2010附錄附錄一：用MATLAB編程 (1)x=200 200 200 200;a=20 30 40 50;syms b c d eB= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1); % 20歲29歲中的歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和； C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);% 30歲39歲中的歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和； D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-1

14、2.*a(3);% 40歲49歲中的歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和； E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);% 50歲59歲中的歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和； S=B+C+D+E;% 從開始存錢到60歲時，總共產生本息和；S=vpa(S);% 將計算結果化成小數;p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S% 每月初領取退休金。運行結果：(2)x=0 200 500 1000;a=20 35 40 50;B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)

15、b,b,361,720-12.*a(1);C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);S=B+C+D+E;S=vpa(S);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S 運行結果：(3)x=0 0 1000 2000;a=20 30 48 50;B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1);C= syms