1、數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)題1、為連續(xù)函數(shù)，初值條件，假設(shè)其增長(zhǎng)率為常數(shù)，顯然有，則其滿足微分方程 ；微分方程滿足初值條件的解為 ；這個(gè)模型稱為 。2、敘述數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用3、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型按以下方面的分類：按應(yīng)用領(lǐng)域可分為：人口、交通、能源、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)、規(guī)劃等等；按建立模型的數(shù)學(xué)方法可分為：初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型等等；按模型的表現(xiàn)特征可以分為：確定性和隨機(jī)性、線性和非線性、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)、連續(xù)與離散等等4、在超市購(gòu)物時(shí)你可能注意到大包裝商品比小包裝商品便宜，比如中華牙膏65g每支2.5元，120g每支

2、3.8元，二者單位重量的價(jià)格比約為1.21：1。（1）分析商品單位重量?jī)r(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。價(jià)格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本所決定，這些成本中有的與體積成正比、有的與表面積成正比、有的與體積（重量w）無(wú)關(guān)。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格C與w的關(guān)系，畫(huà)出它們的簡(jiǎn)圖。說(shuō)明w越大C越小，但是隨著w的增加C減小的速度變慢，解釋其意義是什么？5、2005級(jí)新生入學(xué)后，統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院共有在校學(xué)生1050人，其中統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)600人，信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)400人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)50人。要在全院推選23名學(xué)生組成學(xué)生代表團(tuán)，試用下面的方法分配各專業(yè)的學(xué)生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名額按慣例分

3、配給小數(shù)部分較大者；（2）用值方法進(jìn)行分配6、工廠定期訂購(gòu)原料，存入倉(cāng)庫(kù)供生產(chǎn)之用。設(shè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，原料每天的需求量為常數(shù)，每次的定貨費(fèi)用為，每天每單位原料的存儲(chǔ)費(fèi)為，訂貨后可立即到貨，每次訂貨量為。（1）建立一周期的總費(fèi)用函數(shù)（包括訂貨費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)，購(gòu)貨費(fèi)是常數(shù)可不予考慮）；（2）為使每天的平均費(fèi)用最小，求最佳訂貨批量、訂貨周期和最小成本。7、一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天體重增加2公斤。目前生豬的出售價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)價(jià)格每天降低0.1元。（1）問(wèn)該飼養(yǎng)場(chǎng)應(yīng)該在什么時(shí)候出售這樣的生豬最劃算？（2）在最佳出售時(shí)機(jī)的價(jià)格之下，作體重增加

4、關(guān)于時(shí)間的彈性分析，并對(duì)彈性分析作出相應(yīng)的解釋；（3）在最佳出售時(shí)機(jī)的價(jià)格之下，作價(jià)格的降低關(guān)于時(shí)間的彈性分析，并對(duì)彈性分析作出相應(yīng)的解釋；8、利潤(rùn)是銷售收入與生產(chǎn)支出之差，為每單位商品的售價(jià)，即。稱為 ；稱為 ；稱為 ；利潤(rùn)最大化的條件是 。給定，需求函數(shù)，已知（1）建立利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用上述條件求利潤(rùn)最大化時(shí)的價(jià)格。9、消費(fèi)者對(duì)甲、乙兩種商品的效用曲線（無(wú)差異曲線），問(wèn)他如何利用手中的錢購(gòu)買兩種單價(jià)分別為和的商品以達(dá)到效用最大。（1）建立效用最大化的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；（2）利用Lagrange乘數(shù)法求出利潤(rùn)最大化的條件，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋。10、某公司用木頭雕刻士兵模型出售。公司的兩大

5、主要產(chǎn)品分別是“盟軍”和“聯(lián)軍”士兵，每件利潤(rùn)分別是28美元和30美元。制作一個(gè)“盟軍”士兵需要使用2張木版，花費(fèi)4小時(shí)的木工，再經(jīng)過(guò)2小時(shí)的整修；制作一個(gè)“聯(lián)軍”士兵需要使用3張木版，花費(fèi)3.5小時(shí)的木工，再經(jīng)過(guò)3小時(shí)的整修。該公司每周能得到100張木版，可供使用的木工（機(jī)器時(shí)間）為120小時(shí)，整修時(shí)間為90小時(shí)。（1）確定每種士兵的生產(chǎn)數(shù)量，使得每周的利潤(rùn)最大，建立線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。（2）對(duì)于你建立的線性規(guī)劃模型，利用LINDO6.0求解結(jié)果如下：請(qǐng)你進(jìn)行對(duì)偶價(jià)格分析和進(jìn)行全面的靈敏度分析（目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束條件右斷的常數(shù)項(xiàng)），并作出解釋。LP OPTIMUM FOUND AT S

6、TEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 972.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 0.000000 X2 24.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 10.000000 0.000000 3) 0.000000 4.800000 4) 0.000000 4.400000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

7、 CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 28.000000 6.285715 8.000000 X2 30.000000 12.000000 5.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 INFINITY 10.000000 3 120.000000 60.000000 14.999999 4 90.000000 10.000000 30.00000011、牧場(chǎng)主知道，對(duì)于一匹

8、體型中等的馬來(lái)說(shuō)，最低的營(yíng)養(yǎng)需求為：40磅蛋白質(zhì)、20磅碳水化合物、45磅粗飼料，這些營(yíng)養(yǎng)成分是從不同的飼料中得到的，飼料及其價(jià)格如下表： 飼料營(yíng)養(yǎng)成分干草（每捆）燕麥片（每袋）飼料塊（每塊）高蛋白濃縮料（每袋）每批馬的需求（每天）蛋白質(zhì)（磅）0.51.02.06.040.0碳水化合物（磅）2.04.00.51.020.0粗飼料（磅）5.02.01.02.545.0價(jià)格（美元）1.803.500.401.00（1）建立數(shù)學(xué)模型，確定如何以最少的成本滿足最低的營(yíng)養(yǎng)需求。對(duì)于你建立的線性規(guī)劃模型，利用LINDO6.0求解結(jié)果如下：請(qǐng)你進(jìn)行對(duì)偶價(jià)格分析和進(jìn)行全面的靈敏度分析（目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束條件

9、右斷的常數(shù)項(xiàng)），并作出解釋。LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.000000 0.000000 X2 0.000000 1.500000 X3 20.000000 0.000000 X4 0.000000 0.100000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.500000 0.000000 3) 0.000000 -0.400000 4) 0.000000 -0.200000 NO. ITERATI

10、ONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.800000 0.200000 0.200000 X2 3.500000 INFINITY 1.500000 X3 0.400000 0.046875 0.040000 X4 1.000000 INFINITY 0.100000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWA

11、BLE RHS INCREASE DECREASE 2 40.000000 2.500000 INFINITY 3 20.000000 2.500000 0.131579 4 45.000000 0.333333 5.00000012、用和分別表示甲乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻的兵力（人數(shù)），每一方的戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,分別為；每一方的非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑等因素引起）只與本方的兵力成正比；甲乙雙方的增援率是給定的時(shí)間的函數(shù)，分別為。則兵力變化的微分方程為：根據(jù)以下條件，求出甲乙兵力的函數(shù)，分析甲、乙方獲勝的條件。正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)：游擊戰(zhàn)爭(zhēng)：混合戰(zhàn)爭(zhēng)：13、在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型中，為了適用于不同的對(duì)象

12、，可將產(chǎn)量函數(shù)折算成現(xiàn)金，考慮到物價(jià)上漲因素，我們記物價(jià)上升指數(shù)為，則產(chǎn)品的表面價(jià)值、實(shí)際價(jià)值和物價(jià)指數(shù)之間有關(guān)系。（1）導(dǎo)出的相對(duì)增長(zhǎng)率之間的關(guān)系，并作出解釋；（2）設(shè)雇傭工人數(shù)為，每個(gè)工人的工資，其他成本企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為根據(jù)CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)討論，企業(yè)應(yīng)雇傭多少工人可使利潤(rùn)最大？14、記時(shí)刻漁場(chǎng)中的魚(yú)量為，在無(wú)捕撈的條件下的增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律其中是固有增長(zhǎng)率，是環(huán)境容許的最大魚(yú)量。解這個(gè)微分方程滿足初值條件，并解釋何時(shí)魚(yú)量達(dá)到最大？15、Volterra食餌捕食者模型（1）消去后，化為關(guān)于的微分方程；（2）分離變量，求解上述微分方程并進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）解釋食餌捕食者兩類

13、生物數(shù)量變化的規(guī)律。16、敘述層次分析法的基本步驟17、用層次分析法解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，建立合理的層次結(jié)構(gòu)，并給出層次結(jié)構(gòu)中所有關(guān)系的判別矩陣。（不必求解）18、試用和法求下列正互反矩陣的最大特征值與對(duì)應(yīng)的權(quán)重。計(jì)算一致性指標(biāo)，根據(jù)3階判斷矩陣的隨機(jī)性一致指標(biāo)為，計(jì)算一致性比率并作一致性檢驗(yàn)。,19、已知6支球隊(duì)循環(huán)比賽的鄰接矩陣（1）畫(huà)圖用箭頭表示的這6個(gè)球隊(duì)的勝負(fù)關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級(jí)得分向量，并按名次高低排除順序已知4支球隊(duì)循環(huán)比賽的鄰接矩陣（1）畫(huà)圖用箭頭表示的這6個(gè)球隊(duì)的勝負(fù)關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級(jí)得分向量，并按名次高低排除順序已知5支球隊(duì)循環(huán)比賽的鄰接矩陣（

14、1）畫(huà)圖用箭頭表示的這6個(gè)球隊(duì)的勝負(fù)關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級(jí)得分向量，并按名次高低排除順序20、有個(gè)工人，他們的生產(chǎn)是相互獨(dú)立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，個(gè)工作臺(tái)均勻排列；每個(gè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的；在一個(gè)周期內(nèi)有個(gè)鉤子通過(guò)每一個(gè)工作臺(tái)上方，鉤子均勻排列，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)上方的鉤子都是空的；每個(gè)工人在任何時(shí)候都能觸到一只鉤子，也只能觸到一只鉤子，于是他在生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的那只鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果那只鉤子非空，則他只能將這件產(chǎn)品放在地上，永遠(yuǎn)退出這個(gè)系統(tǒng)。（1）證明：任一個(gè)鉤子非空的概率為；（2）計(jì)算這個(gè)傳送系統(tǒng)的傳送率21、報(bào)童每天

15、清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為，零售價(jià)為，退回價(jià)為，滿足。如果每天報(bào)紙的需求量是隨機(jī)的，需求份的概率，或者可以把看作連續(xù)變化的，其密度函數(shù)為。如果報(bào)童每天從報(bào)社購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙，是報(bào)童每天所得利潤(rùn)，則是與的函數(shù)（1）建立利潤(rùn)函數(shù)；（2）確定每天的購(gòu)進(jìn)量，使報(bào)童每天的期望利潤(rùn)最大。22、某商店每天要訂購(gòu)一批牛奶零售，設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià)，售出價(jià)，當(dāng)天銷售不出去則削價(jià)處理，處理價(jià)并能處理完所有剩余的牛奶。如果該商店每天銷售牛奶的數(shù)量是隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為。如果商店每天訂購(gòu)牛奶的數(shù)量為，該商店銷售牛奶每天所得利潤(rùn)，則是與的函數(shù)（1）建立利潤(rùn)函數(shù)；（2）確定每天的購(gòu)進(jìn)量，使

16、報(bào)童每天的期望利潤(rùn)最大。23、水泥凝固時(shí)放出的熱量Y與其四種成分的記錄：3（%）；：3（%）；：4（%）；：2（%）序號(hào)123456789101112137111117113122111110262956315255713154474066686158869172218423986052204733226442226341212Y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4假如Y與、呈線性關(guān)系，利用EXCEL進(jìn)行回歸，計(jì)算結(jié)果如下： SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.991149R Square0

17、.982376Adjusted R Square0.973563標(biāo)準(zhǔn)誤差2.446008觀測(cè)值13方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.47924.76E-07殘差847.863645.982955總計(jì)122715.763Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%回歸常數(shù)62.4053770.070960.8906020.399134-99.1787223.98941.5511030.744772.082660.070822-0.166343.2685460.5101680.723

18、7880.7048580.500901-1.158892.1792270.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842273-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491017（1）求Y對(duì)、的線性回歸方程；（2）對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行分析，并對(duì)回歸效果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；通過(guò)計(jì)算、的相關(guān)系數(shù)矩陣如下：對(duì)該模型作何診斷？應(yīng)該如何處理？刪除變量與重新計(jì)算如下： SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.989282R Square0.978678Adjusted R Square0.974414標(biāo)準(zhǔn)誤差2.406335觀測(cè)值13方差分析dfSSMSFSignific