1、2.2.3向量的數乘運算向量的數乘運算 及其幾何意義及其幾何意義aOaaaABC3aPQaMaNa3a,)(),aaaaaaa 已知非零向量作出和（- ） （你能說出它們的幾思考：何意義嗎？ 顯然，顯然，3a的方向與的方向與a的方向相同，的方向相同，3a 的的長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.顯然，顯然，-3a的方向與的方向與a的方向相反，的方向相反，-3a的的長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。| | | |;aa（1 1） 一）一）向量的數乘的定義：向量的數乘的定義：規定實數規定實數與向量與向量 的積是一個向

2、量，這種運算的積是一個向量，這種運算叫做叫做向量的數乘向量的數乘，記作，記作 ，它的長度和方向規，它的長度和方向規定如下定如下：aa（2 2）當）當 時，時， 的方向與的方向與 的方向相同；的方向相同； 當當 時，時， 的方向與的方向與 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特別的，當特別的，當 時，時，00.a a 是一個向量；是一個向量； a 的長度等于的長度等于 的的絕對值與向量絕對值與向量a的長度的長度的乘積。的乘積。52CABACABBCAB 教材90頁：AC2，點 在線段上，且，則，CB練習ABACAB ACACAB 已知直線上三點A,B,C,用向量表示時，實數 的求法：（1）先根據

3、向量，的方向確定 的值的符號，同向為正，反向為負；（2）再求 的明：絕對值說。A AB BC C5727設設 為實數，那么為實數，那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特別的，我們有特別的，我們有()()(),(). aaaabab 第一分配律：第一分配律：第二分配律：第二分配律：二）向量數乘的運算律：結合律：結合律：a a 、 b b 向量的加、減、數乘運算統稱為向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算向量的線性運算.對于任意向量對于任意向量 ，以及任意實數，以及任意實數 ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=例例1.計算：計算：(

4、3) 43() 2()(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3)12a5b52abcbababaab（1）向量 與非零向量 共線，則有且只有一個實數 ，使三）向量共線定理：得；（2）若存在唯一實數 ，使，則 與 共線。baba向量 與非零向量 共線存在唯一實數 ，使即2200000000000ababababa ba k bk11定理中，（1） 是非零向量但 可以為，這時，存在唯一實數；若，則 為非 常數；（2）若，則 不存在；（3）若，則 不唯一。（4）若 ， 不共線,有k，則k說明：baba向量共線定理：向量 與非零向量 共線存在唯一實數 ，使ABBCABBC

5、ABBCABCDAB CD （1）證明向量共線；（2）證明A,B,C三點共線:又A,B,C三點共線(3)證明直線AB C共線定理的應用：與有公共點BAB與CD沒有公共又點D:AB CD例例2.如圖，已知任意兩個向量如圖，已知任意兩個向量 ，試作，試作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判斷你能判斷A、B、C三點之三點之間的位置關系嗎？為什么？間的位置關系嗎？為什么？abab2b3bABCO2()ABOBOAababb 解：3()2ACOCOAababb 2ACAB , ,A B C三點共線。ACAB 又與有公共點ACAB abkabakbk練習1：向量 ， 不共線若與共線

6、，則kabakb解：與共線kabakb=（）1kk1k 2,236234, ,abABab BCabCDakbA B Dk 兩非零向量 ， 不共線，若，且三點共線，則BDBCCD 解：10ab（23+k）, ,A B D三點共線2310ABBDabab 即（23+k）1023（23+k）1,85k 18ABDCMab例例3.3.如圖，如圖， 的兩條對角線相交于點的兩條對角線相交于點M,M,且且 ，你能用，你能用 、 來表示來表示ABCDADbabMA MB MCMD 、 、和和,ABa ABa12MDMBab （）平行四邊形的兩條對角線互相平分，1122MAACab （）1122MBDBab （）1122MCACab （）解：解：例例4:如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，M是是AB的的中點，點中點，點N是是BD上的一點，上的一點， ，求證求證M、N、C三點共線三點共線.BDBN31 AMBCDN 所以所以M.N.C三點共線三點共線,BAa BCb 解：設MNMBBN 1123BABD 11()23aBAAD 11()23aab 1163ab MCBCBM 12ba13MNMC 12BCBA MNMCMNMC ，