1、 第二章 隨機變量及其分布 第一節(jié) 隨機變量為了更深入地研究隨機事件及其概率，我們引進概率論中一個重要的基本概念隨機變量。即將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量（或數(shù)值，數(shù)字）化.為此,先考察幾個隨機試驗的例子.:投擲一枚勻稱的硬幣,觀察它哪一面向上？試驗的樣本空間是;若用,則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)取值就能描述隨機試驗的結(jié)果,由于正面或反面的出現(xiàn)是隨機的,所以或也是隨機的,因而稱此為隨機變量; :甲乙兩人下一盤棋,觀察比賽結(jié)果.試驗的樣本空間是,定義函數(shù) ,則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)的取值就能描述隨機試驗的結(jié)果. ：記錄某電話交換臺在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，試驗的樣本空間是 ， 定義當 ； ：從一批燈泡中任取

2、一只，測試其壽命，試驗的樣本空間是，定義當 。 我們從上面幾個例子看到,用數(shù)量來描述試驗的全部結(jié)果,對我們研究隨機試驗是方便的.因此,有必要把隨機試驗結(jié)果都轉(zhuǎn)化成數(shù)量來表示.這就有必要引入一個重要概念-隨機變量.定義1 設(shè)隨機試驗的樣本空間為,為概率空間.如果對于每一個樣本點，都有確定的實數(shù)值與之對應(yīng)，并且對于任意實數(shù)，是隨機事件，（即要求是可測函數(shù)），有確定的概率，則稱這樣的實值變量為隨機變量，簡記為。 隨機變量，簡記為，有的書上稱為隨機變數(shù)。通常用大寫英文字母或希臘字母等表示隨機變量。例如，上述分別定義于樣本空間上的函數(shù)都是隨機變量。 由此可見，隨機變量就是定義在樣本空間上的一個可測函數(shù)。

3、由于在試驗中出現(xiàn)是隨機的，所以實數(shù)的取值相對于試驗來說也是隨機的，這就是稱它為隨機變量的原因。定義在樣本空間上的任一個函數(shù)，未必是隨機變量。引入隨機變量以后，隨機事件就可以用隨機變量的取值來表示了。如在試驗中，令“呼叫次數(shù)不超過20” ；“呼叫次數(shù)大于8” ；“呼叫次數(shù)在之間”，則隨機事件可分別表示如下： ； 。這樣一來，我們所關(guān)心的隨機事件的概率問題就轉(zhuǎn)化為隨機變量取值的概率問題。因此，隨機變量及其取值的概率是我們今后學習研究的主要對象。（可測性、可測集、可測函數(shù)的概念，在數(shù)學上有精確定義；不可測的集合是存在的，數(shù)學家已構(gòu)造出不可測的集合；不可測事件存在性的社會學證明：“深（神）不可測”，“

4、高深莫測”，“神秘莫測”，“猜不出你想的都是什么”，“股市風險不可預(yù)測”等等。我們通常遇到的大都是可測的。社會上的“隨機應(yīng)變”用概率論的術(shù)語就是“隨機變量”，深刻領(lǐng)會“隨機應(yīng)變”的涵義，就能理解“隨機變量”。第二節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)研究隨機變量，不但要知道它取哪些值，更重的是要掌握它在各個范圍內(nèi)取值的概率規(guī)律。為此，引進分布函數(shù)的概念。對一般的隨機變量，如何描述它取值的概率規(guī)律就成為我們下面研究的內(nèi)容。設(shè)為隨機變量，則為隨機事件，如果對一切實數(shù)，都知道了，那么對取值于一切有限，無限的開，閉，半開，半閉區(qū)間內(nèi)的概率也能用概率的性質(zhì)計算出來。 定義2 設(shè)為隨機變量，對于任意實數(shù)，令 ,，(2.1

5、）稱為隨機變量的概率分布函數(shù),簡稱分布函數(shù),記為. 就是說, 隨機變量的分布函數(shù)在任意實數(shù)處的值等于在區(qū)間內(nèi)取值的概率.例如 “2007年某省高考的全體考生”，表示考生的總分數(shù)，制定錄取線，報志愿時我們需要知道分數(shù)分布情況。 如果是考前報志愿，預(yù)測的分數(shù)分布情況就更重要了。 分布函數(shù)是定義于實數(shù)軸上的實函數(shù).分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：,(1)取值范圍:,且 , ; （2）單調(diào)不減,對于, 有; (由于, ) （3）右連續(xù),對一切實數(shù) . (記號:右極限)反之，若定義在上的實函數(shù)，若滿足以上條件,則一定是某隨機變量的的分布函數(shù)。 分布函數(shù)還具有下列一些性質(zhì): （4）對任意實數(shù), (2.2)事實上

6、, ; (5) , (2.3) , .其中左極限. 分布函數(shù)舉例例1 投擲一顆勻稱的骰子,記錄其出現(xiàn)的點數(shù).令 ,則是一個隨機變量.求的分布函數(shù).解 只可能取0、1兩個值,且根據(jù)題意, ,當時, ;當時, ,;當時,于是得到隨機變量的分布函數(shù)為 .例2 已知隨機變量的分布函數(shù)為 ,(1) 確定常數(shù);(2) 求和.解 (1)由分布函數(shù)的性質(zhì),得 ,所以, ;(2) , .例3 某人打靶,圓靶半徑為1m.設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤的概率與該圓靶的面積成正比.以表示彈著點至靶心的距離,試求機變量的分布函數(shù). 解 根據(jù)題意,可能取0,1上的任何實數(shù). ,當時, ;當時, , 為了確

7、定常數(shù),在中,令,得; 又由題設(shè)知是必然事件,故 ;當時, 是必然事件,故,總上所述,即得的分布函數(shù)為 . 顯然,是一個連續(xù)函數(shù).當分布函數(shù)在點處連續(xù)時, ,即, 從而有,由上面例題的實際情況,是有可能發(fā)生的().這一事實告訴我們,未必有.隨機變量按其取值不同,可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量及其它類隨機變量.我們只討論離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量.第三節(jié) 離散型隨機變量及其概率分布離散隨機變量的定義如下：定義3 若隨機變量只可能取有限個或可數(shù)個實數(shù)值:,則稱為離散型隨機變量。()取各個可能值的概率, 稱為離散型隨機變量概率分布(或分布律,或分布列). 離散型隨機變量例子 例如,從一批產(chǎn)

8、品中抽取件,抽到的次品數(shù)只能取有限個可能值;對目標進行射擊,直到擊中目標為止,記為所需射擊次數(shù), 只能取可列個可能值,若每次擊中目標的概率為,則,是離散型隨機變量的分布律.離散型隨機變量的分布律的表示方法:(1)公式法,(2)列表法或矩陣法 . , 或用矩陣表示.離散型隨機變量的分布律具有下列基本性質(zhì)：(1) , ;(2) ,事實上,因為是隨機變量的全部可能取值,是定義在上,所以 ,且是互不相容的,利用概率的可加性即有 .上式中，當取得有限個可能值時，表示有限項的和；當取得可列無窮多個可能值時，表示收斂級數(shù)的和.反之，可以證明,任意一個具有（1）和(2)兩條性質(zhì)的一串數(shù)一定是某一個隨機變量的分

9、布律。 分布律和分布函數(shù)可互相確定的方法如下:定理 設(shè)為離散型隨機變量，具有分布律則(1)的分布函數(shù);(事實上, )(2) 對任意區(qū)間,有 ;(3) 從分布函數(shù),可以確定分布律, . 由此可見, 離散型隨機變量的分布律不但具有分布函數(shù)的相同作用,而且它比分布函數(shù)更直接且簡便地描述了隨機變量的取值規(guī)律.所以,今后我們用分布律來描述離散型隨機變量的取值規(guī)律.例1 袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任意取出一個球，觀察其顏色后放回，再從中任意取一球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布。 解 隨機變量可能取的值為:1,2,設(shè)第次取球時得白球,根據(jù)題意,事件表示“前次取出的球都是黑球，第次才取出白

10、球”；如果每次取出的球總是黑球，那么無限次的取球，所以的可能值是一切正整數(shù)，即1,2,3,n, ,各次取球試驗相互獨立,所以的分布律 , (=1,2,3,)例2 將3個區(qū)別的球隨機地逐個放入編號為1，2，3，4的四只盒中（每盒容納球的個數(shù)不限）。設(shè)為有球的盒子的最大號碼，試求：（1）隨機變量的分布律與分布函數(shù)； （2）。解 （1）根據(jù)題意知，隨機變量可能取的值為：1，2，3，4；且 ；，即隨機變量的分布律為1234的分布函數(shù)為 （2） . 例3 將紅、白、黑三只球隨機地逐個放入編號為1，2，3的三個盒內(nèi)（每盒容納球的個數(shù)不限），以表示有球盒子的最小號碼，求隨機變量的分布律與分布函數(shù). 解 根據(jù)題意知，隨機變量可能取的值為：1，2，3; , , ,即隨機變量的分布律為123的分布函數(shù)