1、.11問題描述問題描述 SARSSARS（Severe Acute Respiratory SyndromeSevere Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性，嚴重急性呼吸道綜合癥呼吸道綜合癥, , 俗稱：俗稱：SARSSARS型肺炎）是型肺炎）是2121世紀第一個在世世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病界范圍內傳播的傳染病 。SARSSARS的爆發和蔓延給我國的經的爆發和蔓延給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多濟發展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規律、重要的經驗和教訓，認識到定量地研究

2、傳染病的傳播規律、為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性。為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性。 1 1、 對早期模型，評價其合理性和實用性。對早期模型，評價其合理性和實用性。 2 2、建立自己的模型，特別要說明怎樣才能建立一個真正、建立自己的模型，特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？型，這樣做的困難在哪里？ 3 3、收集、收集SARSSARS對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測。學模型并進行預測。 .22基本假設基本假

3、設 1)假設所考查人群的總數恒定，且無病源的輸入和輸出。假設所考查人群的總數恒定，且無病源的輸入和輸出。 2)將所考查人群分為現有病人、治愈者、死亡者、正常將所考查人群分為現有病人、治愈者、死亡者、正常人四類。人四類。 3)假設已治愈的患者二度感染的概率為假設已治愈的患者二度感染的概率為0，即患者具有，即患者具有免疫能力，不考慮其再感染。免疫能力，不考慮其再感染。 4)假設所有患者均為假設所有患者均為“他人輸入型他人輸入型”患者，即不考慮人患者，即不考慮人群個體自身發病。群個體自身發病。 5)假設各類人群在人群總體中分布均勻。假設各類人群在人群總體中分布均勻。 6)假設已被隔離的人群之間不會發

4、生交叉感染。假設已被隔離的人群之間不會發生交叉感染。 7) 不考慮隱性不考慮隱性SARS患者，即只要感染上患者，即只要感染上SARS病毒的患病毒的患者最終都會表現出癥狀者最終都會表現出癥狀.33符號說明符號說明 X(t):現有病人數現有病人數 Y(t):累計病人數累計病人數 R(t):累計治愈人數累計治愈人數 D(t):累計死亡人數累計死亡人數 T:采取強制措施的時間采取強制措施的時間 L1:病人的死亡率病人的死亡率 L2:病人的治愈率病人的治愈率 P:采取控制措施后的隔離強度采取控制措施后的隔離強度 R(t):未被隔離的病人平均每人每天感染的人數未被隔離的病人平均每人每天感染的人數 .44問

5、題的分析問題的分析 把人群分為四類：正常人群、患病人群、治愈人類和死亡把人群分為四類：正常人群、患病人群、治愈人類和死亡人群，分別用人群，分別用H(t)、X(t)、R(t)和和D(t)表示。表示。 在在SARS爆發初期，由于整個社會對爆發初期，由于整個社會對SARS病毒傳播的速病毒傳播的速度和危害程度認識不夠，政府和公眾對之不予重視，沒有度和危害程度認識不夠，政府和公眾對之不予重視，沒有采取任何有效的隔離控制措施。當疫情蔓延到采取任何有效的隔離控制措施。當疫情蔓延到4月月20號，號，政府與社會開始采取強制措施，對政府與社會開始采取強制措施，對SARS進行預防和控制。進行預防和控制。 因此因此S

6、ARS的傳播規律可分為的傳播規律可分為“控前控前”和和“控后控后”兩個階兩個階段段 近乎自然的傳播模式控 制 后政府控制后的傳播模式控 制 前.5各類人的轉化關系各類人的轉化關系 控前模型為近似于自然傳播時的S-I-R模型，控后模型為介入隔離強度后的微分方程模型，兩個模型中各類人的轉化關系如圖 .65 模型的建立模型的建立控前控前現有病人數現有病人數 假設某地區產生第一例SARS病人的時間為T0，在（T0,T）時段，是近乎于自由傳播的時段，隔離強度為0，每個病人每天感染人數為一常數。 考察(t, t)時段內現有病人數的變化，應該等于t時間段新增的病人數減去死亡和治愈的人數。新增病人 現有病人死

7、亡和治愈病人.7 現有病人數的變化新增病人數(死亡人數治愈人數)。我們設r為每個未被隔離的病人每天感染的人數，L1和L2分別為治愈率和死亡率。則有 )()( )()( )()( t2211ttXLttXLtttXLttXLtttrXtrtX病人數治愈人數治愈率病人數死亡人數死亡率時間內感染人數每人在新增病人數病人數.8 于是有 當t0時， 累計死亡人數累計死亡人數 死亡累計人數的變化新增死亡人數 當t0時)()()()()()()()()()(2121tXLLtrXttXttXttXLLttrXtXttX)()()()(21tXLLtrXdttdX ttXLtDttD)()()(1)()(1t

8、XLdttdD.9 累計治愈人數累計治愈人數 治愈累計人數的變化新增治愈人數。 累計病人數累計病人數 累計病人數現有病人數累計死亡人數累計治愈人數 ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY.10SARS傳播的控前模型傳播的控前模型 初始值初始值)()()()()()()()()()()()(2121tRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtrXdttdX0) 0(0) 0(1) 0(1) 0(RDYX.11控后模型控后模型 控后隔離強度從控前的0變為 p。未被隔離的病人平均每人每天感染的人數r隨時間逐漸變化，它從初始的最大值a+

9、b逐漸減小至最小值a。設每個未被隔離的病人每天感染的人數 其中，用來反映r(t)的變化快慢，可以用附件中的數據估計出它的大小。 類似于控前模型的分析，我們來考慮在t到t+ t時段內各類人群的變化情況。)()(Ttbeatr.12 現有病人數現有病人數 現有病人數的變化新增病人數(死亡人數治愈人數)。與控前模型一樣，用和表示治愈率和死亡率。則有 )()( )()( )()()1 ()()()1 ( t2211ttXLttXLtttXLttXLtttXtrpttrtXp病人數治愈人數治愈率病人數死亡人數死亡率時間內感染人數每人在新增病人數病人數.13 于是有 當t0時， 累計死亡人數累計死亡人數

10、t時間內死亡累計人數的變化等于新增死亡人數。 當t0時 )()()()()1 ()()()()()()()1 ()()(2121tXLLtXtrpttXttXttXLLttXtrptXttX)()()()()1 ()(21tXLLtXtrpdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD.14 累計治愈人數累計治愈人數 治愈累計人數的變化新增治愈人數。 累計病人數累計病人數 累計病人數現有病人數累計死亡人數累計治愈人數 ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY.15SARS傳播的控后模型傳播的控后模型 初始值X(T)取控前模

11、型的最后一個值。 TttRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtXtrpdttdX,)()()()()()()()()()()()()1 ()(21216 . 0245. 0)(babeatrt.166.模型的求解：模型的求解： 6.1控前模型的求解控前模型的求解 對于現有病人數，我們可以根據對于現有病人數，我們可以根據SARS傳播的控前方程傳播的控前方程(5.8)，求得它的解析解為求得它的解析解為 (5.19)其中，其中， (5.20) 再將分別代入再將分別代入SARS傳播的控后方程傳播的控后方程(5.17)，就可以給出、，就可以給出、以及的數值解。再將分別代入以及的數值解。

12、再將分別代入SARS傳播的控后方程傳播的控后方程(5.17)，就，就可以給出、以及的數值解可以給出、以及的數值解 。1)0(0695.0053.055.021XLLrTeXtXtLLrt ,)0()()(21 .176.2控后模型的求解控后模型的求解同理，我們求得現有病人數得解析解同理，我們求得現有病人數得解析解 (5.21) 其中，其中， (5.22) 我們已經分析過，為一客觀參數。由于我們已經分析過，為一客觀參數。由于3月月5日第一例日第一例SARS進入我國，是我們記時的起點；進入我國，是我們記時的起點；4月月20日即為的情況。日即為的情況。 和和 為待估計的參數，現在來估計為待估計的參數

13、，現在來估計 和和 。 根據附件中的數據，將各時刻累計病人數減去累計治愈人數根據附件中的數據，將各時刻累計病人數減去累計治愈人數再減去死亡人數，可得到現有病人數，估計再減去死亡人數，可得到現有病人數，估計 和和 的值。估計的值。估計時我們按均方最小誤差原則，計算出其估計值分別為：時我們按均方最小誤差原則，計算出其估計值分別為： ， 。TteTXtXTtebPTtLLap,)()()1 ()1 ()()1()(21476.0245.0Tbapp%65P02. 0p.18 至此即至此即 為關于為關于 的一元確定函數。的一元確定函數。 我們根據以上求出的解，作出了現有病人數、累計死亡人數、累我們根據

14、以上求出的解，作出了現有病人數、累計死亡人數、累計治愈人數、累計病人數的曲線圖，如圖計治愈人數、累計病人數的曲線圖，如圖4所示。其中，打點的是所示。其中，打點的是實際公布數據。實際公布數據。 ) (tXt.19.20.21 圖圖4 理論值與實際值對照圖理論值與實際值對照圖 從圖從圖4中可以看出，方程的解與實際數據吻合的很好，說明我中可以看出，方程的解與實際數據吻合的很好，說明我們的參數和模型都是正確可靠的。們的參數和模型都是正確可靠的。.227模型檢驗與結果分析模型檢驗與結果分析 7.1 靈敏度分析靈敏度分析 根據我們所建的模型，衛生部門通常可以采取兩種方案對疫情根據我們所建的模型，衛生部門通

15、常可以采取兩種方案對疫情進行有效控制。一是改變控制時間點；二是改變控制強度。現在我進行有效控制。一是改變控制時間點；二是改變控制強度。現在我們分別考察他們對模型的影響們分別考察他們對模型的影響 。 隔離強度對的模型影響隔離強度對的模型影響 圖圖5 隔離強度對的模型影響隔離強度對的模型影響.23隔離強度隔離強度累計病人數累計病人數555569966996656528272827757513391339p 表表1 由圖由圖5和表和表1可以看出：可以看出： 隔離強度隔離強度75%與隔離強度與隔離強度65%相比，可使發病總人數減小相比，可使發病總人數減小1500人左右。人左右。 隔離強度隔離強度65%

16、與隔離強度與隔離強度55%相比，可使發病總人數減小相比，可使發病總人數減小4000人左右。人左右。 說明隔離強度，對疫情的傳播具有極大的敏感度和相關性。說明隔離強度，對疫情的傳播具有極大的敏感度和相關性。 .24控制時間對的模型影響控制時間對的模型影響 .25圖圖6 控制時間對的模型影響控制時間對的模型影響.26 表表2控制時間累計病人數累計病人數延后延后5 5天天53825382延后延后4 4天天47294729延后2天373337334月20日28792879提前2天2764提前提前4 4天天1576提前提前5 5天天1621T 由圖由圖6和表和表2可以看出：控制時間的提前或延后，對累計病

17、人可以看出：控制時間的提前或延后，對累計病人影響顯著。影響顯著。 說明控制時間說明控制時間T，對疫情的傳播具有極大的敏感度和相關性。，對疫情的傳播具有極大的敏感度和相關性。.277.2 收斂性討論收斂性討論收斂的判別標準為當收斂的判別標準為當 時，各類人群數是否收斂。針對該時，各類人群數是否收斂。針對該模型，我們要判別控后模型方程組解的收斂性，模型，我們要判別控后模型方程組解的收斂性，X(t)的取值至的取值至關重要關重要,D(t)、R(t)以及以及Y(t)的收斂性都直接依賴于的收斂性都直接依賴于X(t)是否收斂是否收斂到到0。將控后模型中將控后模型中X(t)的解析解取極限得的解析解取極限得 :

18、tbPTtLLaptteTXtX)1 ()()1(21lim)()(lim(5.23)t該試為該試為t t的指數函數，其收斂性取決于自變量的系數。的指數函數，其收斂性取決于自變量的系數。當時當時 ， ，模型收斂，疫情能夠得到，模型收斂，疫情能夠得到控制。控制。 當當 ， ，模型發散，疫情難以控，模型發散，疫情難以控制。制。0)1 (21LLap0)(limtXt0)1 (21LLap0)(limtXt分析發現，模型收斂得條件為分析發現，模型收斂得條件為 :.28aLLp211(5.24) 其中，其中，245. 0a0.053 L 10695. 02L所以，要使疫情得到控制，必須使隔離強度所以，

19、要使疫情得到控制，必須使隔離強度 。%50p7.3 計算機模擬檢驗計算機模擬檢驗 為了檢驗模型求解結果的正確性，我們進行了仿真模擬。模為了檢驗模型求解結果的正確性，我們進行了仿真模擬。模擬結果如圖擬結果如圖7所示。所示。.29圖圖7 計算機模擬圖計算機模擬圖從以上曲線可以看出：計算機模擬結果與模型計算結果有著良從以上曲線可以看出：計算機模擬結果與模型計算結果有著良好的一致性。本模型是可以信賴的好的一致性。本模型是可以信賴的SARS傳播模型。傳播模型。 .308 模型的評價模型的評價8.1 模型的優點模型的優點 本文中所建立的是一個連續的微分方程模型，它從機理上準本文中所建立的是一個連續的微分方

20、程模型，它從機理上準確地描述了每一時刻的現有病人、治愈者、死亡者的變化規律，確地描述了每一時刻的現有病人、治愈者、死亡者的變化規律，消除了離散模型在處理非整數天數時的困難，機理合理、方法消除了離散模型在處理非整數天數時的困難，機理合理、方法直觀、實用，結果與實際數據擬合的很好。直觀、實用，結果與實際數據擬合的很好。 該模型根據附錄給出的數據設置變量，各變量之間相互影該模型根據附錄給出的數據設置變量，各變量之間相互影響，關系明確；同時設定的參數合情合理，意義明確，消除了響，關系明確；同時設定的參數合情合理，意義明確，消除了人為因素對模型結果的影響。人為因素對模型結果的影響。 建立的微分方程穩定性

21、較好，給出了模型的收斂性條件，即建立的微分方程穩定性較好，給出了模型的收斂性條件，即隔離強度達到多少才能控制疫情，對政府的決策有指導意義。隔離強度達到多少才能控制疫情，對政府的決策有指導意義。 該模型針對不同隔離強度進行分段研究，能夠方便有效的預該模型針對不同隔離強度進行分段研究，能夠方便有效的預測疫情趨勢。欲對某疫區進行預測，只需對參數進行估計，給測疫情趨勢。欲對某疫區進行預測，只需對參數進行估計，給出初值帶入方程即可。出初值帶入方程即可。.318.2 模型的缺點模型的缺點 為了簡化模型的復雜性，我們設定隔離強度，治愈為了簡化模型的復雜性，我們設定隔離強度，治愈率、死亡率等參數在一定階段不發

22、生變化，而實際情況率、死亡率等參數在一定階段不發生變化，而實際情況下，隨著感染人數的減少，其會發生變化，還需要針對下，隨著感染人數的減少，其會發生變化，還需要針對具體情況做具體分析。具體情況做具體分析。 模型給出的把人群的每一個個體、每一個地區視為模型給出的把人群的每一個個體、每一個地區視為相同的，忽略了性別、年齡結構以及地區差異對隔離措相同的，忽略了性別、年齡結構以及地區差異對隔離措施強度、控制時間等參數的影響等，而事實上，個體免施強度、控制時間等參數的影響等，而事實上，個體免疫力與個體年齡因素有關的，同時不同地域對疫情的趨疫力與個體年齡因素有關的，同時不同地域對疫情的趨勢也有影響，有待改進

23、。勢也有影響，有待改進。 我們忽略了人口流動給該地區傳染病帶來的影響，我們忽略了人口流動給該地區傳染病帶來的影響，而實際上而實際上SARS的傳染源多為輸入性病人。如果考慮人的傳染源多為輸入性病人。如果考慮人口流動，模型要加以改進。口流動，模型要加以改進。.329 問題的推廣與應用問題的推廣與應用 傳染病對人類的威脅與禍害由來已久，自從人類傳染病對人類的威脅與禍害由來已久，自從人類開始向文明社會邁進，病毒就已不斷的襲擊人類。當開始向文明社會邁進，病毒就已不斷的襲擊人類。當某種傳染傳染病病菌首次侵入缺乏患病經驗的種群時，某種傳染傳染病病菌首次侵入缺乏患病經驗的種群時，往往會爆發大規模的傳入病，造成

24、嚴重后果。雖然隨往往會爆發大規模的傳入病，造成嚴重后果。雖然隨著人類的醫學研究的發展與突破，已經能夠有效的防著人類的醫學研究的發展與突破，已經能夠有效的防治和控制許多傳染病，但是由于病毒的遺傳與變異，治和控制許多傳染病，但是由于病毒的遺傳與變異，可能會出現新的突發性傳染病。可能會出現新的突發性傳染病。 .33 如如2003年年SARS這一突發疫情襲擊了世界上這一突發疫情襲擊了世界上20多多個國家和地區，我國首當其沖。雖然早期的臨床經驗個國家和地區，我國首當其沖。雖然早期的臨床經驗對之有初步的認識，但對它的危害、傳染性都沒有完對之有初步的認識，但對它的危害、傳染性都沒有完全認清，它的傳播途徑、傳

25、染性等都需要進一步研究。全認清，它的傳播途徑、傳染性等都需要進一步研究。同時突發疾病的不確定性嚴重影響了使我國經濟的發同時突發疾病的不確定性嚴重影響了使我國經濟的發展和人們生活、學習和工作各方面，更重要得是展和人們生活、學習和工作各方面，更重要得是SARS帶來的恐慌和政府為了預防傳播擴散采取的措帶來的恐慌和政府為了預防傳播擴散采取的措施改變了原有社會的消費、投資、生產等行為模式，施改變了原有社會的消費、投資、生產等行為模式，對國民經濟各方面如旅游、社會總需求、進出口貿易對國民經濟各方面如旅游、社會總需求、進出口貿易等造成的直接損失總額達到等造成的直接損失總額達到2100億元，加上間接影響億元，

26、加上間接影響遠遠不止遠遠不止2100億元。億元。.34 大面積、大規模突發性傳染病具有蔓延迅速、來勢兇猛、大面積、大規模突發性傳染病具有蔓延迅速、來勢兇猛、難以預防與治療的特點。難以預防與治療的特點。 傳染病流行過程的研究與其它學科傳染病流行過程的研究與其它學科有所不同，不能通過在人群中進行科學試驗的方式獲得科學準有所不同，不能通過在人群中進行科學試驗的方式獲得科學準確的數據。在人群中作傳染病試驗，來取得傳染病流行的數據確的數據。在人群中作傳染病試驗，來取得傳染病流行的數據的作法是極不人道也是不可行的。數學模型是研究傳染病的重的作法是極不人道也是不可行的。數學模型是研究傳染病的重要工具它有助于

27、研究影響疾病傳播的社會和生物機理的相互作要工具它有助于研究影響疾病傳播的社會和生物機理的相互作用，能使我們判斷流行病傳播過程各種因素的相互作用；能夠用，能使我們判斷流行病傳播過程各種因素的相互作用；能夠幫助政府、醫學界和科學界提供治療和控制措施由于上述原因，幫助政府、醫學界和科學界提供治療和控制措施由于上述原因，我們通常主要依據機理的方法來建力數學模型。我們通常主要依據機理的方法來建力數學模型。 我們可以通過收集分析從已有的傳染病觀測資料中獲取我們可以通過收集分析從已有的傳染病觀測資料中獲取的相關數據、資料，找出其變化和傳播的規律，建立數學模型。的相關數據、資料，找出其變化和傳播的規律，建立數

28、學模型。由公布的歷史數據，確定模型中的固定參數，再通過改變可控由公布的歷史數據，確定模型中的固定參數，再通過改變可控參數：隔離措施強度和控制時間來改變患者的增長趨勢，從而參數：隔離措施強度和控制時間來改變患者的增長趨勢，從而為有效的控制疫情具有指導作用。為有效的控制疫情具有指導作用。.35 本文建立的本文建立的SARS模型根據現有的數據資料設模型根據現有的數據資料設置變量，通過分析各類人群在傳播過程中的流量平衡，置變量，通過分析各類人群在傳播過程中的流量平衡，建立各類人群的微分方程。并通過數據擬合得到影響建立各類人群的微分方程。并通過數據擬合得到影響傳染病傳播的固定參數，使得患病人數的計算值與實傳染病傳播的固定參數，使得患病人數的計算值與實際的統計值基本吻合。同時調整可控參數，使之達到際的統計值基本吻合。同時調整可控參數，使之達到一定水平就能使疫情得到控制。并用此可控參數未來一定水平就能使疫情得到控制。并用