1、第十一章第十一章 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間對(duì)應(yīng)總體的某一個(gè)樣本觀測值，我們可以得到點(diǎn)估計(jì)量對(duì)應(yīng)總體的某一個(gè)樣本觀測值，我們可以得到點(diǎn)估計(jì)量的一個(gè)觀測值，但是它僅僅是參數(shù)的一個(gè)觀測值，但是它僅僅是參數(shù)的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值. .由于由于 是一個(gè)隨機(jī)變量，它會(huì)隨著樣本的抽取而隨機(jī)變是一個(gè)隨機(jī)變量，它會(huì)隨著樣本的抽取而隨機(jī)變化，不會(huì)總是和化，不會(huì)總是和相等，而存在著或大、或小，或正、或負(fù)相等，而存在著或大、或小，或正、或負(fù)的誤差的誤差. .即使點(diǎn)估計(jì)量具備了很好的性質(zhì)，但是它本身無法即使點(diǎn)估計(jì)量具備了很好的性質(zhì)，但是它本

2、身無法反映這種近似的準(zhǔn)確度，且無法給出誤差的范圍反映這種近似的準(zhǔn)確度，且無法給出誤差的范圍. .為了彌補(bǔ)這些缺乏，我們希望估計(jì)出一個(gè)范圍，并知道為了彌補(bǔ)這些缺乏，我們希望估計(jì)出一個(gè)范圍，并知道該范圍包含真實(shí)值的可靠程度該范圍包含真實(shí)值的可靠程度. .這樣的范圍通常以區(qū)間的方這樣的范圍通常以區(qū)間的方式給出，同時(shí)還要給出該區(qū)間包含參數(shù)式給出，同時(shí)還要給出該區(qū)間包含參數(shù)真實(shí)值的可靠程度真實(shí)值的可靠程度. .這種方式的估計(jì)稱之為區(qū)間估計(jì)這種方式的估計(jì)稱之為區(qū)間估計(jì). .第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間例例 對(duì)明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計(jì)為對(duì)明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計(jì)為: :假設(shè)設(shè)X表示明年小麥畝產(chǎn)量,那么估計(jì)

3、結(jié)果為P(800X1000)=80%明年小麥畝產(chǎn)量八成為明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000800-1000斤斤. .區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間例例1 1某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(X(單位單位) )服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(,2),N(,2),今隨機(jī)抽取今隨機(jī)抽取100100畝進(jìn)展實(shí)驗(yàn)畝進(jìn)展實(shí)驗(yàn), ,察看其畝產(chǎn)量值察看其畝產(chǎn)量值x1,x2,x100,x1,x2,x100,基此算出基此算出 , ,因此因此的點(diǎn)估計(jì)值為的點(diǎn)估計(jì)值為500.500.由于抽由于抽 )(500 kgx 樣的隨機(jī)性樣的隨機(jī)性, , 的真值與的真值與 的值總有誤差的值總有誤差, ,我們

4、希望以我們希望以x95%95%的可靠度估計(jì)的可靠度估計(jì) 與與的最大誤差是多少的最大誤差是多少? ?x由于由于, ,),(2nNx從而存在從而存在c0,c0,使得使得, ,95.0)|(| cXP因此因此, , 這個(gè)這個(gè)c c就是可允許的最大誤差就是可允許的最大誤差第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間定義定義 設(shè)設(shè)X1,X2,XnX1,X2,Xn是來自總體是來自總體f(x,f(x,) )的樣本的樣本, , 未未知知, ,對(duì)于任給對(duì)于任給0 0 1),1),假設(shè)有統(tǒng)計(jì)量假設(shè)有統(tǒng)計(jì)量 那么稱隨機(jī)區(qū)間那么稱隨機(jī)區(qū)間 為為的雙側(cè)的雙側(cè)1 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間,1,1為置為置信程度信程度, ,),.,(21n

5、XXX 1P,限。的置信上限和置信下分別稱為置信度為1和, ),.,(21nXXX 使得使得 幾點(diǎn)闡明幾點(diǎn)闡明 1、參數(shù)、參數(shù)的置信程度為的置信程度為1-的置信區(qū)間的置信區(qū)間 1， 2 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有1001-%的能夠性包含總體參的能夠性包含總體參 數(shù)數(shù)的真值。的真值。2、不同的置信程度，參數(shù)、不同的置信程度，參數(shù)的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 3、置信區(qū)間越小，估計(jì)越準(zhǔn)確，但置信程度會(huì)降低；、置信區(qū)間越小，估計(jì)越準(zhǔn)確，但置信程度會(huì)降低； 相反，置信程度越大，估計(jì)越可靠，但準(zhǔn)確度會(huì)降相反，置信程度越大，估計(jì)越可靠，但準(zhǔn)確度會(huì)降 低，置信區(qū)間會(huì)較長。普通：對(duì)于固定的樣本容量，低，置信

6、區(qū)間會(huì)較長。普通：對(duì)于固定的樣本容量， 不能同時(shí)做到準(zhǔn)確度高置信區(qū)間小，可靠程度也不能同時(shí)做到準(zhǔn)確度高置信區(qū)間小，可靠程度也 高高1- 大。假設(shè)不降低可靠性，而要減少估計(jì)范大。假設(shè)不降低可靠性，而要減少估計(jì)范 圍，那么必需增大樣本容量，添加抽樣本錢。圍，那么必需增大樣本容量，添加抽樣本錢。第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間 對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度, ,怎樣根據(jù)樣本來確定未知參數(shù)怎樣根據(jù)樣本來確定未知參數(shù)的置的置信區(qū)間信區(qū)間, ,就是參數(shù)就是參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題的區(qū)間估計(jì)問題. .求未知參數(shù)求未知參數(shù)的置信區(qū)的置信區(qū)間的普通方法：間的普通方法：以例以例1為例，為

7、例，的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì) (也是極大似然估計(jì)也是極大似然估計(jì))有分有分布布XnNX2,1 , 0,NXnXGdef196. 1,XGP2nXXG96. 1, c, cc 96. 1,96. 1XXnXnXP 置置信信區(qū)區(qū)間間 值值對(duì)于給定對(duì)于給定=0.05=0.05，可經(jīng)過查正態(tài)分布表得：，可經(jīng)過查正態(tài)分布表得：由隨機(jī)事件的等價(jià)性由隨機(jī)事件的等價(jià)性樞軸變量法樞軸變量法稱為樞軸函數(shù)，它有以下兩個(gè)特點(diǎn)：稱為樞軸函數(shù)，它有以下兩個(gè)特點(diǎn)：,XG1.1.樞軸函數(shù)除含有關(guān)懷的未知參數(shù)樞軸函數(shù)除含有關(guān)懷的未知參數(shù)外，不再有外，不再有 其他未知參數(shù)；其他未知參數(shù)；2.2.樞軸函數(shù)的分布式完全知的或完全可以確定。樞

8、軸函數(shù)的分布式完全知的或完全可以確定。第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間第一節(jié)第一節(jié) 置信區(qū)間置信區(qū)間這時(shí)必有這時(shí)必有 1),(),(2121nnXXXXXXP例例1 1某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(X(單位單位) )服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(,2),N(,2),今隨機(jī)抽取今隨機(jī)抽取100100畝進(jìn)展實(shí)驗(yàn)畝進(jìn)展實(shí)驗(yàn), ,察看其畝產(chǎn)量值察看其畝產(chǎn)量值x1,x2,x100,x1,x2,x100,基此算出基此算出 , ,因此因此的點(diǎn)估計(jì)值為的點(diǎn)估計(jì)值為500.500.由于抽由于抽 )(500 kgx 樣的隨機(jī)性樣的隨機(jī)性, , 的真值與的真值與 的值總有誤差的值總有誤差, ,我們希望以我

9、們希望以x95%95%的可靠度估計(jì)的可靠度估計(jì) 與與的最大誤差是多少的最大誤差是多少? ?x由于由于, ,),(2nNx因此因此, ,就是就是c c值，值，解解此處此處, n=100, n=100,因此因此)1 ,0()(),(NXnXGdef nXXG96.1|96.1),( 05.095.01 1)96.1,96.1(nXnXPn96.1置信區(qū)間置信區(qū)間,cXcX 對(duì)于給定的對(duì)于給定的第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體N(,2)N(,2)的情形的情形一、均值估計(jì)均值一、均值估計(jì)均值的置信區(qū)間的置信區(qū)間1. 21. 2知時(shí)知時(shí)X1,X2,XnX1,

10、X2,Xn為取自為取自N(,2)N(,2)的樣本的樣本, ,求求的的1-1-置信區(qū)間置信區(qū)間的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，是X)1 , 0()(NXnU ,是樞軸函數(shù)因此 U時(shí)當(dāng)2/1-uk 1)|(|kUPnkX,nk-X | 等價(jià)于kU nkX,n-kX -1置信區(qū)間為：的第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體N(,2)N(,2)的情形的情形2. 22. 2未知時(shí)未知時(shí)的估計(jì)作用*S)1()(* ntSXnT,得到樞軸函數(shù)為),1(2/1 ntk-取 1)|(|kTPnSkX,nS-kX -1*置信區(qū)間為：的0t1220t 第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體

11、下的置信區(qū)間720. 6 x單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體N(,2)N(,2)的情形的情形未知，此處) 1() 1( *975. 0*975. 0nSntX,nSn-tX 例例為估計(jì)一批鋼索所能接受的平均張力單位：為估計(jì)一批鋼索所能接受的平均張力單位：kg/cm2kg/cm2 ，從中隨機(jī)抽取從中隨機(jī)抽取1010個(gè)樣品作實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)算出個(gè)樣品作實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)算出 ， 假定張力服從正態(tài)分布，求平均張力的置信程度假定張力服從正態(tài)分布，求平均張力的置信程度為為95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解 的置信區(qū)間為：的平均張力%95代入數(shù)據(jù),6720 x,220* S,10 n262229750.t.

12、 查表觀察值是平均張力的置信區(qū)間的6877.6815，6562.6185,220* S第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體N(,2)N(,2)的情形的情形二、方差的估計(jì)方差二、方差的估計(jì)方差22的置信區(qū)間的置信區(qū)間1. 1. 知時(shí)知時(shí)X1,X2,XnX1,X2,Xn為取自為取自N(,2)N(,2)的樣本的樣本, ,求求22的的1-1-置信區(qū)間置信區(qū)間的點(diǎn)估計(jì)，且是2122)(1 niiXn)(2222nn ,2是樞軸函數(shù)因此使得容易找到b,a 1)(2baP(n)(n),ba22122 一般取an,bn -1222置信區(qū)間為：的此時(shí)對(duì)應(yīng)的第二節(jié)第二節(jié)

13、正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體N(,2)N(,2)的情形的情形1. 1. 未知時(shí)未知時(shí)，代替用X22nS ,可得樞軸變量為11 22222122)(nnS,)(nnS -1置信區(qū)間為：的22212122由基本抽樣定理，)1(22 n第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)N(1,12), N(2,22)的情形的情形設(shè)設(shè)X1,X2,XmX1,X2,Xm為取自為取自N(1,12)N(1,12)的樣本的樣本, Y1,Y2,Yn, Y1,Y2,Yn為取自為取自N(2,22)N(2,22)的樣本的樣本

14、, ,且且X1,X2,XmX1,X2,Xm，與，與Y1,Y2,YnY1,Y2,Yn相互獨(dú)立，求二總體均值差相互獨(dú)立，求二總體均值差1- 21- 2的的1-1-置信區(qū)間置信區(qū)間第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間的點(diǎn)估計(jì)，且由是21 YX兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)N(1,12), N(2,22)的情形的情形1- 2 1- 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1. 12, 221. 12, 22知時(shí)知時(shí)),(222121nmNYX 可導(dǎo)出樞軸函數(shù)為，有取2/1-uk 1)|(|kUPnmYX,nmYX 222121222121,)(222121nmYXU mii

15、miiYnYXmX111,1 此處，），（顯然，10 NU 置信區(qū)間為：的 -121 第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間,)()(2121212 njimiiwYYXXnmS 記，兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)N(1,12), N(2,22)的情形的情形2. 12=22=22. 12=22=2未知時(shí)未知時(shí)令nmkSYX,nmkSYX 2221w2221w,nmS)(YXTw222121 )2( nmtT 置信區(qū)間為：的 -121 )n(mtk-22/1 其中第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12)

16、, N(2,22)N(1,12), N(2,22)的情形的情形5367. 0357. 05245. 08131 wS例例 甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，今在機(jī)床甲加工的零甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，今在機(jī)床甲加工的零件中隨機(jī)抽取件中隨機(jī)抽取9 9件，在乙加工的零件中隨機(jī)抽取件，在乙加工的零件中隨機(jī)抽取6 6件，分件，分別丈量零件的長度單位：別丈量零件的長度單位：mmmm，由測得的數(shù)據(jù)可算出，由測得的數(shù)據(jù)可算出,0648. 2 x,0594. 2 y,245. 02*1 S.257. 02*2 S假定零件長度服從正態(tài)分布，試求兩臺(tái)機(jī)床加工零件長假定零件長度服從正態(tài)分布，試求兩臺(tái)機(jī)床加工零件長度

17、的均值差度的均值差1-21-2的程度為的程度為95%95%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解解令令n1=9,n1=9,n2=6n2=661911604. 2)13(975. 0 tk程度為程度為95%95%的的1-21-2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為-0.6056-0.6056，0.61640.6164例例1 1 某工廠消費(fèi)一批滾珠某工廠消費(fèi)一批滾珠, , 其直徑其直徑 X X 服從正態(tài)服從正態(tài)解解 (1) (1)6/06. 0,(NX)01. 0 ,(N即即)1 , 0(1 . 0NX96. 1975. 012 uu分布分布 N( N( 2), 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽 (1) (1) 假設(shè)假設(shè) 2=0.06, 2=0.06, 求求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 (2) (2) 假設(shè)假設(shè) 2 2未知未知, ,求求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 (3) (3) 求方差求方差 2 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .取取 6 6 件件, , 測得直徑為測得直徑為15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.115.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信程度置信程度均為均為0.950.95 的置信區(qū)間為)61 . 096.