1、精選優質文檔-傾情為你奉上摘要：本文對數學極限思想在解題中的應用進行了詮釋，詳細介紹了數學極限思想在幾類數學問題中的應用，如在數列中的應用、在立體幾何中的應用、在函數中的應用、在三角函數中的應用、在不等式中的應用和在平面幾何中的應用，并在例題中比較了數學極限思想與一般解法在解題中的不同。靈活地運用極限思想解題，可以避開抽象、復雜的運算，優化解題過程、降低解題難度。極限思想有利于培養學生從運動、變化的觀點看待并解決問題。關鍵詞：極限思想，應用Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems

2、 is explained. Whats more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are

3、introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solvi

4、ng problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application 目 錄 1 緒 論極限思想是近代數學的一種重要思想，數學分析中的一系列重要概念如函數的連續性、導數以及定積分等等都是借助極限來定義的。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一

5、個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結果。隨著高中課程的改革，高考中將加強對極限思想的考查，通過一些創新題，讓學生感受其中蘊含的極限思想。在解決數學問題的過程中，有些題目雖然和極限無關，但若運用變化的觀點，靈活地用極限思想來思考，往往可以降低解題難度。本文就數學極限思想在解決幾類數學問題的應用進行了探究，用無限逼近的方式從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變。1.1研究意義極限思想作為一種重要思想，在整個數學發展史上占有重要地位。極限思想在現代數學乃至物理學中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與

6、常量、無限與有限的對立統一關系。用極限思想解決問題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡，拓寬考慮問題的思路，為數學問題的順利解決提供較大的幫助。1.2 國內外研究現狀由于數學中的極限思想對學生數學思維方法培養的重要性，因此數學極限思想的相關問題一直受到國內外眾多學者的關注。如為了引起廣大師生對極限思想廣泛關注和高度重視，茍玉德和董玉武在2006年給出了滲透極限思想，優化解題過程，說明了利用極限思想，把問題放置于極限狀態，能提高解題能力；2007年劉明遠給出了極限思想在解題中的應用，通過列舉極限在函數、三角函數、數列、不等式和解析幾何中的應用說明極限思想對于優化解題過程，降低解題難度的重要作用；孫

7、道斌于2007年發表了利用極限思想巧解立幾問題，列舉了極限思想在解決一些立體幾何選擇題的范例；2005年黃加衛給出了極限思想在數列中的幾個“閃光點”,認為極限是微積分中最基本、最主要的概念，同時列舉了極限思想在解決等比數列問題和數列證明中的幾個范例；2007年徐素琳給出了極限思想的妙用，認為極限思想即運用“化整為零，又積零為整”的思想在圖形面積、周長、體積和函數等方面有重要作用； 2007年牛保華給出了極限思想在解題中的應用，分析了極限思想在解題時簡化運算過程、優化解題方案、探索解題思路的作用。 1.3 本文解決的主要問題本文主要對數學極限思想在數列中、在立體幾何中、在函數中、在三角函數中、在

8、不等式中和在平面幾何圖中的應用進行分析，然后具體比較了數學極限思想和一般解法在解決一道數學題的不同，進而反映了極限思想的優勢。2 數學極限思想的在解題中應用2.1 數學極限思想在數列中的應用2.1.1 利用極限思想處理無窮等比數列例1：（1）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數；（2）已知數列 、是公比不相等的兩個等比數列，證明: 數列不是等比數列。解：（1）設 的公比為，則有： 對上式兩端取極限，當時，；當時，此時，即整理得，即，得故常數 或。（2） 假設數列是等比數列，設、 的公比分別為， ，兩邊取極限：若，此時左邊極限為，右邊極限不存在，矛盾；若，不妨設,則此時表明數列 的公比，這與

9、題設矛盾。故假設不成立，即數列 不是等比數列。注1:極限分析法是處理無窮等比數列的一個有效方法，設數列是公比為的無窮等比數列, 將兩邊取極限, 得，說明等比數列中的的極限存在, 且就是公比。2.1.2利用極限思想簡化運算過程，優化解題方案例2：已知數列中，且對于任意自然數，總有, 是否存在實數、, 使得 對于任意自然數恒成立? 若存在，給出證明；若不存在，說明理由。分析：解此題的一般思路是，按照“從一般到特殊, 再從特殊到一般”的思維原則。 先從具體、特定的實例入手, 從中探測出問題的結論, 再經過嚴格的論證, 但這樣解題過程比較復雜，不如用極限思想優越，因為本題有它的特殊性，可利用極限考慮。

10、解：如果這樣的，存在的話, 則由 可得，對兩邊取極限, 得，解得或若, 則數列應該是以1為首項, 以為公比的等比數列。顯然不可能對任意的正整數都滿足若，將代入 ,可求得, 此時, 驗證即得出矛盾。所以, 這樣的實數和 不存在。注2:靈活地運用極限思想解題, 常可避開抽象、復雜的運算, 優化解題過程, 降低解題難度，這是減少運算量的一條重要途徑。2.2 數學極限思想在函數中的應用2.2.1利用極限思想確定函數圖像例3：函數的圖像是（ ） (A) (B) (C) (D)分析 當,且時，故選（B）2.2.2利用極限思想確定函數定義域例4：從盛滿純酒精的容器中倒出，然后用純水填滿，再倒出混合液后又用水

11、填滿，這樣繼續下去。設倒完第次時前后一共倒出純酒精，倒完第次時前后一共倒出純酒精，求函數的表達式。分析：混合溶液問題是我們經常遇到的應用題，根據混合前后濃度的變化即可寫出其函數表達式.由操作的重復性知，操作的次數越多，溶液的濃度越小，但是不可能是濃度為零，故。解：根據題意，第次倒出的混合液中純酒精的體積分數為,下面確定定義域,由于第一次就倒出純酒精，故；又經過有限次(無論n有多大)操作，總不可能將全部的純酒精倒出，只能無限趨近于，即，故定義域為。2.2.3利用極限思想求未知變量的取值范圍例5： 已知有向線段的起點和終點的坐標分別是和,若直線與線段的延長線相交,求的取值范圍。圖一解：若,則直線與

12、線段相交,不合題意，故,此時的方程為如圖 易知直線恒過定點,不妨先考慮直線的極限情形:由于直線必須與有向線段的延長線相交,的斜率必須小于，兩點所在直線的斜率；當離開的位置繞點順時針旋轉時, 與的延長線的交點逐漸遠離點,當交點與的距離趨向無窮大時, 逐漸趨向 ,這時的斜率趨向的斜率，故應夾在與之間,則，即 ，故為所求。2.3數學極限思想在三角函數中的應用2.3.1通過求極端位置求三角函數的取值范圍例6：已知長方形的四個頂點,和，一質點從的中點沿與夾角為的方向射到上的點后，依次反射到,和上的點 ，和（入射角等于反射角），設坐標為,若,則的取值范圍是圖二 分析：本題可以充分利用幾何關系通過“極端位置

13、”找出的取值范圍，根據極限的觀點，令，不妨 令與重合，依據入射角等于反射角，即知，均為各邊中點，此時，而四個選項中僅有選項與此數據有關，故選注3：將精算與估算相結合， 是一種重要的數學能力。運用極限的思想，化繁為簡，為解題提供思路。此類數學試題給高中數學教學變革教與學的方向以啟示，注重多元聯系表示，拓寬思維，提高思維質量。2.3.2通過假設極端狀態推出角的取值范圍例7：若，則 分析：本題中角顯然不是熟知的特珠角，如果我們將方程的兩邊看作是兩個連續的函數的話，利用極限思想，借助函數的大小關系即可得出答案。解 當時，此時有 當時，此時有 當時，此時有 當時，此時有 因此，由和兩式值的特點和；兩式在

14、區間上連續可得 ，故答案為C注4：由本例可見，在解決有關三角函數中的范圍問題時，因為答案都是不等關系，所以可應用極限思想來確定正確選項。2.4數學極限思想在不等式中的應用2.4.1通過假設變量的極限求得答案例8：已知，則有（ ）(A) (B) (C) (D) 分析：當時，由題意，此時，故可排除和,當時，由題意，此時，又，則，故可排除，從而選2.4.2利用極限思想解決不等式證明題例9：已知，求證分析：本題屬于不等式證明，可用作差比較法、三角換元法，分析法等，但用極限思想尤為簡單 ， 當且僅當時，等號成立，故原不等式成立。2.4.3應用極限思想并結合排除法解決不等式解集問題 例10：不等式組 的解

15、集是（ ） A B C D 分析：此不等式組中關健是解絕對值不等式，但是過程相當復雜，如果應用極限思想并結合排除法，此題便可輕松獲解。解：當時，顯然原絕對值不等式不成立，故排除選項當時，顯然故排除選項而當時，顯然原絕對值不等式不成立，故又排除選項。故正確選項為。2.5數學極限思想在平面幾何圖形中的應用2.5.1利用極限思想求某些平面圖形陰影部分面積例11 求拋物線與直線及軸圍城的陰影部分面積圖三解：在軸上將線段等分為份，每份長度為，以每份線段為底，以此線段端點坐標對應拋物線的值為高分別作個矩形，由此可見，這個矩形的面積之和近似等于圖中陰影部分面，當時，2.5.2利用極限思想解決圓錐圖形的問題例

16、12：已知拋物線，試問：在軸正方向上是否必存在一點，使得對于拋物線上任意一點過 的弦均有為定值。 圖四分析：假設符合條件的點存在，考慮過點的一條特殊的弦（垂直與軸的弦的情形），設、,則但是僅憑此式還是看不出點的位置，再考慮過點的弦的極限情形一弦與的正半軸重合，此時過點的弦的一個端點是原點，另一個端點，則可看成是一個在無窮遠的點，即,則，于是，解得。于是可猜得頂點下面證明過點的任意一條弦均有為定值。設過點M的直線方程為代入拋物線方程得設方程的兩根為、，它們的幾何意義分別為、的長，則，故點是符合條件的點。2.6 數學極限思想在立體幾何中的應用2.6.1數學極限思想在解決求立體圖形體積中的應用例13

17、：如圖，直三棱柱的體積為，、分別是側棱 、上的點，且，則四棱錐的體積為( )圖五（A). (B) （C） (D) 解：由于上、下底三角形形狀未定，、可移動，直接找與之間的關系不太方便，在此可考慮、的極端位置:令、 , 則有，故選()。2.6.2利用極限思想探索立體圖形的等量關系例14：一個正四棱臺上、下底面邊長分別為a、b，高為h，且側面積等于兩底面積之和，則下列關系中正確的是( )。（A） (B) (C) (D) 解析考慮極限情況:令，則由側面積等于兩底面積之和得，即對照選項可知(A)符合，故選(A)。2.6.3利用極限思想解決探索動點軌跡例15：如圖，正方體，且點在側面及邊界上運動，且總保

18、持,則動點的軌跡是（ ）圖六 (A)線段 (B)線段 (C) 中點與中點連成的線段(D) 中點與中點連成的線段解：直接求符合條件的點的軌跡不容易，因此，可以考察各選擇支點的極端位置。點運動到線段的端點 (即點與端點重合)時，易證；當點運動到線段的端點時，也易證。而選擇支、中，當點運動到各線段的端點時都不滿足。故選(A)。3對一道數學題探索解題思路例16：求離心率，過點且與直線相切于點，長軸平行于軸的橢圓方程。分析：一般解法是設橢圓中心為，可得橢圓方程，并列出過已知點的切線方程，聯立消參可求橢圓 。解：設橢圓中心為，由離心率，可得又由長軸平行于軸，可設橢圓方程為聯立方程只有唯一解，且此解為又橢圓

19、過點代入 可求得橢圓方程為探索思考：計算過程中，明顯發現這種解法運算過程繁瑣。如果把“點橢圓”看作橢圓的退化情況，考慮極端元素，則可簡化運算過程。解：把點 看作離心率 的橢圓系 的極限狀態（“點橢圓”），則與直線相切于該點的橢圓系即為過直線與“點橢圓”的公共點的橢圓系，其方程為 又由于所求的橢圓過點，代入上式，得。因此，所求橢圓方程為結 論 數學極限思想因為本身能夠化繁為簡，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。極限思想可以用在我們高中數學的每一個角落。在解題過程中，它能化無限為有限，節省大量運算，提高解題速度和準確性。靈活巧妙、正確的運用數學極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識，從而加深知識的理解和掌握。 能否熟練地應用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使復雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是關鍵，而極限思想的靈活運用就成為減少運算量的一條重要途徑。當然數學極限思想并不是任何情況都可以用，在解決具體問題時，需要具體問題具體分析。