1、10 10 動能定理動能定理10.1 10.1 力的功力的功10.2 10.2 質點和質點系的動能質點和質點系的動能10.3 10.3 動能定理動能定理10.4 10.4 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率 10.5 10.5 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例10.1 10.1 力的功力的功10.1.1 10.1.1 常力在直線運動中的功常力在直線運動中的功 sFWcos功是代數量，在國際單位制中，功的單位為功是代數量，在國際單位制中，功的單位為 J（焦耳）。（焦耳）。上式也可以寫成上式也可以寫成sF

2、W 力在全路程上作的功等力在全路程上作的功等于元功之和于元功之和：sFWdcos sFWsdcos0rFdW11dMMWrFkjiFzyxFFFkjirzyxdddd21)ddd(12MMzyxzFyFxFW上兩式也可寫成以下矢量點乘形式上兩式也可寫成以下矢量點乘形式：10.1.2 10.1.2 變力在曲線運動中的功變力在曲線運動中的功 10.1 10.1 力的功力的功 力在無限小位移力在無限小位移dr中作的功稱為中作的功稱為元功：元功：在直角坐標系中，在直角坐標系中，i，j，k為三坐標軸的單位矢量，則為三坐標軸的單位矢量，則力力F從從M1到到M2的過程所作的功的過程所作的功根據質心坐標公式，

3、有根據質心坐標公式，有 gPm0 xF0yFmgFz21)ddd(12MMzyxzFyFxFW)(2112iiizzgmWiiczmmz)(2112cczzmgW10.1.3 10.1.3 常見力的功常見力的功1 1重力的功重力的功重力重力重力作功為重力作功為 對于質點系，設質點對于質點系，設質點 i 的質量為的質量為mi，運動始末的高，運動始末的高度差為（度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：則全部重力作功之和為：在直角坐標軸上的投影為在直角坐標軸上的投影為21)(d21zzzzmgzmg所以所以10.1 10.1 力的功力的功質點質點M 由由M1 運動到運動到 M2時，彈時，彈性

4、力作功為性力作功為kF 00)(rlrkF21d12MMWrFrd0r21d)(012rrrlrkW2 2彈性力的功彈性力的功彈性范圍內，彈性力大小為彈性范圍內，彈性力大小為k彈性剛度系數（或剛性系數）。彈性剛度系數（或剛性系數）。彈性力彈性力)(2222112kW202201)()(2lrlrk21d)(00rrrlrkrrd)d(212rr)d(21rrrrrdr10.1 10.1 力的功力的功3 3萬有引力的功萬有引力的功)11(1221rrmfm萬有引力所作的功只與質點的始末位置有關，與路徑無關。萬有引力所作的功只與質點的始末位置有關，與路徑無關。式中式中f 為萬有引力常數為萬有引力常

5、數 f =6.66710-11m3/（kgs2）rFWMMd211210.1 10.1 力的功力的功r0r1r2M1M2MFo質量為質量為m2的質點的質點M受到另一質量為受到另一質量為m1的固定點的固定點O的引的引力力F的作用。由牛頓萬有引力定律知的作用。由牛頓萬有引力定律知1212023m mm mffrr Frr當質點從當質點從M1 1運動到運動到M2時，引力時，引力F作的功為作的功為tcosFFddRsrFdWdMWZ21124 4轉動剛體上作用力的功轉動剛體上作用力的功剛體轉動時剛體轉動時tdFstdFR10.1 10.1 力的功力的功力力F在切線上的投影為在切線上的投影為力力F的元功

6、為的元功為因為因為Ft R等于等于F對于轉軸對于轉軸z的力矩的力矩Mz，于是于是 如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中算，其中Mz為力偶對轉軸為力偶對轉軸z的矩，也等于力偶矩矢的矩，也等于力偶矩矢M在軸在軸上的投影。上的投影。1 1光滑固定面約束光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束理想約束。2 2活動鉸支座、固定鉸支座和向心活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承軸承d0W Fr10.1 10.1 力的功力的功10.1.4 10.1.4 理想約束及內力的功理想約束及內力

7、的功5 5柔性約束（不可伸長的繩索）柔性約束（不可伸長的繩索） rFrFddW0d)(rFF4 4聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3 3剛體沿固定面作純滾動剛體沿固定面作純滾動tvFdsrFWsFds010.1 10.1 力的功力的功質點系內力的功質點系內力的功BAWrFrFddBArFrFdd)(dBArrF只要只要A、B 兩點間距離保持不變兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。內力的元功和就等于零。 剛體的內力的功之和等于零。不可伸長的繩索內力的剛體的內力的功之和等于零。不可伸長的繩索內力的功之和等于零功之和等于零。)(dBArFrBA10.1 10.1 力的功

8、力的功 221mv10.2.1 10.2.1 質點的動能質點的動能221iivmT設質點的質量為設質點的質量為m，速度為，速度為v，則質點的動能為，則質點的動能為動能是標量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為動能是標量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J（焦耳）。（焦耳）。10.2.2 10.2.2 質點系的動能質點系的動能質點系內各質點動能之和稱為質點系的動能，即質點系內各質點動能之和稱為質點系的動能，即10.2 10.2 質點和質點系的動能質點和質點系的動能轉動剛體的動能轉動剛體的動能iirv 221iivmTZiiJrm2221ZJT 平動剛體的動能平動剛體的動能 civv 2

9、21iivmTimm221cmvT icmv2212221iirm2221iirm10.2 10.2 質點和質點系的動能質點和質點系的動能平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能點點C 質心，質心， 221PJT 2CCPmrJJ22)(21CCmrJTcCvr222121CcJmvT22)(2121CCrmJ點點P 某瞬時的瞬心，某瞬時的瞬心， 角速度角速度10.2 10.2 質點和質點系的動能質點和質點系的動能10.3.1 10.3.1 質點的動能定理質點的動能定理FvtmddrtmddddFrvtdd vrrFvvddmWmv)21d(21221222121Wmvmv 取質點運動微分方程取質

10、點運動微分方程的矢量形式的矢量形式 因因 得得上式稱為質點動能定理的微分上式稱為質點動能定理的微分形式形式: :即質點動能的增量等于即質點動能的增量等于作用在質點上力的元功。作用在質點上力的元功。上式稱為質點動能定理的積分形上式稱為質點動能定理的積分形式：式：在質點運動的某個過程中，在質點運動的某個過程中，質點動能的改變量等于作用于質質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功。點的力作的功。21122)21d(vvWmv10.3 10.3 動能定理動能定理 上式稱為質點系動能定理的積分上式稱為質點系動能定理的積分 形式：形式：質點系在某一段運動過程質點系在某一段運動過程 中，起點和終點的動能的改

11、變量，中，起點和終點的動能的改變量， 等于作用于質點系的全部力在這等于作用于質點系的全部力在這 段過程中所作功的和。段過程中所作功的和。iiiWvm)21d(2niniiiiWvm112)21d(iiiWvm)21(d2iWTdiWTT1210.3.2 10.3.2 質點系的動能定理質點系的動能定理質點系內任一質點，質量質點系內任一質點，質量為為mi，速度為，速度為vi，有，有式中式中Wi 為作用于這個為作用于這個質點上的力質點上的力Fi作的元功。作的元功。設質點系有設質點系有n個質點，個質點，將將n個方程相加，得：個方程相加，得：上式稱為質點系動能定理的微上式稱為質點系動能定理的微分形式：分

12、形式：質點系動能的增量等質點系動能的增量等于作用于質點系全部力所作的于作用于質點系全部力所作的元功的和。元功的和。上式積分，得：上式積分，得：10.3 10.3 動能定理動能定理例例圖示的均質桿圖示的均質桿OA的質量為的質量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態。設彈簧常數為處于自然狀態。設彈簧常數為 k =3kN/m，為使桿能由鉛直，為使桿能由鉛直位置位置OA轉到水平位置轉到水平位置OA，在鉛直位，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？置時的角速度至少應為多大？解：解：取取OA桿研究對象桿研究對象)(212 . 12221kmgW)22 . 14 . 2(03000212

13、 . 18 . 93022 8 .284 . 2303121202021T02T 4 .3888 .28020rad/s67. 30) J (4 .388得得由由WTT1210.3 10.3 動能定理動能定理Fmg 例例: 均質圓盤均質圓盤A：m，r；滑塊；滑塊B：m；桿；桿AB：質量不：質量不計，計，平行于斜面。斜面傾角平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數，摩擦系數f，圓盤作純滾動，系，圓盤作純滾動，系統初始靜止。求：滑塊的加速度。統初始靜止。求：滑塊的加速度。解：解：取整體為研究對象取整體為研究對象cos sin 2mgSfSmgW)cossin2( fSmg 01Tgfa)cossin2(52

14、2222221212121 mrmvmvT運動學關系：運動學關系：rv 2245mvT 由動能定理由動能定理:)cossin2(0452fmgSmv對對求導，得求導，得)cossin2(25fmgvmvav10.3 10.3 動能定理動能定理FNBFBFNAFAmgmg 例例: 圖示系統中圖示系統中,均質圓盤均質圓盤A、B各重各重P，半徑均為，半徑均為R, 兩兩盤中心線為水平線盤中心線為水平線, 盤盤A上作用矩為上作用矩為M(常量常量)的一力偶；重的一力偶；重物物D重重Q。問下落距離。問下落距離h時重物的速度與加速度。時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩重不計，繩不可伸長，盤繩不可伸長，盤B作

15、純滾動，初始時系統靜止作純滾動，初始時系統靜止)10.3 10.3 動能定理動能定理QPPQPP解：解：取系統為研究對象取系統為研究對象)(h/R QhMW01T2122221 2121BCAOJvgQJT22222232121221BARgPvgQRgP)78(162PQgvABC1RvARvB2BRv2由運動分析知：由運動分析知：h10.3 10.3 動能定理動能定理vvBaWTT12由由 )(0)78(162hQRMPQgvRPQhgQRMv)78()(4 thQRMtvvgPQdd)(dd21678上面上面(1)式求導得：式求導得：(1)(1)RPQgQRMa)78()(801T)78

16、(1622PQgvT)dd(thv )(h/R QhMW10.3 10.3 動能定理動能定理10.4.1 10.4.1 功率功率 tWPd因為因為 rFdW所以所以 功率等于切向力與力作用點速度的乘積。功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉動剛體上的力的功率為作用在轉動剛體上的力的功率為zzMtMtWPddd式中式中Mz是力對轉軸是力對轉軸z的矩，的矩，是角速度。即：是角速度。即：作用于轉動作用于轉動剛體上的力的功率等于該力對轉軸的矩與角速度的乘積。剛體上的力的功率等于該力對轉軸的矩與角速度的乘積。10.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率單位時間內力所做的功稱為功率，

17、以單位時間內力所做的功稱為功率，以P表示。表示。 tddPFvtrFF v取質點系動能定理的微分形式，兩端除以取質點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得，得 niniiiPtWtT11ddd上式稱為上式稱為功率方程功率方程，即，即質點系動能對時間的一階導數，質點系動能對時間的一階導數，等于作用于質點系的所有力的功率的代數和。等于作用于質點系的所有力的功率的代數和。 每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：下，功率方程可寫成

18、：無用有用輸入PPPtTddtTPPPdd無用有用輸入或或10.4.2 10.4.2 功率方程功率方程 10.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率 ，如一部機，如一部機器有器有n級傳動，設各級的效率分級傳動，設各級的效率分別為別為1、2 、n ,則總效率則總效率為為有效功率有效功率 = = tTPdd有用輸輸入入功功率率有有效效功功率率 機械效率機械效率表示機器對輸入功率的有效利用程度，它表示機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質量好壞的指標之一。是評定機器質量好壞的指標之一。顯然顯然，1n21 ，機械效率用，機械效率用表示，即表示，即10.4.3 10.4.3 機械效

19、率機械效率 10.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率 例：例： 車床的電動機功率為車床的電動機功率為5.4 kW。由于傳動零件之間。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑。如工件的直徑d = 100 mm，轉速，轉速n = 42 r/min，問允許切削力的最大值為多少？，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉速改為若工件的轉速改為n=112 r/min，問允許切削力的最大值，問允許切削力的最大值為多少？為多少？解：解： 由題意知：由題意知： kW4 . 5輸入PkW62. 1%30輸入無用PP當工件勻速轉動時，動能不變，有用

20、功率為當工件勻速轉動時，動能不變，有用功率為 kW78. 3無用輸入有用PPP設切削力為設切削力為F，切削速度為，切削速度為v，則，則 302ndFFvP有用即即 有用PdnF6010.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率當當n=112 r/min 時，允許的最大切削力為時，允許的最大切削力為Nk45. 678. 31121 . 060F當當n=42 r/min 時，允許的最大切削力為時，允許的最大切削力為 Nk19.1778. 3421 . 060F有用PdnF6010.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率 例：例： 電動機車質量為電動機車質量為m ，由靜

21、止以勻加速度，由靜止以勻加速度a 沿水平沿水平直線軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于直線軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于kmg (其其中中k是常數是常數)。求電動機車的功率。求電動機車的功率。 解：解：設電動機車行駛距離設電動機車行駛距離s時的速度為時的速度為v，發動機所做，發動機所做的功為的功為W，由動能定理得：，由動能定理得：kmgsWmv0212)2(2gvksmgW將上式對時間求導，并注意將上式對時間求導，并注意及及得電機車的功率得電機車的功率tsvddtvadd)(dgakmgvtWP將將atgakmgP)( atv 代入上式，得：代入上式，得：10.4 10.4 功率功率

22、功率方程功率方程機械效率機械效率 例：例：均質圓輪半徑均質圓輪半徑r，質量為，質量為m，受到輕微擾動后，在，受到輕微擾動后，在半徑為半徑為R的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質心使圓輪在滾動時無滑動。求質心C的運動規律。的運動規律。 解：解：取輪為研究對象，均質圓取輪為研究對象，均質圓輪作平面運動，其動能為輪作平面運動，其動能為222432121cccmvJmvT只有重力作功只有重力作功, ,重力的功率為重力的功率為 vg mPtsmgddsin 10.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率應用功率方

23、程：應用功率方程：PtTdd得得tsmgtvvmccddsindd24322ddddddccvsssvtttRr因，當當很小時很小時sin,于是得質心于是得質心C的運動微分方程為的運動微分方程為0)(32dd22srRgts10.4 10.4 功率功率功率方程功率方程機械效率機械效率10.5.1 10.5.1 勢力場勢力場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場力場。例：重力場，太陽引力場等等。例：重力場，太陽引力場等等。 如果物體在力場內運動，作用

24、于物體的力所作的功只如果物體在力場內運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌與力作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌跡形狀無關，這種力場稱為跡形狀無關，這種力場稱為勢力場勢力場（或（或保守力場保守力場）。）。 在勢力場中，物體受到的力稱為在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力有勢力（或（或保守力保守力）。）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力。引力都是有勢力。 10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 在勢力場中，質點由點在勢力場中，

25、質點由點M 運動到任選的點運動到任選的點M0 ，有勢，有勢力所作的功稱為質點在點力所作的功稱為質點在點M 相對于點相對于點M0的的勢能勢能。以。以V 表表示為示為0dMMVrF 點點M0 稱為稱為零勢能點零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點而言的。零勢能點零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數值。的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數值。0)ddd(MMzyxzFyFxF 10.5.2 10.5.2 勢能勢能10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械

26、能守恒定律機械能守恒定律1 1重力場中的勢能重力場中的勢能質點重力質點重力mg在各軸上的投影為在各軸上的投影為 0 xF0yFmgFz取取Mo為零勢能點，則質點在為零勢能點，則質點在點點M的勢能為的勢能為)(d00zzmgzmgVzz質點系重力勢能質點系重力勢能 )(0cczzmgV其中其中m為質點系全部質量，為質點系全部質量，zc為質心的為質心的z坐標，坐標，zc0為零勢為零勢能位置質心能位置質心z坐標。坐標。 幾種常見勢能的計算幾種常見勢能的計算10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律2 2彈性力場中的勢能彈性力場中的勢能 設彈簧的一端固定，另一端與

27、設彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數為物體連接。彈簧的剛度系數為k。 取取Mo為零勢能點，則物體在點為零勢能點，則物體在點M的勢能為的勢能為 )(2202kV 如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有0 = 0，則，則22kV 10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律3 3萬有引力場中的勢能萬有引力場中的勢能 設質量為設質量為m1 的質點受質量為的質點受質量為m2的物體的萬有引力的物體的萬有引力F 作用。作用。 取點取點M0為零勢能點，則質點在點為零勢能點，則質點在點M 的勢能為的勢能為rFd0MMV式中式中 f

28、 為引力常數。為引力常數。 rrdd0 r因為因為 所以所以 1d221rrrrmfmV如選取點如選取點M0 在無窮遠處，即在無窮遠處，即r1=，則，則 rmfmV210221rrmfmFrd02210rrmfmMM)11(2121rrmfm10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 一質量為一質量為m、長為、長為 l 的均質桿的均質桿AB。A端鉸支，端鉸支，B端由端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長0。如彈簧剛度系數為如彈簧剛度系數為k， 如質點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自如質點系受

29、到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質點系中的各質點都處于其零勢能點的一組的零勢能點。質點系中的各質點都處于其零勢能點的一組位置，稱為質點系的位置，稱為質點系的“零勢能位置零勢能位置”。 質點系從某位置到其質點系從某位置到其“零勢能位置零勢能位置”的運動過程中，的運動過程中，各有勢力作功的代數和稱為此質點系在該位置的勢能。各有勢力作功的代數和稱為此質點系在該位置的勢能。 0)(FAM020lmglkkmg2010.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律(2)如取桿的平衡位置為系統的零勢能位置，桿于微小擺如取桿的平衡位置為系統的零勢能位置，桿于微小

30、擺角角 處，勢能為處，勢能為2lmg2)2(21220lmgllk (1)如重力以桿的水平位置為零如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點，則桿于微小擺角能點，則桿于微小擺角處勢能為處勢能為kgmlk8212222注意注意 kmg20可得可得 2221lkV20)(21lk1VV)(212020lk2lmg10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 質點系在勢能場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。質點系在勢能場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。 設某個有勢力的作用點在質點系的運動過程中，從點設某個有勢力的作用

31、點在質點系的運動過程中，從點M1 到點到點M2，該力所作的功為，該力所作的功為W12。 取點取點M0 為零勢能點，則為零勢能點，則01MM 110VW02MM220VW 因有勢力的功與軌跡形狀無關，從因有勢力的功與軌跡形狀無關，從M1經經M2到到M0201210WWW21201012VVWWW2112VVW 即即有勢力所作的功等于質點系在運動過程中的初始和有勢力所作的功等于質點系在運動過程中的初始和終了位置的勢能的差。終了位置的勢能的差。10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 質點系在某瞬時的動能與勢能的代數和稱為質點系在某瞬時的動能與勢能的代數和稱為

32、機械能機械能。 由質點系動能定理由質點系動能定理1212WTT如只有有勢力作功，則如只有有勢力作功，則211212VVWTT 移項后移項后 2211VTVT 即即質點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械質點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變能保持不變。這種質點系稱為。這種質點系稱為保守系統保守系統。10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 如質點系還受到非保守力的作用，稱為如質點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統非保守系統，非，非保守系統的機械能是不守恒的。設保守力所作的功為保守系統的機械能是不守恒的。設保守力所作的功為W12，

33、非保守力所作的功為非保守力所作的功為W 12 ，由動能定理有，由動能定理有121212WWTT2112VVW因因 則則 122112WVVTT121122)()(WVTVT 如如W12為負功，質點系在運動過程中機械能減小，稱為負功，質點系在運動過程中機械能減小，稱為為機械能耗散機械能耗散； 如如W12為正功，質點系在運動過程中機械能增加，這為正功，質點系在運動過程中機械能增加，這時外界對時外界對 系統輸入了能量。系統輸入了能量。10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 例例: 長為長為l，質量為，質量為m的均質直桿，的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。

34、當桿無初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角桿的傾角和質心的位置表達）。和質心的位置表達）。 解：解：取桿為研究對象，由于水平方向不受外力，且初始取桿為研究對象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心靜止，故質心C 鉛垂下降。鉛垂下降。由于只有重力作功由于只有重力作功, 因此機械因此機械能守恒。取地面為零勢能面能守恒。取地面為零勢能面01TmglV211222)dd(21)dd(21tymtJTc)2(2ylmgV222)dd(21)dd(241tymtml10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械

35、能守恒定律由機械能守恒定律：由機械能守恒定律：將將代入上式，化簡后得代入上式，化簡后得)cos1 (2lytltyddsin2ddtyltddsin2ddtyltddsin2ddygty22sin31sin6dd)2()dd(21)dd(24121222ylmgtymtmlmglmglV2112222)dd(21)dd(241tymtmlT)2(2ylmgV01T10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 例例: 兩根均質桿兩根均質桿AC和和BC各重為各重為P，長為，長為l，在，在C處光滑鉸處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初接，置于

36、光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初始靜止，始靜止，C 點高度為點高度為h，求鉸，求鉸C到達地面時的速度。到達地面時的速度。10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律 解：解：取整體為研究對象：由于只取整體為研究對象：由于只有重力作功有重力作功, 因此機械能守恒。取因此機械能守恒。取地面為零勢能面地面為零勢能面01T22223123121lgPlgP lvC分析分析AC桿運動，桿運動，PhPhV221102V由機械能守恒定律：由機械能守恒定律：ghvC3231CvgPPh A點為其速度瞬心。點為其速度瞬心。22122AJT2231CvgPT 10.5

37、 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律vA 例：例：均質圓輪半徑均質圓輪半徑r，質量為，質量為m，受到輕微擾動后，在，受到輕微擾動后，在半徑為半徑為R的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質心使圓輪在滾動時無滑動。求質心C的運動規律。的運動規律。 解：取輪為研究對象，此系統解：取輪為研究對象，此系統的機械能守恒，取質心的最低位的機械能守恒，取質心的最低位置置O 為重力場零勢能點，圓輪在為重力場零勢能點，圓輪在任一位置的勢能為任一位置的勢能為同一瞬時的動能為同一瞬時的動能為)cos1)(r

38、RmgV243cmvT 由機械能守恒，有由機械能守恒，有0)(ddTVt10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律把把V和和T的表達式代入，取導數后得的表達式代入，取導數后得0dd23ddsin)(tvmvtrRmgcc，rRvtcdd于是得于是得 0sin32dd22gts當當很小時，很小時， rRssin，于是得，于是得 0)( 32dd22srRgts22ddddtstvc因因,rRs10.5 10.5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律質點和質點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定質點和質點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定

39、理和動能定理。理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉化的問題。于研究機械運動與其它運動形式有能量轉化的問題。 應用動量定理或動量矩定理時，質點系的內力不能改應用動量定理或動量矩定理時，質點系的內力不能改變系統的動量和動量矩，只需考慮質點系所受的外力。變系統的動量和動量矩，只需考慮質點系所受的外力。 應用動能定理時，要考慮約束力和內力作不作功。應用動能定理時，要考慮約束力和內力作不作功。10.6 10.

40、6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例解：解：取桿為研究對象取桿為研究對象2312lPlgPlg 2/3由質心運動定理：由質心運動定理：On0XagPC 2OtPYlgPagPC例：例：均質桿均質桿OA，重，重P，長，長l，繩子突然剪斷。求該瞬，繩子突然剪斷。求該瞬時，桿的角加速度及時，桿的角加速度及O處反力。處反力。對對O點應用動量矩定理：點應用動量矩定理：PY41O)(OOFMJ10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例 xynCatCall0AB例：例：圖示彈簧兩端各系以重物圖示彈簧兩端各系以重物A和和B，放在光滑的水平，放在光滑的水平面上面上, 重物重物

41、A和和B的質量分別為的質量分別為m1、m2, 彈簧的原長為彈簧的原長為l0，剛，剛性系數為性系數為k。若將彈簧拉到。若將彈簧拉到 l 然后無初速地釋放，問當彈簧然后無初速地釋放，問當彈簧回到原長時，重物回到原長時，重物A和和B的速度各為多少？的速度各為多少？10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例ll0AB解：解：取整體為研究對象。取整體為研究對象。x 0 xF因為因為，所以，所以應用動量定理應用動量定理應用動能定理應用動能定理2200)(21llk（2）BAvmvm210（1）由由(1)(1)、(2)(2)兩式解得：兩式解得：)()(21102mmmllkmvA)()

42、(21201mmmllkmvB021212221BAvmvm10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例m2 gm1 gFBFAvBvA例：例：圖示圓環以角速度圖示圓環以角速度繞鉛垂軸繞鉛垂軸AC自由轉動。此圓自由轉動。此圓環半經為環半經為R, 對軸的轉動慣量為對軸的轉動慣量為J。在圓環中的點。在圓環中的點A放一質量放一質量為為m的小球。設由于微小的干擾小球離開點的小球。設由于微小的干擾小球離開點A，小球與圓環，小球與圓環間的摩擦忽略不計。求當小球到達點間的摩擦忽略不計。求當小球到達點B和和C時，圓環的角速時，圓環的角速度和小球的速度。度和小球的速度。ACB10.6 10.

43、6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例ACB解：解：取整體為研究對象。取整體為研究對象。z1.小球小球AB應用動量矩定理應用動量矩定理 0zM因為因為，所以，所以BBmRJJ22mRJJB應用動能定理應用動能定理mgRmmRJJJmgRvB1)(22222222121BBmvJ221J10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例F1zF1yF1xmgFyPFx2.小球小球AC應用動量矩定理應用動量矩定理 0zM因為因為，所以，所以CJJC應用動能定理應用動能定理mgR2gRvC2解得解得解得解得222121CCmvJ221J10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉

44、例普遍定理的綜合應用舉例ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx 例：例：如圖所示兩均質圓輪質量均為如圖所示兩均質圓輪質量均為m，半徑為，半徑為R，A輪繞輪繞固定軸固定軸O轉動，轉動，B輪在傾角為輪在傾角為的斜面上作純滾動，的斜面上作純滾動，B輪中輪中心的繩繞到心的繩繞到A輪上。若輪上。若A輪上作用一力偶矩為輪上作用一力偶矩為M的力偶，忽的力偶，忽略繩子的質量和軸承的摩擦，求略繩子的質量和軸承的摩擦，求B輪中心輪中心C點的加速度、點的加速度、繩子的張力、軸承繩子的張力、軸承O的約束反力和斜面的摩擦力。的約束反力和斜面的摩擦力。10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例解：

45、解：取整體為研究對象。取整體為研究對象。smgRM)sin(01T2222212121BCCAOJmvJT221mRJJCORvCBA222222)(21(2121)(21(21RvmRmvRvmRTCCC由動能定理，得由動能定理，得smgRMmvC)sin(02將上式對時間求導，得將上式對時間求導，得mRmgRMaC2sin2Cmv12WMsinmgs10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例 假設輪假設輪B的中心的中心C由靜止開始由靜止開始沿斜面向上運動一段距離沿斜面向上運動一段距離s，則各力所作功的和為，則各力所作功的和為 (2)取輪取輪A為研究對象。應用定軸轉動微

46、分方程為研究對象。應用定軸轉動微分方程RFMJTAO其中其中 221mRJORaCA得得 )sin3(41mgRMRFT應用質心運動定理，得應用質心運動定理，得cosTOxOxFFmasinTOyOyFmgFma因因 aox=aoy=0，得，得cosTOxFFsinTOyFmgFcos)sin3(41mgRMRsin3)sin4(412MmgRR10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例 (3)取輪取輪B為研究對象，為研究對象，FmgFmaTCsin代入已量，得代入已量，得)sin(41mgRMRF本問題也可應用相對質心的動量矩定理來求解。本問題也可應用相對質心的動量矩定

47、理來求解。 )sin3(41mgRMRFTmRmgRMaC2sinFRJCRaC221mRJC)sin(41mgRMRF應用質心運動定理，得應用質心運動定理，得10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例 例例: 均質細長桿為均質細長桿為l、質量為、質量為m，靜止直立于光滑水平面，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角上。當桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力。速度和地面約束力。CA10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例CA解：解：取桿為研究對象。由于水平方向不受力，倒下過程中取桿為研究對象。

48、由于水平方向不受力，倒下過程中質心將鉛直下落。質心將鉛直下落。cos2lvCPvCC2222)cos311 (212121CCCvmJmvT由動能定理，得由動能定理，得 )sin1 (2)cos311 (2122lmgvmCglvC321lg3當當 時解出時解出 0P 設任一瞬時桿與水平線的夾角為設任一瞬時桿與水平線的夾角為，如，如圖所示，圖所示，P為桿的瞬心。為桿的瞬心。 由運動學知由運動學知, , 桿的角速度桿的角速度10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例mgFNvCvA桿剛到達地面時。桿剛到達地面時。 CmaFmgN1222NmlJlFC沿鉛垂方向投影，得沿鉛垂

49、方向投影，得t2CCAlaa4NmgF AC由剛體平面運動微分方程，得由剛體平面運動微分方程，得由運動學知由運動學知10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例aCtCAaaAFNmgaA由于質心運動在水平方向守恒，由于質心運動在水平方向守恒，aC 應為鉛垂應為鉛垂,以點以點A為基點為基點ntCACACAaaaanCAa例：例：兩個相同的滑輪兩個相同的滑輪A和和B，半徑各為，半徑各為R，重量各為，重量各為P，用繩纏繞連接。兩滑輪可視為均質圓輪。系統從靜止開始用繩纏繞連接。兩滑輪可視為均質圓輪。系統從靜止開始運動。求輪運動。求輪B質心質心C的速度的速度v及加速度及加速度a與下

50、落距離與下落距離h的關系。的關系。ACBh10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例ACBh解：解：取整體為研究對象。取整體為研究對象。ABvPh由運動學知：由運動學知：BARRvACBABv取輪取輪A為研究對象為研究對象FR取輪取輪B為研究對象為研究對象RF由動能定理：由動能定理：22)21(21ARgP22)21(21BRgP221vgP0tRgPAdd212應用動量矩定理應用動量矩定理tRgPBdd21210.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例FxFyPPPFFxFyPF由于由于F=F，開始時系統靜止，所以，開始時系統靜止，所以BARv2代入

51、上面的方程，得代入上面的方程，得PhvgP285ghv522上式兩邊求導，得上式兩邊求導，得PvvagP45ga54Ph22)21(21ARgP22)21(21BRgP221vgP0FRtRgPAdd212RFtRgPBdd21210.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例例：例：圖示三棱柱體圖示三棱柱體ABC的質量為的質量為m1, 放在光滑的水平放在光滑的水平面上，可以無摩擦地滑動。質量為面上，可以無摩擦地滑動。質量為m2的均質圓柱體的均質圓柱體O由靜由靜止沿斜面止沿斜面AB向下滾動而不滑動。如斜面的傾角為向下滾動而不滑動。如斜面的傾角為,求三求三棱柱的加速度。棱柱的加速

52、度。ABCO10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例ABCO解：取整體為研究對象。解：取整體為研究對象。應用動量定理應用動量定理x 0 xF因為因為，所以，所以01221rcosvmmmv應用動能定理應用動能定理s0其中其中cos2r12r2122vvvvvrvr)cos(r12vvm11vmsin2gSm21121vm222222)21(2121rmvm10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例FNm2gm1gvrv2v1v1sin)(21cos)(432212122221gSmvmmmmm兩邊求導（注意：兩邊求導（注意： ），得），得1221r

53、cosddvmmmvtSsincos)(cos)(2312212112122221vmmmgmavmmmmm所以所以gmmmma222121sin232sin10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例例：例：重重150N的均質圓盤與重的均質圓盤與重60N、長、長24cm的均質桿的均質桿AB在在B處用鉸鏈連接。處用鉸鏈連接。 系統由圖示位置無初速地釋放。求系系統由圖示位置無初速地釋放。求系統經過最低位置統經過最低位置B點時的速度及支座點時的速度及支座A的約束反力。的約束反力。解：解：（1 1）由動量矩定理求盤的角）由動量矩定理求盤的角加速度加速度 取圓盤為研究對象取圓盤為研

54、究對象; 0)(FmB 0BBJ00，圓盤平動，圓盤平動。由相對于質心的動量矩定理由相對于質心的動量矩定理)(BFmJBB0B13-6 13-6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例（2）用動能定理求速度。取系統研究。初始時）用動能定理求速度。取系統研究。初始時T1=0 ， 最低位置時：最低位置時：2221AJT 2221213121BBvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121llGGllGllGWWTT12)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入數據，得代入數據，得m/s 58. 1Bv由動能定理：由動能定理：2221BvgG22163BvgGG10.6 10.6 普遍定理的綜合應用舉例普遍定理的綜合應用舉例vBG