1、課時跟蹤檢測(二十七)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1._(2019 海門模擬) )向量 a = (3,4)在向量 b= (1,- 1)方向上的投影為 _ .解析：向量 a= (3,4), b= (1, - 1),向量 a 在向量 b 方向上的投影為a b 3x1+4X(- 1 邁|a|cos e=函一 寧答案：-22n t2._(2018 江蘇百校聯(lián)盟聯(lián)考) )已知平面向量 a, b 的夾角為，且 a (a-b)= 8, |a|= 2, 則| b|=_ .解析：因為 a (a - b) = 8,所以 a a a b= 8,即 |aI2 |a|b|h) )g a, b

2、= 8,所以 4 + 2|b|X2= 8，解得 |b|= 4.答案：43. (2018 蘇州期末) )已知 a= (m,2), b= (1, n), m0, n 0,且 |a|= 4, |b|= 2,則向量a 與 b 的夾角是_ .解析：設(shè)向量 a 與 b 的夾角是e, e0 ,n/ a= (m,2), b = (1, n), m0, n0,且 |a|= 4, |b| = 2, m2+ 4= 16,1 + n2= 4，解得 m= 2 3, n=J3. a b=m+2n=4 3=4X2Xcose, cose=23，則向量 a 與 b 的夾角是才.答案:4. (2018 濱海期末) )已知向量 a

3、 = (-1,3), b= (3, t),若 a 丄 b，則 |2a+ b| =解析： 向量 a= (- 1,3), b = (3, t), a 丄 b, a b=- 3+ 3t= 0,解得 t= 1, b= (3,1), 2a + b = (1,7),5. (2018 淮安高三期中) )在平行四邊形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60則故|2a+ b|= . 1 + 49= 5 2.答案：5 25. (2018 淮安高三期中) )在平行四邊形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60則- -AB -AC =_解析：由題意得 AC = AB

4、 + D,所以 AB C = B( AB+ A D )= A B2+ AB:AD= 4+2X1Xcos 120=3.答案：3D 1 -D -D1-D6. (2018 南通一調(diào)) )已知邊長為 6 的正三角形 ABC , BD = 2 BC , AE =：AC , AD 與23BE 交于點 P，則 PEB PE的值為_.解析：如圖，以 D 為原點，以 BC 為 x 軸，AD 為 y 軸，建立平面 直角坐標(biāo)系，則 B(-3,0), C(3,0), D(0,0), A(0, 3 3), E(1, 2 3), P0,穿，所以気PD=1敲|2=穿2=27.答案：274保咼考，全練題型做到咼考達(dá)標(biāo)1.(2

5、018 淮安調(diào)研) )已知向量 a= (1 ,x),b= ( 1,x),若 2a-b 與 b 垂直，則|a| =_.解析：由已知得 2a- b = (3, x),而(2a-b) b= 0? - 3+ x2= 0? x2= 3,所以 |a|= ,1+ x2=4 = 2.答案：22. (2019 如皋模擬) )已知平面向量 a 與 b 的夾角為 60a = (3,4), |b|= 1，則|a- 2b| =解析：/ a= (3,4),A|a| = 32+ 42= 5,15又|b|= 1，二 a b = |a| |b|cos 60= 5X1X寸=5, |a- 2b|2= a2+ 4b2- 4a b=

6、25 + 4- 10= 19,則 |a - 2b|= . 19.答案：,193. (2018 蘇北四市期末) )已知非零向量 a, b 滿足|a|= |b|= |a+ b|,貝 U a 與 2a- b 夾角的 余弦值為.1 解析：因為非零向量 a, b 滿足 |a| = |b|= |a+ b|,所以 a2= b2= a2+ 2a b+ b2, a b = -a2=-b2,所以 a (2a - b)= 2a2- a b=：a2, |2a - b|= , 2a-b2= . 5a2- 4 a b= . 7|a|, cos5a2a(2a b ) =2=丄=站a, 2a b5. (2018 淮安高三期中

7、) )在平行四邊形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60則|a| |2a-b|=|a|:7|a|=2；7=14答案：乎144. （2018 泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研）矩形 ABCD 中，P 為矩形 ABCD 所在平面內(nèi)一點， 且- - 滿足 PA= 3, PC = 4,矩形對角線 AC= 6,貝 U PB -PD =-2解析：由題意可得 PB -PD = ( PA + AB ) (- PA + AD )= PA + PA AD + AB PA +- - - - (AD+AB )+0=9+PA-AC=9+3X6Xcos(n- /PAC)=92 2 2PA+ACPC9+36

8、161118X= 9 18X= 一 .XPAXAC2X3X611答案：節(jié)n5. （2018 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知菱形 ABCD 邊長為 2,/ B= 3，點 P 滿足 AP = AAB ,入- - R,若 BD CP = 3，貝 U匸解析：法一：由題意可得BA -C=2X 2cos n=2,-B -B - B -B - B -BBD CP = ( BA + BC ) ( BP BC)-B - B - B - B -B=(BA + BC) ( AP AB ) BC -B - B-B -B=(BA + BC)(入1) AB BC -oB B- B B Bo=(1?) BA2BA-BC+(1?) BA

9、 BCBC2=(1 ?) 4 2+ 2(1 片一 4=6X=3,則 B(2,0), C(1,3), D( 1,3).令 P(x,0),由-1D -CIP = ( 3,3) (x 1,3)=3x = 3 得 x = 1.- - - AB -AD = 9 + PA法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,- -因為 AP =入 AB，所以入=*6. （2018 蘇北四市調(diào)研 ）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，O 為 BD-B -B- B -B的中點，且 OA= 3, OC= 5 若 AB AD = 7,貝 U BC -DC =-B -B -B - B -B解析：BC - DC = (OC OB ) (

10、 OC -B-B -B -B - B- B2OD )= (OC + OD ) ( OC OD )= OC2 OD2,同理，BD =AO2-OtD2=-7,所以-BC c= OC2- C)D2=_OC2-AO2-7=9.答案：97. (2019 崇川一模) )若非零向量 a 與 b 滿足|a|= |a + b| = 2, |b| = 1,則向量 a 與 b 夾角 的余弦值為_.解析：非零向量 a 與 b 滿足|a| = |a + b|= 2, |b| = 1,|a |2=|a+b |2=|a |2+|b|2+2a b,即a b=-|b|2=- 1xl2=- 1,設(shè) a 與 b 的夾角為0,1向量

11、 a 與 b 夾角的余弦值為一-.4答案：-4n8. (2018 鹽城期中) )如圖，在四邊形 ABCD 中，A = 3, AB = 2, AD = 3,- - - -分別延長 CB, CD 至點 E , F，使得 CE =入 CB , CF =入 CD，其中 心 0,若& -AD = 15,貝 V 入的值為_解析：/El? =6? (CE = AC!?- XCE3= XEBID=- - ? - ? -? -? - ? 2 -? -?- EF -AD =XAD AB) AD =XAD AB -AD )=住一 3) = 15,4=答案:9. (2019 通州調(diào)研) )設(shè)兩個向量 a, b

12、 不共線.(1)若N? =a+b, BC =2a+8b,-CD =3(a-b)，求證：A,B,D 三點共線；若|a|= 2, |b|= 3, a, b 的夾角為 60求使向量 ka+ b 與 a+ kb 垂直的實數(shù) k 的值. 解：( (1)證明：/ 入？=入？+1BC+C?=(a + b) + (2 a + 8b)+ 3(a b)=6(a+ b)= 6AB ,二-?與k?共線，且有公共點 A, A, B, D 三點共線.0=空=2|a|b | 2x114i)(2) / ka+ b 與 a+ kb 垂直，(ka+ b) (a+ kb)= 0, ka2+ (k2+ 1)|a|b | cos 60

13、+ kb2= 0,即 3k2+ 13k+ 3= 0,解得 k =半學(xué)10.在四邊形 ABCD 中，已知 AB = 9, BC= 6,CP =2PF.(1)若四邊形 ABCD 是矩形，求ApP 云I?的值；- - - - 若四邊形 ABCD 是平行四邊形，且 AP BP = 6，求 AB 與 AD 夾角的余弦值. 解：( (1)因為四邊形 ABCD 是矩形，- - - -所以 AB 丄 AD，即 AB AD = 0,又 AB=9,BC=6,-C? =2-pD ,所以喬=；AD +B? =-AID + 舟-B ,3? 2 ?BP =BC +CP =AD 一 AB , 3AB-?21- - 2-?2

14、=AD AB -AD -AB39=622x92=18.9(2)設(shè)-B 與-?的夾角為0,由(1)得，-A?= -AD+1-? AD3-AB=AD21-AB-AD2-AB2=621x9X6Xcos0 -x92=6,39所以 cos0=23- B -B2故 AB 與 AD 夾角的余弦值為；.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1. (2018 徐州高三年級期中考試) )如圖，在半徑為 2 的扇形 AOB 中，/ AOB = 90 P所以N? -BPP = -AD +-AD 2-AB- B - B-B -B為AB上的一點，若 OP OA = 2，則 OP -AB =_.解析：如圖，以 0 為原點，0A 所

15、在直線為 x 軸，0B 所在直線為 y . 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0), B(0,2),設(shè) P(x, y),由6? -OA= 2,可得 2x = 2, x= 1, P 為 AB 上的一點，所以|6?| = 2，所以 P(1, 3),6? = (1,3)，又6? = ( 2,2),所以6A?AB = - 2+ 2 3.答案：2+ 2 32. (2018 南通、揚州、泰州、淮安調(diào)研) )如圖，已知 ABC 的邊 BC的垂直平分線交 AC 于點 P,交 BC 于點 Q 若|B|= 3,|?|= 5,則(AP解析：法一： 因為-? =AQ+d?，所以6?= 2AQ+7?,- ?- A - A

16、- A - A- A - A-A -A - A - A而 AB AC = CB，由于 QP 丄 CB，所以 QP CB = 0，所以( (AP + AQ) (AB AC )=(2-AQ+0?) CEB = 2AQ G?，又因為 Q 是 BC 的中點，所以 2AQ=AB+AC，故 2AQ -CEB-A A A A A2A2=(AB + AC ) (AB AC) = ABAC2= 9 25= 16.法二：由題意得厶 ABC 是不確定的，而最后的結(jié)果是唯一的，因此取AB 丄 BC,從而P 為 AC 的中點.-A- A- A3又 |AB|= 3, | AC|= 5,所以 |BC|= 4, cos/ BAC =5故7A + -Q= 2 AC+2( -AA + -A)=2+ -A,從而(AP + AQ) (AB AC )=2-AB+ AC (-AB-AC)=AB2+ 舟-A-AC2113=-X9+X3X5X 25=16.225-A -A) AB AC)的值為c+答案：163. (2019 姜堰中學(xué)調(diào)研) )在銳角 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,向量 m口3=(cos(A B), sin(A B), n = (cosB, sin B),且 mn=.5(1)求 sin A 的值;