1、安徽省 20XX 屆高考平面向量熱點題型預測題組一高考數學選擇題分類匯編1. 2011 課標文數廣東卷】1 1 A.4B .2已知向量a= (1,2), b = (1,0), c= (3,4) 若 入為實數，(a+ 入 b)/c,_則 入=()C. 11【解析】因為 a+入=(1,2) +入(1,0=(1 +人 2)，又因為(a+入 bj/c, (1+入X4- 2X3 = 0,解得 入=言2.【2011 課標理數廣東卷】若向量a, b, c 滿足 a/ b 且 a 丄 c,貝Uc (a + 2b)=(A . 4B . 3C. 2【解析】因為 a / b 且 a 丄 c,所以 bc,所以3.【2

2、011 大綱理數四川卷】如圖1 -1,正六邊形B.BEC.ADD.0 c(a+2b)=c a+2bc =0.ABCDEF 中，BA + CD + EF=(D.CF BA + CD + EF = BA + AF - BC = BF - BC = CF,所以選 D.14. 2011 大綱文數全國卷】設向量 a, b 滿足|a= |b= 1, ab =-扌，則|a+ 2b|=(【解析】A. 2B. 3C. . 5D. . 7【解析】|a+ 2b|2= (a+ 2b)2=|a|2+ 4a b + 4|b|2= 3,則|a+ 2b|= 3，故選 B.a= (1,2), b = (1,- 1) ,_則 2

3、a+ b 與 a-b 的夾角等于()nC.45. 2011 課標文數湖北卷】若向量nnA.-4B.63nD.a b =(0, 3)，所以|2a+ b|= 3 2,|a- b|= 3.設 2a+ b 與 一 _ _ _ _na-b 的夾角為9,_則 cos =占一=專，又 旺0,n，所以=-.|2a+b|a-b|3p2X32LJ46.2011 課標理數遼寧卷】若 a, b, c 均為單位向量，且 ab=0, (a- c) (b- c) = 60,則|c|的最大值等于()A . 2B. ,3解析】設向量 a, b, c 的起點為 O,終點分別為=60,則點 C 在厶 AOB 的外接圓上，當 OC

4、經過圓心時，|c|最大，在 AOB 中，求得 AB 理得AOB外接圓的直徑是sin1i= 2, |q 的最大值是 2，故選A.9._2011 課標理數北京卷】已知向量 a=(羽，1), b= (0, - 1), c= (k,).若 a-2b 與 c 共線，則 k=_.解析】 因為 a- 2b= C. 3, 3),由 a- 2b 與 c 共線，有 ;甘可得 k=1.10._2011 課標文數湖南卷】設向量 a, b 滿足|a|= 2寸5 b = (2,1)，且 a 與 b 的方向相反，則 a 的坐標為 _.解析】 因為 a 與 b 的方向相反，根據共線向量定義有：a=Xb(入0)所以 a= (2

5、 入入)由 |a|= 2.5，得 “/2 入2十 *= 2,5?入=2 或 A 2(舍去),故 a= (- 4,- 2).11.2011 課標理數天津卷】已知直角梯形 ABCD 中，AD / BC,ZADC =90, AD = 2, BC = 1, P 是腰 DC【解析】 因為 2a+ b =(2, 4)+(1,- 1)=(3, 3),(2a + b) (a- b)(3, 3)(0, 3)忑C. 2D. 1A , B, C,由已知條件得，/ AOB = 120, / ACB,3,由正弦定上的動點，貝 U |PA+ 3PB|的最小值為 _ .【解析】 建立如圖 1 - 6 所示的坐標系，設 DC

6、 =A(2,0), B(1 , h).安徽省 20XX 屆高考平面向量熱點題型預測3設 P(0, y),(owy h)則 PA= (2, y), PB= (1, h y),1 1 1=2，T|a=1，丨卜1，二 sin=亦廣 2.13.【2011 新課標理數安徽卷】已知向量a, b 滿足(a+2b) (a b) = 6,且|a|= 1, |b|= 2，則 a 與 b 的夾角為_.【解析】設 a 與 b 的夾角為依題意有(a+2b) (a- b)=a2+a b2b2= 7+2cos9=6,所以 cos 9= *.因為丄匚no 0 2512.【2011 課標理數浙江卷】1積為 2,則a與B的夾角若

7、平面向量a B滿足|a=1, |罔 1,且以向量9的取值范圍是_ .a, B為鄰邊的平行四邊形的面【解析】由題意得：W|B|sin又T(0,n).氏f,逬.15.【2011 課標理數湖南卷】 在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，設 BC =2BD , CA =3CE,則 AD BE =_ .【解析】 由題知，D 為 BC 中點，E 為 CE 三等分點，以 BC 所在的直線為 x 軸，以 AD 所在的直線為 y 軸,5回6，6 ， 字)D(0,0), B(2,0),Eg 習)故 AD晅晅X= 1 264.16. 2011 課標理數江西卷】已知|a= |b|= 2, (a+ 2b) (a b)

8、= 2,_則 a 與 b 的夾角為 【解析】設 a 與 b 的夾角為 9,由(a+ 2b)(a b) = 2 得|af+ a 2|b|2= 4+ 2X2Xcos 9-2X4 = 2,解得 cos =舟，.：9=扌.23建立平面直角所以 AD BE(A)a= b(B)aZ22(C)a / /b(D)a - b與b垂直BE0,3(A)(B)-(0 2( D) 621. 10 重慶理數】已知向量 a, b 滿足a*b=0,=1, b =2,貝U 2a - b二解析：2ab =J(2a b) =；4a 4a b+b =%；8=2/222.【10 湖南文數】若非零向量 a, b 滿足|a|=|b|,(2

9、a b) b =0，則 a 與 b 的夾角為 CA. 300B. 60C. 120D. 150uruir23. 【10 全國卷理數】VABC中，點D在AB上,CD平方.ACB若CB =a，CA =b，a=1，_ cuuu1221,3443,b =2，則CD =(A) a+b( B) a + b( C- a + b( D)- a+ b33335555【解析】因為CD平分N ACB， 由角平分線定理得AD一CA=-，所以 D 為 AB 的三等分點，且DBCB1AD =2AB=2(CB _CA)，所以CD = CA+AD二_2CBA二二 hNQ4N+ CA = a+ b，選B.33333324.【1

10、0 遼寧文數】平面上O,代B三點不共線，設OA二a,OB二b,則OAB的面積等于1111121(a b)2才問sin “bp剛bh/is心二剛b|卜苛訐-(a b)225.【10 全國卷】 ABC 中，點 D 在邊 AB 上, CD 平分/ ACB，若CB= a ,CA= b ,a= 1，BD BC 1_ _ _ _ AD AC 2，丁AB二CB-CA二a-b，2i 2 21 iCD二CA AD二b2a_b二2a _b3333A. 0B.C. 4D. 8(A)、.,a2b2(a b)2(B)：a b (a b)2(02ab22ab+ (aSOAB=2,則CD= (A)2 13443(B )a

11、+ b(C )a + b(D)- a +一 b335555222AD AB a b33326.【10 山東理數】定義平面向量之間的一種運算二如下，對任意的a=（m, n）b= (p,q)，令CD 為角平分線,a -b=mq-np，下面說法)B.a -b=b二a12-(a b)2b)2（D）112 a + b33c.對任意的.二R，有( a)二b= ( a匚b)D.(a二b)2+(ab)2=|af|bf-JC = (JC)2+AC-CB= 16,故選 d【命題慧圖】本題若查向量的加法的運算，向量的數量積JK中檔題*J S J?J332.【10 湖北理數】已知ABC和點 M 滿足MA - MB +

12、MC = 0.若存在實數 m 使得AB AC二m AM成立，則 m= A. 2B. 3C .4D. 5攵【答爲】8【解析】由題目條件可知*1為AABC的重心，連按AM并薙廉交BC于D，則麗2延，因対AD為AS+AC= TAD =-， 開2忑麗，聯立可猜貯第故B正瀰.233.【09 廣東卷文】已知平面向量a=(x,1), b=(X, X),貝U向量a+bA 平行于X軸B.平行于第一、三象限的角平分線c.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線【解析】a，b= (0,1 x2)，由1 x2= 0及向量的性質可知，c 正確.34. 09 廣東卷理】一質點受到平面上的三個力 耳，卩2,卩3(單位：牛

13、頓)的作用而處于平衡狀態.已知Fi,F2成60角，且F1,F2的大小分別為 2 和 4，則F3的大小為 A. 6 B. 2 C.2.5D.2.7【解析】F32=FjF；-2F1F2cos(1800-60)=28，所以F3=2,7，選D.35. 09 浙江卷理】設向量a，b滿足：I a 1=3，| b|=4，a巾二0以a，b，a-b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為()w.w.w.k.s.5.u.c.o.A .3B.4C.5D.6【解析】對于半徑為 1 的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對于圓的位置稍一右 移或其他的變化，能實現4個交點的情況，但

14、5個以上的交點不能實現.36. 09 浙江卷文】已知向量a = (1,2)，b = (2, -3).若向量c滿足(c a)/b，c_ (a b)，則c =()A .G3 B.W)C.瞋D.已匕【解析】不妨設C =(m, n)，則a c = 1 m,2 n ,a b = (3, -1)，對于c a /b，則有77一3(1 m)二2(2 n)；又c - a b，則有3m - n = 0，則有m , n =9337. 09 北京卷文】已知向量a = (1,0),b = (0,1), c = ka b(k R),d=a-b，如果c/d，那A.k =1且c與d同向B.k = 1且c與d反向c.k - -

15、1且c與d同向D.k - -1且c與d反向丁 a =1,0i, b =0,1，若k=1，則 c=a：b=1,1, d=a_b=1,-1,顯然，a 與 b 不平行，排除 A、B.若k=-1，則 c=_a 亠 b-1,1,d=_a、b-1,1, 即 c/d 且 c 與 d 反向，排除 C,故選 D.38.【09 山東卷理】設 P是厶 ABC 所在平面內的一點，BC - BA=2BP，則（）A.PA PB = 0B.PC PA = 0c.PB PC = 0D.PA PB PC= 0【解析】：因為BC - BA =2BP，所以點P為線段AC的中點，所以應該選B。39. 【09 全國卷U文】已知向量 a

16、 = (2,1)， a b = 10， | a + b | =5. 2，則丨 b | =(A)(B)麗(C) 5(D) 25解析：本題考查平面向量數量積運算和性質，由a b = 5. 2知(a+b)2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 選 C。40. 【09 全國卷i理】設a、b、c是單位向量，且ab= 0,_則a-c* b-c的最小值為(D)(A)-2(B)、,2-2(C)-1(D)1-2-2解：a,b,c是單位向量a-c b-c=ab(ab)vc= 1-|a b|lc|=1-、2cos a b,c - 1 -、2故選D.41. 【09 湖北卷理】已知P =a | a = (1,0)

17、+m(0,1),R, Q =b |b = (1,1) + n(1,1), n R是兩個向量集合，則P I Q =A . 1，1 B. -1，1C. 1，0 D. 0，1【解析】因為a=(1,m) b=(1 -n,1 n)代入選項可得P Q二1,1 1故選A.42. 【09 全國卷u理】已知向量a =2,1 ,ab =10,|a b| = 5i 2，則| b | =A.5B.,10C.5D.25解：50 =|a b|a|22ab | b|2= 5 20 |b|2|b|= 5。故選C43. 【09 遼寧卷文】平面向量 a 與 b 的夾角為60，a = (2,0)，b =1則a+2b| =(A)、3

18、(B)2、3(C) 4(D)12【解析】由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a2+ 4a b+ 4b2= 4+ 4X2X1Xcos60+ 4 = 1244.【09 寧夏海南卷理】已知 o,N ,p 在占ABC所在平面內，且OA = OB = OC , NA+NB+ NC =0,且PAPB二PBPC二PC *PA，則點 O,N,p 依次是ABC的（A）重心外心垂心 （B）重心外心內心（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內心PAPB=PBPC,PA-PCPB=0,CAPB=0, CA_PB,同理，AP _ BC,. P為UABC勺垂心，選C.45.【09 湖北卷文】若向量 a= (1

19、 , 1), b= (-1,1), c= (4, 2),則 c= B46.【09 湖南卷文】如圖 1 , D , E, F 分別是厶 ABC 的邊 AB , BC , CA 的中點，則【AD BE CF =0BD -CF DF =0AD CE -CF =0BD - BE - FC =0解：AD =DB, AD BE =DB BE = DE = FC,得AD BE CF = 0，故選A.或AD BE CF二AD DF CF二AF CF = 0.a、b、c滿足| a鬥b|=| c|,a b = c,U：a,b二OBOCABC的外心；由NA NB NC =0知，O為.ABC的重心；A.3a+bB.

20、3a-bC.-a+3bD.a+3b47.【09 全國卷I文】設非零向量(A)150B)120(C)60(D)30【解析】本小題考查向量的幾何運算、考查數形結合的思想，基礎題。解：由向量加法的平行四邊形法則，知a、b可構成菱形的兩條相鄰邊，且a、b為起點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇 B。48.【09陜西卷BC 的中點,AM=1,點 P 在 AM上且滿足學PA=2PM，則科網4(B)34(C) 一 一 (D)3E4PA (PB PC)等于(A)-9解析：由AP =2PM知，p為ABC的重心，根據向量的加法，PB PC =2PM則AP(PB + PC)= 2APPM=2APPMCOSO=2幻=

21、49.【09 寧夏海南卷文】已知a -3,2 ,b -1,0，向量a，b與a-2b垂直，則實數的值為TTT T_ -)I=IbI IaI?sin r，即為以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積，故選2 1.43 39(A) _丄7【解析】向量11(B) ( C) 一一76.a b=(3 s., 1， 2 )，1,2)0，即 3+ 1 + 4 . = 0,1(D)6a_2b=(1,2)，因為兩個向量垂直,1、，故選.A。7故有(3， 1 ,解得:50.【09 福建卷文】設Tc為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足T Ta與b不共線,f fcI,則Ib?cI的值一定等于TA.以a，Tb為鄰邊

22、的平行四邊形的面積fTB.以b，c為兩邊的三角形面積T jc.a，b為兩邊的三角形面積TD.以b，TC為鄰邊的平行四邊形的面積T TT T解析假設a與b的夾角為，Ib?c=IbI ITT Tc|IcosI=Ib!cos(90051.【09 重慶卷理】已知a=1,|b=6,a(b-a)=2，則向量a與向量b的夾角是(【解析】因為由條件得a b -a1所以cos，?，所以:52.【09 重慶卷文】已知向量兀c.-32=2,所以a b=2 a =3 = a bcos：=1 6 cos ,= (1,1),b二(2,x),若a+ b與4b-2a平行，則實數x的值是A. -2B. 0 C.D. 2解法 1

23、 因為a =(1, 1)b,=(X ,所以a十b =( 3, x + 1) , 4 a=(6x4由于4b 2a平行，得6(x 1) 3(4x -2) =0，解得x =2。53.【09 安徽卷理】給定兩個長度為 1 的平面向量OA和OB，它們的夾角為120.如圖所示，點C 在以 o為圓心的圓弧AB上變動.若oc = xOA + yOB,其中x,y R,則x+ y的最大值是解析設一AOC =工0L兀二x y = 2cos_：cos(120) = cos：3 sin：- 2sin( ) _ 2654.【09 安徽卷理】在平行四邊形 ABCD 中，E 和 F 分別是邊 CD 和 BC 的中點，若AC=

24、 AE+AF,AC二AB AD, AE = AD - - AB, AF = AB -AD 2 2AE AF =3(AB AD) =3AC，二AC上(AE AF )，- 22332,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若AD二xAB yAC,J6解析 作DF _ AB,設AB = AC=1=BC二DE= 2,DEB =60 ,. BD=二2由.DBF =45解得DF = BF衛遼差,故x二2 2 2 256.【09 天津卷文】若等邊ABC的邊長為2 3,平面內一點M滿足二二 WN. 彳 三二 hQ 三三hz=NCM =1CB2CA,則MA MB二_.63【解法二】延長AM交BC于F則由：AM A

25、FC得ME AE 1- 1 1 “及CDCB知CF CB,FC AC 362所以，F為BC的中點，因為等邊ABC的邊長為2、3,所以，AF =3,AM=】AF =1,MF =2,BM=才73OCOA = xOAOA亠yOB *OA,OCOB = xOA *OB yOB * OB,I1cos x y，即201cos(120) x y255.【09 湖南卷文】如圖43,T4則X =，yDcos.AMB-MFBF/ o MA MB = MA MB cosNAMB =1匯-I【解法三】由解法二知F為BC的中點，AF =3,以F為坐標原點，BC, FA所在直線為坐標軸建立直角坐標M 0,2 ,A 0,3

26、 ,B-、3,0.MA二0,1 ,MB二-x3, -2則MA MB二0,1-,3,=-2.57.【08 湖北卷文】設 D E、F 分別是 ABC 的三邊 BC CA AB 上的點，且DC =2BD,CE =2EA, AF =2FB,則AD BE CF與BCA.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直由定比分點的向量式得:AD；AC+2ABJAC+2AB1 +233 i=- BE込BC BA,CF近CA二CB,以上三式相加得AD BE CF-1嚴,所以選 A.58.【08 廣東卷文】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F.若AC

27、二 a ,BD二 b,貝U AF1A.a42B. a3C.1a1b2459.【09 浙江卷】 已知a,b 是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a c)，(b c) = 0,則c的最大值是)C A.1B.2C.60.【07 湖北卷】= (4,3), a 在b上的投影為5、2,b在x軸上的投影為22, 且| b|14，則b( B)A. (2,4)C.-2,2.27.(2,8)61.【07 天津卷】設兩個向量a= CJ2, - cos2:)和b =m,msin -：J,其中，m,：為實I 2丿數若a = 2b，則一的取值范圍是(m)A的正弦與余弦公式，考查運算和證明得基本能力。滿分14 分

28、a =(sin包一2)與b =(1,cos)互相垂直，其中(1)求si nr和COST的值(2)若5cos(J-)=3.5 cos,0：: ，求cos的值2v v v v解(1)Q a _ b,. ag) = sin v - 2cos v - 0,即sin v - 2cos v2222124又：sin rCOST-1,4cos cos -1,即cos，二sin -55(2) /5cos( v - J = 5(cos v cos亠sin sin) =. 5cos亠2、5sin=3、，5cox1-cos二sin:,.cos2即=sin2即=1 cos2 :,即cos22又0，二cos 2 264.【09 江蘇卷】設向量a=(4cos,sin)，b = (sin：,4cos：), c = (cos：,-4sin：)(1) 若a與b-2c垂直，求tan(x亠壯)的值；(2) 求|b c|的最大值；(3)若tan : tan：=16，求證：a/b.解析 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數的基本關系式、二倍角的正弦、兩角和A.-6,1B. 4,8c. (-6,1D.-1,662.【06 四川卷】如圖,已知正六邊形PP2P3P4P5P6，下列向量的數量積中最大的是(