1、 1.2 兩個特殊的線性空間兩個特殊的線性空間 一一. Euclid空間的定義與性質(zhì)空間的定義與性質(zhì) 定義定義1.20 設(shè)設(shè)V 是實數(shù)域是實數(shù)域R 上的線性空間，對上的線性空間，對于于V 中任二元素中任二元素 x與與y ，按某規(guī)則定義一個實，按某規(guī)則定義一個實數(shù)，用數(shù)，用 (x, y) 表示，且它滿足下列四個條件：表示，且它滿足下列四個條件： (1) ( , )( , );(2) (, )( , )( , );(3) (, )( , ),;(4) ( , )0,0( , )0.x yy xxy zx zy zkx yk x ykRx xxx x 當(dāng)且僅當(dāng)時，稱稱V 為為Euclid空間，簡稱空

2、間，簡稱歐式空間歐式空間或或?qū)崈?nèi)積空間實內(nèi)積空間. 例例1. 在在 中，對任意兩個向量中，對任意兩個向量 ，規(guī)定，規(guī)定例例2. 在在 C(a,b)中，對于任意兩個連續(xù)函數(shù)中，對于任意兩個連續(xù)函數(shù) 規(guī)定規(guī)定1. 在同一線性空間中，可以定義不同的內(nèi)積。在同一線性空間中，可以定義不同的內(nèi)積。例如例如在在 中，中，nRnx,21ny,21Tnnxyyx2211,)(),(tgtfbadttgtftgtf)()()(),(2R1 122, x y 1 1122221,2x y 2. 在給定的線性空間中，同一方式定義的內(nèi)在給定的線性空間中，同一方式定義的內(nèi)積也可能因基選取的不同而不同。積也可能因基選取的不

3、同而不同。例如例如 在在 中，向量中，向量 x，y在基在基下為下為 在基在基 下為下為則按照例則按照例1 定義的內(nèi)積有定義的內(nèi)積有2R 1,0 , 0,1E 12,xx x12,yy y 1,0 , 1,1F 122,xxx x122,yyyy1122,Ex yx yx y121222,Fx yxxyyx y例3 在在 Rm n 中，對于它的任意兩個矩陣中，對于它的任意兩個矩陣 ，規(guī)定，規(guī)定內(nèi)積性質(zhì)內(nèi)積性質(zhì)1 性質(zhì)性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)3 ),(ijaA)(ijbB minjTijijABtrbaBA11)(,yxkkyx,(),0), 0()0 ,(xxminjjijinjjjmiiiyxlkyl

4、xk1111),(, 性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì)52( , )( , )( , )x yx xy y( ,)( , )( , )x yzx yx z（Cauchy-Schwars不等式），特別的不等式），特別的在在 中，有中，有在在 中，有中，有 定義定義1.21 在歐式空間在歐式空間V 中，非負實數(shù)中，非負實數(shù)稱為稱為V 中元素中元素 x的長度（或模，范數(shù)）記為的長度（或模，范數(shù)）記為（或（或 ）.xx),(xxnRC(a,b)222111nnniiiiiiix yxy 222bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 性質(zhì)性質(zhì)：(1)(2)(3)00.kxk xxyxyxx當(dāng)且僅當(dāng)時，

5、等號成立 定義定義1.22 V中非零元素中非零元素 的夾角的夾角 規(guī)規(guī)定為定為yx與yx,( , ),arccosx yx yxy2 正交性正交性 定義定義1.23 如果對于歐式空間中的兩個元素如果對于歐式空間中的兩個元素與與 y 有有(x, y)=0，則稱，則稱x與與y 正交正交或或垂直垂直，記為，記為x y . 定義定義1.24 如果歐式空間中一組元素兩如果歐式空間中一組元素兩兩正交，則稱為兩正交，則稱為正交元素組正交元素組. 定理定理1.29 如果如果V中元素中元素 x與與y 正交，則有正交，則有x222xyxy推廣推廣：若元素組：若元素組 是正交元素組，則是正交元素組，則有有 定理定理

6、1.30 設(shè)設(shè) 是非零正交元素是非零正交元素組，則它們必線性無關(guān)組，則它們必線性無關(guān). 定義定義1.25 在歐式空間在歐式空間Vn中，由中，由n 個非零元個非零元素組成的正交元素組稱為素組成的正交元素組稱為Vn 的的正交基正交基；由單位；由單位元素組成的正交基稱為元素組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基或或規(guī)范正交規(guī)范正交基基.mxxx,2122221212mmxxxxxxmxxx,21 定理定理1.31 對于歐式空間對于歐式空間 Vn的任一基的任一基 都可找到一個標(biāo)準(zhǔn)正交基都可找到一個標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 例例1.29 試將元素組試將元素組 （P2的基）正交單位的基）正交單位化，規(guī)定內(nèi)積為化，規(guī)定

7、內(nèi)積為 解解 nxxx,21nyyy,212, 1tt10)()()(),(dttgtftgtf211) 1 , 1 (), 1 ()(, 1)(21ttttftf61),(),(1)1 , 1 ()1 ,()(222222223ttffffttttf單位化單位化得得)61(23,332, 12321ttgtgg例例 求求 的子空間的子空間上的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。上的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：可以看出解：可以看出 是一個是一個基基 ，正交化后得，正交化后得單位化后得單位化后得 即為一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。即為一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。 3R, ,|230Wx y zxyz13,0,1 22,1,0 13,0,1 211,

8、5,35113,0,110211,5,335四四. 酉空間介紹酉空間介紹 定義定義1.29 設(shè)設(shè)V 是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域 C 上的線性空間，對上的線性空間，對于于 V 中任意兩個元素中任意兩個元素 x 與與 y ，按某規(guī)則有一復(fù)，按某規(guī)則有一復(fù)數(shù)數(shù) (x,y) 與之對應(yīng)，它滿足下列四個條件與之對應(yīng)，它滿足下列四個條件_(1) ( , )( , )(2) (, )( , )( , )(3) (, )( , )(4) ( , )0,0( , )0.x yy xxy zx zy zkx yk x yx xxx x當(dāng)且僅當(dāng)時，實數(shù)則稱則稱 (x, y) 為元素為元素 x與與y 的內(nèi)積，而稱的內(nèi)積，而稱 V

9、 為為酉空酉空間（或復(fù)內(nèi)積空間）間（或復(fù)內(nèi)積空間） 例例 在復(fù)在復(fù)n 維向量空間維向量空間 Cn中，對于任意中，對于任意兩個向量兩個向量定義其內(nèi)積為定義其內(nèi)積為 性質(zhì)性質(zhì)：),(),(2121nnyxHnnxyyx2211),(),(,)3(0), 0()0 ,()2(),(),() 1 (1111minjjijiminjjjiiyxyxxxyxkkyx（4） 稱為元素稱為元素 的長度（模），仍記的長度（模），仍記為為 （或（或 ）),(xxxxx),)(,(),)(,()5(yyxxxyyx （即即Cauchy-Schwars不等式）不等式） （6）兩個非零元素）兩個非零元素 x 與與 y 的夾角的夾角 定義為定義為yx,),)(,(),)(,(,cos2yyxxxyyxyx當(dāng)當(dāng) (x, y)=0 時，稱時