1、第 9 講函數的圖象與性質考情分析高考對函數的圖象與性質的考查主要體現在函數的定義域、值 域、解析式、單調性、奇偶性、周期性等方面，題型以選擇題、填空題為主，一 般屬于中檔題函數圖象考查比較靈活，涉及知識點較多，且每年均有創新，試 題考查角度有兩個方面，一是函數解析式與函數圖象的對應關系；二是利用圖象 研究函數性質、方程及不等式的解等，綜合性較強函數的零點主要考查零點所 在區間、零點個數的判斷以及由函數零點的個數求解參數的取值范圍；函數的實 際應用問題常以實際生活為背景，與最值、不等式、導數等知識綜合命題.熱點題型分析熱點 1 函數的圖象及其應用方法結論-7-1. 辨識函數圖象的兩種方法直接根

2、據函數解析式作出函數圖象，或者是根據圖象變換作出函數的圖 象此類問題往往需要化簡函數解析式，利用函數的性質仲調性、奇偶性、過定點等)判斷.(2)利用間接法排除、篩選錯誤與正確的選項，可以從如下幾個方面入手：由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域(或有界性)，判斷圖象的上下位置；由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；由函數的奇偶性， 判斷圖象的對稱性；由函數的周期性，判斷圖象的循環往復；從特殊點出發， 排除不符合要求的選項.2函數圖象的應用利用函數圖象研究函數的性質.對于已知或容易畫出在給定區間上圖象的 函數，其性質 仲調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助函數的圖象來 研究，

3、但一定要注意函數的性質與圖象特征的對應關系.(2) 利用函數圖象研究不等式.當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有 關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上下關系問題，從而利用數形結合思想求解.(3) 利用函數圖象研究方程根的個數.當方程與基本函數有關時，可以通過函 數圖象來研究方程的根，方程 f(x)= 0 的根就是函數 f(x)的圖象與 x 軸的交點的橫坐 標，方程f(x) = g(x)的根就是函數 f(x)與 g(x)圖象的交點的橫坐標.【題型分析】Ixxe e1.(2018 全國卷U)函數f(x)= 廠的圖象大致為()答案B解析xxee.XM0,f(x)=x= f(x), f(x)為

4、奇函數，排除 A;Tf(1)= e e10,二排除 D;.(x)=e+e x4ee 2x xx 2 e+ x+ 2 ex3x? x2, f (x)0,A排除 C;因此選 B.2.(2019 山西大學附中診斷)函數In x+ 1 x + 2x, x 0, f(x) =,2x+ 1, x0,所以有一個交點.又方程 2x+ 1= 0 的根為 x= -0, 故函數 f(x)=的零點個數為 2.故選 C.k2x+ 1，x0 的限制 條件而錯選 D.熱點 2 函數的性質及其應用方法結論- V-1.函數三個性質的應用(1) 奇偶性：具有奇偶性的函數在關于原點對稱的區間上其圖象、函數值、解析式和單調性聯系密切

5、，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區間上，尤其注意偶函數 f(x)的性質：f( x)=f(x).(2) 單調性：可以比較大小，求函數最值，解不等式，證明方程根的唯一性.(3) 周期性：利用周期性可以轉化函數的解析式和性質， 把不在已知區間上的問題，轉化到已知區間上求解.2四招破解函數的單調性(1) 對于選擇題、填空題，若能畫出圖象，貝般用數形結合法.(2) 對于由基本初等函數通過加、減運算或復合而成的函數，常轉化為基本初 等函數的單調性問題來解決.(3) 對于解析式為分式、指數式、對數式等較復雜的函數常用導數法.(4) 對于抽象函數一般用定義法.3.三招判斷函數奇偶性(1) 奇函數的圖象關

6、于原點對稱，偶函數的圖象關于 y 軸對稱.(2) 確定函數的奇偶性，務必先判斷函數的定義域是否關于原點對稱. 對對于偶函數而言，有 f(-x) = f(x) = f(|x|).【題型分析】I1定義在 R 上的奇函數 f(x)滿足 f(x+ 2)= f(x)，且在0,2)上單調遞減，則下 列結論正確的是()A.Ovff(3)B . f(3)0f(1)C.f0f(3)D . f(3)f(1)f(0)f(1)，故選 C.取值范圍是_ .答案4+x解析 由題意，令 g(x) = f(x) + f x1，32x + 2，x 1，函數 g(x)在區間(一 x,0,，0,1，2，+x三段區間內均單調遞增，且

7、12.(2017 全國卷川)設函數 f(x)=x+ 1，x0，則滿足 f(x) + f x11 的 x 的=1,20+ 0 + 2 1， 1+于 22 1,據此 x 的取值范圍是4，+ .3. (2019 青島調研)已知定義在 R 上的偶函數 f(x)滿足 f(x+ 2) = f(x)，當 x 0,1時，f(x) = ex 1,貝 u f(2018)+ f( 2019)=_.答案 e 1解析Tf(x)是 R 上的偶函數， f( 2019)=f(2019), f(x+ 2)= f(x),Af(x)的周期為 2,又 x 0,1時，f(x) = ex 1; f(2018)= f(0) = 0, f(

8、 2019)= f(2019)=f(1)= e 1. f( 2019)+ f(2018) = e 1.I【誤區警示】I第 1 題不能正確求出函數的最小正周期而導致 f(3)的值求錯，易錯選 D.第 2 題易錯點有二：一是分段函數 f x 2 的解析式與定義域易錯，導致 f(x) + f x1的 解析式不明確而無從下手；二是解不等式時忽略定義域的范圍限制而出錯熱點 3 函數零點與方程的根方法結論V1判斷零點個數的常用方法(1) 直接求零點：令 f(x) = 0,則方程解的個數即為零點的個數.(2) 零點存在性定理：利用定理不僅要求函數 f(x)的圖象在區間a, b上是連 續不斷的曲線，且 f(a

9、)f(b)0,還必須結合函數的具體圖象與性質(如單調性、奇偶 性)才能確定函數有多少個零點.(3) 利用圖象交點的個數： 畫出相應函數的圖象， 看圖象交點的個數， 有幾個 交點，就有幾個零點.2. 利用函數零點求參數的取值范圍(1) 直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式， 再通過分解不等式確定參數范圍.(2) 分離參數法：先將參數分離，轉化為求函數最值問題加以解決.(3) 數形結合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解.【題型分析】I1函數 f(x) = 2x|log0.5X1 的零點個數為()A.1 B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 函數

10、f(x) = 2x|logo.5x| 1 的零點個數？方程|logo.5x| = 2x= )的根的個 數?函數 yi=|logo.5x|與 y2=知兩個函數圖象有兩個交點，故選B.2 , x, 0 x1.x1;x+ a(a R)恰有兩個互異的實數解，則 a 的取值范圍為()答案 D一 1解析 如圖，分別畫出兩函數 y=f(x)和 y= _x+ a 的圖象.9-49-4 9-49-45-5-44-44- 5-5- V V9-49-4 9-49-45 5一4 44 45 5一A A B BD D(1)先研究當 OWx 1 時，直線 y= -x+ a 與 y = 2 x 的圖象只有一個交點的1情況.

11、當直線 y= &x+ a 過點 B(1,2)時，1992= 4+ a,解得 a=9.所以 Owa1 時，直線 y= 4X+ a 與 y=x 的圖象只有一個交點的情況：1相切時，由 y=貴=4，得 x= 2,此時切點為 i2,舟，貝 U a= 1.112相交時，由圖象可知直線 y= 4X+ a 從過點 A 向右上方移動時與 y=1 的155圖象只有一個交點過點 A(1,1)時，1 二一 4+ a,解得 a=5.所以 a4.結合圖象可得，所求實數 a 的取值范圍為 5, 4，U1 故選 D.【誤區警示】I第 1 題易錯在不能把函數的零點轉化為方程|logo.5x|= 1x的根，進而利用指

12、數、對數函數的圖象交點來解決問題；第 2 題利用數形結合思想，轉化為直線與 曲線交點的問題，易錯點有二：一是分段函數圖象在定義域的分界點易忽略；二 是直線平移的臨界位置(區間端點和切點)能不能取到.熱點 4 函數的實際應用方法結論L - y_- 函數有關應用題的常見類型及解決問題的一般程序：(1)常見類型：與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環保等實 際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題.應用函數模型解決實際問題的一般程序：讀題,建模,求解、反罠文字語言數學語言數學應用?檢驗作答(3)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數解析式， 然后應用函數、方程、不等式和

13、導數的有關知識綜合解答.I【題型分析】某食品的保鮮時間y(單位： 小時)與儲存溫度 x仲位：C)滿足函數關系y= ekx+b(e = 2.718為自然對數的底數，k,b 為常數)若該食品在 0C的保鮮時間是 192 小時，在 22 C 的1保鮮時間是 48 小時，則該食品在 33 C 的保鮮時間是_小答案 24feb= 192,解析由題意得 彳22k+bQ = 48,11k133k+b11 k、3 b1e _2，當 x_ 33 時，y_e _ (e ) e _gX192_24.【誤區警示】I本題易錯點有二：一是指數式的運算e22k+b_ e22keb能否正確運用；二是利用e11k_扌扌整體代換

14、的技巧而求解本題.真題自檢感悟1.（2018 浙江高考）函數 y_2|x|sin2x 的圖象可能是（）答案 D解析 令 y_ f(x)_ 2|x|sin2x, f(-x)_ 2Hx|sin( 2x)_ 2x|sin2x_- f(x)，所以 f(x)為奇函數，排除 A , B ;當 x (0,n時，2|x|0, sin2x 可正可負，所以 f(x)可正 可負，排除 C.故選 D.2.(2018 全國卷U)已知 f(x)是定義域為()的奇函數，滿足 f(1 x)_f(1 + x) 若 f(1)_2,則 f(1)+ f(2) + f(3) + + f(50)_ ()A. 50 B. 0 C. 2 D

15、. 50答案 C解析 因為 f(x)是定義域為(一, 的奇函數，且 f(1 x)_f(1+ x).所以 f(1 + x)_ f(x 1),所以 f(3 + x)_ f(x+ 1)_ f(x 1)，所以 T_ 4,因此 f(1) + f(2) + f(3) + +f(50) _ 12f(1)+ f(2) + f(3) + f(4) + f(1) + f(2)，因為 f(3) _ f(1), f(4) _ f(2)，所以 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4) _0,因為 f(2) _f( 2)_ f(2)，所以 f(2) _0,從 而 f(1)+ f(2)+ f(3)+f(50)_f(1)

16、_ 2,選 C.3._(2019 全國卷U)已知 f(x)是奇函數，且當 x0，則x0.當 x0,函數x+2ax+a,xW0,2c c 若關于 x 的方程 f(x) = ax 恰有 2 個互異的實數，x2+ 2ax 2a, x0.解，則 a 的取值范圍是答案(4,8)x2+ ax+ a, x0.依題意，方程 f(x)= ax 恰有 2 個互異實數解，等價于 g(x)= 0 恰有 2 個互異 實數解.a2af門x+2+a4，xW0, ,2其中 a0,所以只需a2a c c-lx2 丿+42a,x0,專題作業一、選擇題1. (2019 全國卷U)設 f(x)為奇函數，且當 x0 時，f(x)= e

17、x 1,則當 x0 時, f(x)二()A.ex 1C. ex 1答案 D 解析 當 x0，:當 x0 時，f(x) = e 1 , f(x)= ex 1.又： f(x)為奇函數， f(x)= f( x)= ex+ 1.故選 D.2. (2019 華南師大附中一模)給出下列四個函數：3xf(x)=2x2x；f(x)=xsinx:f(x)=Iog3;解析 令 g(x) = f(x) ax= *又因為g(x)二a70,2a2a，易解得 4a0,a23Ix f(x)= x+ 3|-x-3|.其中是奇函數的編號為()A.B C.D 答案 B解析 對于，f(- x)= 2-x 2x二一(2x- 2-x)

18、二一 f(x)，所以是奇函數；對于，f(-x)= (-x) sin(-x) = xsinx= f(x),所以是偶函數；對于,3 x=-log33+x =- f(x),所以是奇函數；對于，f(-x)=| x+ 3|-1-x- 3|= x-3|x+ 3|= (|x+ 3|x 3|)= f(x)，所以是奇函數.故選 13. 函數 f(x) = ln (x+ 1) -的一個零點所在的區間是(xA.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案 B13解析 ：f(1)= ln 2- 10,的零點所在的區間是(1,2).故選 B.4. 在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量

19、濃度(單位：mol/L， 記作H+)和氫氧根離子的物質的量濃度(單位：mol/L，記作OH-)的乘積等于常 數 10-14.已知 pH 值的定義為 pH = lg H+,健康人體血液的 pH 值保持在 7.357.45 之間(包含 7.35 和 7.45),那么健康人體血液中的(參考數據：lg 20.30, lg 30.48)八1JA.2B.31 1C.6D%答案 C解析 設健康人體血液的 pH 值為 x(7.35x7.45),則根據 pH= lg H+ 可得H+ =10-x.又H+ OH- = 10-14,所以健康人體血液中的OH* = 10也=晉帀142x0 90 7=10 1010.因為

20、 lg 2 0.30, lg 3 0.48,所以 lg 6= lg 2 + lg 3 0.78,1 1f( - X)二 lOg33+xB.1函數 f(x)= ln (x+ 1)-x所以 lg討-lg 6- 0.78,所以10-0.78.結合 10-0.7810-0.9,10-0.7可知健康人 體血液中的OH*可以為 g 故選C.5. (2017 全國卷I)函數 f(x)在( x,+x)單調遞減，且為奇函數.若 f(1)=-1,則滿足K f(x 2) 1 的 x 的取值范圍是()A. 2,2 B. 1,1 C. 0,4 D . 1,3答案 D解析 ：f(x)為奇函數， f( x)二f(x). f

21、(1)= 1,二 f( 1)= f(1) = 1.故由一 1wf(x 2)w1,得 f(1)wf(x 2)wf( 1).又 f(x)在(x,+x)單調遞減，.一 Kx21, K x 3.故選 D.6. (2017 天津高考)已知奇函數 f(x)在 R 上是增函數，g(x) = xf(x).若 a= g(log25.1), b = g(20.8), c= g(3)，則 a, b, c 的大小關系為()A.avbvcB.cvbvaC.bvavcD.bvcva答案 C解析 依題意 a = g( Iog25.1) = ( log25.1)f(- log25.1) = Iog25.1f(log25.1)

22、=g(log25.1).因為 f(x)在 R 上是增函數，可設 0vX1X2,則 00,20.80,30,且 log25.1vlog28=3,20.8v21v3, 0 8 1而 2.v2=log24vIog25.1,所以 3log25.1 20.80,所以 cab.故選 C.7. (2019 河北武邑中學調研)已知函數 f(x) = x2兇，則函數 y=f(x)的大致圖入象為（）答案 A 解析由題意可知函數的定義域為(一, 0)U(0,+x),:函數 f(x) = x2lnXXl,入 f( x) = x2+呼，即 f( x)工 (x),函數 f(x)為非奇非偶函數，排除 B 和 C,當x=-e

23、 時，f一8. (2019 遼寧部分重點高中聯考)已知函數 f(x)為定義在 3, t 2 上的偶函 數，且在3,0上單調遞減，則滿足 f( x2+ 2x 3)f x2+5 的 x 的取值范圍是()A.(1 ,)B (0,1 C. (1, V2D. 0，屆答案 C解析 因為函數 f(x)為定義在3, t 2上的偶函數，所以一 3 +1 2= 0, t= 5,所以函數 f(x)為定義在3,3上的偶函數，且在3, 0上單調遞減,所以 f( x2+ 2x 3)f x2+ 5 等價于2 2f( x2+ 2x 3) x2 1 3,1xf(3)的解集為( )A. 3,3 B. 2,4 C. 1,5 D .

24、 0,6答案 B解析 因為 f(x)是定義在2b,3+ b上的偶函數，所以有一 2b + 3+ b = 0,解 得b= 3,由函數 f(x)在 6,0 上為增函數， 得 f(x)在(0,6 上為減函數.故 f(x 1)f(3) ? f(|x1|)f(3)? |x 1|3,故2x4.八八 - -2e = e e2 時，logaixw2,且 a 氏 11, logiaw2,|a|2w2，則舊舊| |=，又 一鑒 aw12 2X111.已知函數 f(x)=兇+ 2 2(x1在 R 上有最大值，則 a 的取值范圍為)A-返2 ，C2C. 2，AC.答案B.-1，-2D.歩歩0解析 f(x)= Iog2

25、(ax 1)在(3, 2)上為減函數，.宀a0,12,當 x1解析 設 f(x)關于 y 軸對稱的函數為h(x) = f(x) = x+ 2x2(x0),則由題意D. 2 2,_1可得方程 h(x)= g(x)(x (0,+x)有解，即方程 2x空空=Iog2(x+ a)(x (0,+x)_i有解，作出函數 y=2x2, y= Iog2(x+ a)的圖象如圖，當 a0 時，若兩個圖象在(0，+x)上有交點，則1Iog2a2，0a .2，綜上可得 a0 且 a 1)有且只有 4 個不同的根，則實數 a 的取值范圍是()A. 4, 1B - (1,4)C.(1,8)D.(8，+x)答案 D解析 因為? x R，f(x+ 2) = f(2 x)，所以 f(x+ 4) = f2 + (x+ 2) = f2 (x+2)二 f( x)二 f(x)，所以函數