1、數學試題設計與復習備考一、對數學復習備考的認識1、 備考復習是較為艱巨的過程2、 復習中有一種不正確的觀念：總認為學生學習不得力，教師用做題的方式來強化學生的學習。認為高考題不好琢磨，常考常新。無論是學生還是高考命題，這都不是主要原因，其實在高考復習過程中，教師才是關鍵。道理很簡單：只有教師了解全部考試內容，知道主干和一般原則，懂得工具的使用和如何思考問題；教師備考資源比較豐富，明白解決問題的策略，且具有創造性的本能；教師基本知道考試的方向。在復習中，教師的具體作用在哪里？在了解學生的基礎上組織復習；如何使自己知道的交給學生也能知道；如何對數學問題進行組織這是最重要的。2、研究復習備考，需不需

2、要關注考試信息？要圍繞“猜”、“壓”做文章的心理。其實這些不重要，高考不僅是在考學生，同時也是在考老師。備考研究主要研究三個方面：一是備考的指導思想，即通過分析考題和學生現狀，搞清楚如何組織復習，這是思想性的。二是備考的策略交流分享，了解大環境下的備考形勢，便于在自己的備考過程中進行完善。三是在問題選擇上進行探討，如何用最少的問題來獲得復習的高效益。試題內容選擇心理：心理原則一：選擇的內容必須具有代表性，選擇實際上意味著“強調”。努力使試題都是若干可共選擇的同類試題中的代表，出一道好題應具有“綱舉目張”的功能，使整個體系抖動起來。心理原則二：選擇的內容必須是重點，選擇實際上意味著“強化”。努力

3、使試題能找到實際教學的影子。心理原則三：選擇的內容應是有利于學生鞏固和加工經驗。選擇實際上意味著“誠信”。基礎復習有三個遵循原則：原則一：改錯辯證地看，學習的意義在于做錯了題，只有錯題才能反映學習過程中的不足。原則二：研究要研究典型題。選擇的題都要深入思考，找到一類題共同的考點。原則三：糾偏補短就是讓頭腦中有完整的知識網絡。要在知識點間建立聯系，形成知識網絡。3、復習不是炒現飯。要在原有基礎上加工、改造，是具有造血功能的過程。“復”指又、更、再的意思，也指還、返的意思，復習不是重復的學習，而是具有加工、改造的學習。要利用數學本身的邏輯性、抽象性和學生反映的錯誤性作為主要備考資源。邏輯性：語言的

4、準確轉譯和數學問題的科學表征；抽象性：具有概括、聯系、創新的功能。錯誤性：由學生思維慣性引起。“觀察、聯想、變換”是解題的本質，其中“變換”是關鍵。復習中組織恰當的問題讓學生進行經驗的改造，不僅擺脫了題海，少做多獲，更是效率的保證。正如波利亞所說：一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題,就好像一道門，把學生引入一個完整的理論領域。二、對數學高考的認識這些年高考題已形成了一些穩定的風格：結構穩定：三大題型格局不會改變，題型、題量、分值基本穩定，實測難度大都控制在0.60左右。重點突出：突出五大能力和兩個意識，突出數學主干和數學思想方法

5、，突出數學與現實生活的聯系。技術成熟：以考試說明為依據，不拘泥于教材，在知識交匯處設計命題，能力立意，難度穩定，增加思考時間。對選、填、解的設計從易到難出現3個小高潮，試題切入容易但深入難，大題幾乎都是階梯題。選擇題的特點：概念性強，術語、符號、習慣用語都有明確具體含義。量化突出，定量試題比例較大，計算中蘊含了對概念，原理，性質和法則的考查。充滿思辨性，源于數學的高度抽象性、系統性和邏輯性。填空題特點：短、小、靈，考查目標集中。解答題特點：考點目標較多，綜合性強，難度較高。總體上突出通性通法，淡化特殊的技巧，基本上沒有思路比較狹窄和有歧義的試題，起點低落點高。高考試題難度呈現的特點1、閱讀量較

6、大：(2011粵理21題)已知拋物線C:4y=x2,實數p、q滿足p2-4q0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根，記6(P,q尸max|x1|,|x2|.過C上橫坐標為p0(w0)的點A作C的切線交y軸于點B.證明：對線段AB上的任一點Q(p,q),有6(p,q)=|p0|/2;設M(a,b)是定點，其中a、b滿足a2-4b0,aw0.過點M作C的兩條切線11,12,切點分別為E(p1,y1),E/(p2,y2),l1,l2與y軸分別交于F,F/.線段EF上異于兩端點的點集記為X,證明：M(a,b)CX等價于|p1|p2|等價于6(a,b)=|p邛2;設D=(x,y)|y(x+1)2/

7、4-5/4,當點(p,q)取遍D時，求6(p,q)的最小值(記為。min)和最大值(記為()max).2、變量較多：(2014年粵理7題)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l1l2,l2l3,則下列結論一定正確的是()A.l1l4B.l1/l4C.l1,l2既不垂直也不平行D.l1,l2的位置關系不確定3、證明艱澀：(2010年粵理21題)設人(*11),B(x2,y2)是平面直角坐標系xoy上的兩點，現定義由點A到點B的一種折線距離為p(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1,對于平面xoy上給定的不同的兩點A(x1,y1),B(x2，y2)若點C(x,y)是平

8、面xoy上的點，試證明：p(A,C)+p(C,B)p(A,B);(2)在平面xoy上是否存在點C(x,y),同時滿足p(A,C)+p(C,B)p(A,B)p(A,C尸p(C,B)若存在，請求出所有符合條件的點，請予以證明。4、問題抽象：(2013年粵理8題)設整數n4,集合X=1,2,3,n。令集合S=(x,y,z)|x,y,zCX,且三條件xyz,yzx,zx2)個不同排列P1P2Pn中，若1wiwjwm時，PiPj(前面某數大于后面某數),則稱Pi與Pj構成一個逆序。一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數。記排列(n+1)n(n-1)321的逆序數為an。如21的逆序數a1=1;432

9、1的逆序數a3=6。求a4,a5和an;令bna-a,證明：2nbb2Lbn2n3an1an本題以高等代數的逆序概念為背景，取其特殊情形，考查數列、不等式等知識和基本推理運算。對于給定高等數學中的某個數學概念的初等定義問題，要在理解定義的內涵和外延上下功夫，通過定義對命題作出判斷三、初等數學高等化：對任意兩個實數對(a,b)和(c,d),規定(a,b)=(c,d)當且僅當a=c,b=d。運算。為：(a,b)O(c,d)=(ac-bd,bc+ad)運算為：(a,b/(c,d)=(a+c,b+d)設p,qCR,若(1,2)O(p,q)=(5,0),則(1,2)X(p,q)=()A.(4,0)B.(

10、2,0)C.(0,2)D.(0,4)運算結果p=1,q=-2,選B。以抽象代數中運算系統為背景，要求考生理解新的規定和算理并做出合理的推理。初等數學高等化要求考生運用初等知識解決高等數學語言描述的初等問題，要細心閱讀、深刻理解給定的規定，要拋棄原有的知識局限，作出合乎要求的操作。三、數學題設計策略（一）數學問題設計舉例1、角度原則：圓O：x2+y2=r2（r0）和直線l:kx-4y+m=0。若m=10,k=3,圓O上僅有兩個點到直線l的距離為1,求r的取值范圍。若m=10,k=3,圓O上僅有三個點到直線l的距離為1,求r的取值范圍。若m=10,k=3,圓O上僅有四個點到直線l的距離為1,求r的

11、取值范圍。若r=2,k=3,圓O上僅有四個點到直線l的距離為1,求實數m的取值范圍。若r=2,k=3,直線l上至少存在一點使得以該點為圓心、1為半徑的圓與圓。有公共點，求實數m的取值范圍。若r=2,m=16,直線l上至少存在一點使得以該點為圓心、1為半徑的圓與圓O有公共點，求實數k的取值范圍。把圓中“形”的概念轉譯到數的推理中，強化認識的增值。2、加固原則問題1：數列an是公差不為0的等差數列，an的部分項組成的數列恰為等比數列，如果k1=1,k2=5,k3=17,求kn。鞏固基本數列概念，拓展思維空間，融知識與方法之中，訓練轉化能力。問題2：各項都為正數的等差數列an的公差不為0,設a1,a

12、3,a7是公比為q的等比數列bn的前三項，若首項a1=2,將數列an與bn中相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數列cn,設其前n項的和為Sn，求2n1n1S2nn123g2的值。易知an=n+1,bn=2n,數歹Ucn前2n-n-1項的和正好是數列an前2n-1的和減去數列 bn前n項的和，余下的項正好是（2n-1）-n=2n -n-1,S3 2n n 1(2 n 1 )(22 n )22( 12 n )12所以加大經驗改組水平，體驗數學活動經驗的獲得，訓練表征能力3-概括原則一一曲線中定值、定點問題（難點）問題1:在圓中，直徑所對圓周角是直角，那么兩直角邊所在直線的斜率乘積為-1。在橢圓中，

13、過中心的弦交橢圓于A、B,P是橢圓上異于A、B的任意點，那么PA,PB所在直線的斜率乘積是多少？可以證明：kpagkpba（當e=0時，是圓，將b2換成-b2就是雙曲線問題）提供經驗對比，創設發現新經驗的活動環境.PA（P在第一象限），過P作問題2：（江蘇2011年理18題）：設M、N是曲線2x2+4y2=8的左頂點、下頂點，過中心的弦為x軸的垂線，垂足為C,直線AC交橢圓于B,設直線PA的斜率為k,當直線PA平分線段MN時，求k的值；當k=2時，求點P到直線AB的距離；對任意的k0,求證：PAXPB.【3問：設P(x,kx),則C(x,0),A(-x,-kx),因為PA是直徑，所以kBPkB

14、A=-0.5,而kBA=kAC=0.5k,所以kPAkPB=-1】鞏固發現成果，在具體活動中增強數學活動的興趣。3、“顯函數”與“隱函數”相關變量一一主變量與相關變量問題1:(2013山東理)正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,212當里取最大值時，求工一三的最大值。Z【分離變量，z=x2-3xy+4y2,再利用基本不等式，轉化為單變量y的函數，求得最大值為1】問題2:設點P在橢圓x2+2y2=4上，求x+y的取值范圍。?表征1?表征2?表征3用參數方程；轉化為求只需截距范圍;由柯西不等式x2（、2y）212.222丁iy）(二)數學復習題的設計策略(5個增長點)1、從課本問題及

15、知識間聯系的角度尋找試題增長點問題1:向量a=(x,1),b=(4,x),且兩向量的夾角為兀，則x=()這是人教A數學4119頁A組8題的改編。把顯性條件“共線且方向相同”換成了隱性條件“向量夾角為兀”，從而既考查了共線性質，又考查了夾角概念。問題2:集合M=4,3,1,0,-1,記M的所有非空子集為Mj,每個Mj中所有元素的積記作mj,j=1,2,，31,則m1+m2+m31=(-1)把集合概念與運算概念結合起來，考查子集概念和抽象思維能力。-1的運用是隱含條件。問題3:實數x,y滿足x2+y2+xy=1,x+y最大彳I是()(2011浙江文16題)2(xy)2常規思路1：基本不等式：(xy

16、)1xy1-4常規思路2：切線法：令m=x+y,則x2-mx+m2=1,由判別式=0求得。新思路1:方程法：令m=x+y,則xy=m2-1,所以x,y是方程t2-mt+m2=1的根，所以判別式0。新思路2:基本不等式：2xyWx2+y2,3xyx2+y2+xy=1,3(x+y)2=3+3xy0)在區間a,b上是增函數，且最大值是函數g=Mcos(cox+6)在區間a,b(A)(全國統考題)A.可以取最大值MB.是減函數C.是增函數2、從學生思維習慣及分析問題角度尋找試題增長點問題1:曲線切線方程認識方法過點(1,0)與曲線y=x3相切的切線方程是()常規思路認為：在切點附近， 曲線可能認為y=

17、0不是切線方程，因為這條直線穿過了曲線,應在切線的同側。常規思路：設切點為A(t,k),則斜率為3t2,在過A點的切線方程中，將點(1,0)帶入可求得t值唯一，故切線只有一條。這里引入兩個問題：直線x=0也穿過曲線，為什么x=0不是切線？過原點的直線有無數條，為什么只有y=0是切線？(幫助學生理解f/(0)=0,斜率唯一)。舉例讓學生進一步理解：求y=cosx在x=0.5n+kn處的切線方程。問題2：多個變量三角問題認識設a邛為銳角，cos(a+3尸sin(a-(3),求tana。常規思路：通過和角公式展開，推出：sina=cosa思路改進：因為只要cosx=siny,就只需x+y=0.5u,

18、所以只要a+(3+a-3=0.5兀即可。也即a=兀/4。問題3:函數f(x)由分段函數表示，當x0時，f(x)=x2+1,當xf(2x),則x的范圍是()常規思路：分段討論或作出圖像觀察運算。但就是這個思維習慣影響了思維發展，事實上，當1-x20時，2xv0是存在的.3、從學生經驗性思維鞏固及形成整體經驗結構的角度尋找試題增長點問題1:幾何中最值問題的認識已知圓O:x2+y2=1,點P在直線x+3y-8=0上，過P作圓的切線PA,PB,切點為A,B,則四邊形OAPB面積的最小值是()兩個基本思路：P在直線上，設出P點的坐標，OP的長可用P點坐標參數表示，由于Soapb=2SAOAP,再根據二次

19、函數求最值。設OP=t,則S可用t表示，只有OPL直線時，t最小。這兩個思路不足以完善學生的經驗思維，可引入問題：求向量PA、PB的數量積的最小值。數量積變化的本因是線段OP長度的變化，設OP=t,ZAPO=0,則tsin0=1,cos20=1-sin20,于是llim.in八八ucuuuu2222因為問題中根據函數的單調性知，僅當這個結論是錯誤的，原因就是等嚴 否成立，事實上等號不成立，的4后，t蚯墳,+ )t5：,4V10時，可求最小值。t PAgPB(t1)(1/)t32.235引申：已知圓O:x2+y2=1,點P(t,k)在直線x+3y-4=0上，點A在圓上，/OPA=30,求k的取值

20、范圍。2。這是對經驗性思維的一種上升。b21思維難度在于不知如何下手，條件中，點A在圓上的深層次白含義是直線PA與圓相交，因此點。到PA的距離就不大于1,從而OP長度就不小于問題2:注重聯系與聯想直線bx+ay=ab過點M(cosa,sina),證明:常規思路：點在單位圓上，所以直線與圓有交點,1聯想1：由一cosa1.-sinb圓心到直線距離不小于1,聯想到三角中合一變換(三角輔助公式)；聯想2:由再由基本不等式:代換得證。聯想3向r1一cosa2LTmi.一sinbcosisina2cos八cossin2bcos2b2mgn.2sinasin2，.、TJ1、（cos）sin）n（一）二）a

21、bm|n即可得證。問題3:強化經驗將A=10a2+81a+207,B=a+2,C=26-2a進行適當排列，再分別取常用對數，構成公差為1的等差數列，求實數a的值。在改造經驗方面：如何翻譯問題；作為真數，需要確定a的取值范圍；進行排列的數學含義，需要比較A,B,C的大小，在比較中要用到二次函數性質，并將a的范圍分成兩個子區間；分別在子區間上應用等差數列的性質。問題4：在對比中加固思維已知x2+px+12x+p,xC2,4時，不等式恒成立，求p的取值范圍；|p|W2時，不等式恒成立，求x的取值范圍。第一問：常規思路1:函數法，研究函數f(x)0,借用對稱軸進行分類討論；比較復雜(通法)常規思路2:

22、分離變量，因為x1,所以p1-x,求其最大值。啟示：圖像法，原不等式化為：(x-1)2-px+p,作兩函數圖像，p0,得(-px+p)|x=2v1;pv0,得(-px+p)|x=2-(x-1)2.x1,p-x+1，只需1-xv-2,所以x3;xv1,pv1-x,只需1-x2,所以xv-1。啟示2:討論，把不等式看成方程，有兩個根1,1-p,對根進行比較1-p0,即pC2,)，所以xv1或x1-p|max=3;1-p1或xv1-p|min=-1;1-p=0,此時xw1。取交集：xv-1或x3。4、從高考試題比較及考試說明要求的角度尋找試題增長點問題1:(2008福建理)：已知向量m=(sinA,

23、cosA),irrn=(J3)-1)，mgn1，A為銳角.求角A；求函數f(x)=cos2x+4cosAsinx(xCR)的值域。在此基礎上課增加:右,COS(A)=一,求cosa問題2:(2060全國卷35拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(-1,0)的直線l與C相較于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D,證明：點F在直線BD上。改編：拋物線C:y2=2px(p0)上兩點P、Q關于x軸對稱，點M(m,0)(mw0)是x軸上一點，直線PM與C的另一個交點為R,證明：直線QR經過x軸上一個定點N。問題3:(2010廣東理20題):雙曲線x2-2y2=2的左右頂點為A1,A2,點P(x1,y1

24、),Q(x1,-y1)是曲線上不同兩點。求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；過點H(0,h)(h1)的兩條相互垂直的直線與軌跡E只有一個交點，求h的值。問是軌跡轉移問題，通過解方程溝通新舊軌跡的聯系，通過舊軌跡轉移得出新軌跡.只要找到直線A1P與A2Q交點即可,P,Q不同的含義是y1w0,|x1|a。進行軌跡的轉移得到橢圓的軌跡(除去四個頂點)。第二問中為什么要規定h1?因為軌跡E是橢圓(四個頂點除外)，所以直線與E只有一個交點，這個交點就是切點，于是可設點斜式方程，與E方程聯立轉化為二次方程，令判別式為0,就得到關于這條直線斜率的二次方程，這個方程兩根的積等于-1,可求ho由此可以做這樣

25、的推廣：把雙曲線換成一般標準型，且第二問中將h1換成hbo這就是2014廣東理20題的背景題。5、從推陳出新來增強知識通性規則的角度尋找試題增長點問題1:橢圓方程推導再認識由(J(xc)2y2,1(xc)2y2，2a可設：(xc)2y2ad,-.(xc)2y2ad兩式平方相減、相加，分別得到：ad=cx,x2+y2+c2=a2+d2,消去d即得到橢圓方程。問題2:等比數列求和公式再認識將和式兩邊同時乘以q,再根據定義得qSn=a1q+a2q+anq=a2+a3+an+anq,用和式減去這個式子得到：(1-q)Sn=a1-anq。另：外根據定義后項比前項等于常數q,再根據比例性質得a 2 a3ai a 2an